Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Показательные уравнения

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид

a^{x} = b,  (1)

где a > 0, a ≠ 1.

Утверждение 1. Уравнение (1) имеет единственное решение x = log_{a} b при b > 0 и не имеет решений при b ≤ 0.

Пример 1. Решить уравнения:

a) 2^{x} = −4,  b) 2^{x} = 4,  c) 2^{x} = 5.

Решение. a) Множество решений данного уравнения пусто, так как левая часть уравнения положительна при любом x ∈ R (см. свойства показательной функции), а правая часть есть отрицательное число.

b) Используя утверждение 1 получим x = log_{2} 4, то есть x = 2.

c) Аналогично предыдущему примеру получим x = log_{2} 5. Замечание. Из утверждения 1 следует что показательное уравнение вида

a^{f(x)} = b,  (2)

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0 равносильно уравнению

f(x) = log_{a} b

Пример 2. Решить уравнения

a) 2^{sin x} = \frac{1}{\sqrt{2}},  b) 3^{|x^{2}−x|} = 9,  c) (\sqrt{5})^{2+4+6+...+2x} = 5^{45}, x ∈ N.

Решение. a) Согласно замечанию к утверждению 1

sin x = log_{2} \frac{1}{\sqrt{2}}.

Так как log_{2} \frac{1}{\sqrt{2}} = log_{2} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = log_{2} 2^{− \frac{1}{2}} = −\frac{1}{2} log_{2} 2 = −\frac{1}{2}, следовательно sin x = −\frac{1}{2},

откуда x = (−1)^{n+1} \frac{π}{6} + πn, n ∈ Z.

b) Поскольку log_{3} 9 = 2, данное уравнение равносильно следующему уравнению

|x^{2} − x| = 2.

Используя свойства модуля (см., например, [1]) получим

|x^{2} − x| = 2 ⇔ [ \begin{matrix}x^{2} − x = 2, \\ x^{2} − x = −2, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x^{2} − x − 2 = 0, \\ x^{2} − x + 2 = 0, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = −1, \\ x = 2. \end{matrix}

c) Логарифмируя по основанию 5 (обе части уравнения положительны), получим

\frac{1}{2}(2 + 4 + 6 + … + 2x) = 45 или 1 + 2 + … + x = 45.

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии получим уравнение

\frac{1 + x}{2}x = 45,

или

x^{2} + x − 90 = 0

корни которого x_{1} = −10 и x_{2} = 9. Поскольку x ∈ N, остается x = 9.

При решении показательных уравнений используется следующее утверждение о равносильности уравнений (см., например, [2]).

Утверждение 2. При a > 0, a ≠ 1, уравнения

a^{f(x)} = a^{g(x)}  (3)

и

f(x) = g(x)

равносильны.

Замечание. Уравнение вида

a^{f(x)} = b^{g(x)} (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

можно переписать следующим образом

a^{f(x)} = a^{g(x) log_{a} b}

и решить, используя утверждение 2.

Некоторые показательные уравнения сводятся к уравнениям вида (1)-(3) с помощью равенств

E1) a^{x} · a^{y} = a^{x+y}, E2) \frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x−y}, E3) (a^{x})^{y} = a^{x·y}, E4) \frac{a^{x}}{b^{x}} = (\frac{a}{b})^{x} , E5) a^{x} · b^{x} = (ab)^{x}.

Пример 3. Решить уравнения

a) \frac{3^{2x+1} · 9^{x+2}}{27^{x}} = 243, b) \frac{3^{x}}{2^{x}} · (\frac{4}{9})^{x^{2}−12} = (\frac{3}{2})^{9} , c) 4^{3x+1} · 625^{\frac{x}{2}} = 6400, d) 3^{2x−1} = 7^{x+1}.

Решение. a) Используя равенства E1 − E3, и утверждение 2 получим

\frac{3^{2x+1} · 9^{x+2}}{27^{x}} = 243 ⇔ \frac{3^{2x+1} · 3^{2(x+2)}}{3^{3x}} = 3^{5} ⇔ \frac{3^{2x+1+2(x+2)}}{3^{3x}} = 3^{5} ⇔

⇔ 3^{2x+1+2(x+2)−3x} = 3^{5} ⇔ 2x + 1 + 2x + 4 − 3x = 5 ⇔ x = 0.

b) Так как \frac{a}{b} = (\frac{b}{a})^{−1} (ab ≠ 0), то (\frac{4}{9})^{x^{2}−12} = (\frac{3}{2})^{−2(x^{2}−12)}. Используя свойства E4, E3 и E1, получим

\frac{3^{x}}{2^{x}} · (\frac{4}{9})^{x^{2}−12} = (\frac{3}{2})^{9} ⇔ (\frac{3}{2})^{x} · (\frac{3}{2})^{−2(x^{2}−12)} = (\frac{3}{2})^{9} ⇔ (\frac{3}{2})^{x−2(x^{2}−12)} = (\frac{3}{2})^{9} ,

откуда, согласно утверждению 2, получим квадратное уравнение 2x^{2} − x − 15 = 0

корни которого x = 3 и x = −\frac{5}{2}.

c) Так как 4^{3x+1} = 4^{1} ·4^{3x} = 4·(4^{3})^{x} = 4·64^{x}, 625^{\frac{x}{2}} = (625^{\frac{1}{2}} )^{x} = 25^{x}, то уравнение примет вид

4 · 64^{x} · 25^{x} = 6400

или

64^{x} · 25^{x} = 1600.

Используя свойство E5 и утверждение 2 получим 1600^{x} = 1600, откуда x = 1.

d) Используя замечание к утверждению 2, получим

3^{2x−1} = 3^{log_{3} 7^{(x+1)}},

откуда

2x − 1 = x log_{3} 7 + log_{3} 7

или

x(2 − log_{3} 7) = log_{3} 7 + 1.

Решая данное линейное уравнение получим x = \frac{1 + log_{3} 7}{2 − log_{3} 7}.

Показательные уравнения вида

F (a^{f(x)}) = 0,  (4)

посредством подстановки t = a^{f(x)} сводятся к уравнениям вида

F (t) = 0,

которые, как правило, решаются проще. Наиболее часто встречаются уравнения вида

\begin{matrix}A · a^{2f(x)} + B · a^{f(x)} + C = 0, \\ A · a^{f(x)} + C · a^{−f(x)} + B = 0 \end{matrix}  (5)

(A, B и C ∈ R), которые с помощью подстановки t = a^{f(x)} сводятся к уравнению At^{2} + Bt + C = 0.

Пример 4. Решить уравнения

a) 2^{x} + 3 · 2^{x−4} = 76,  b) 3^{−x} + 9 · 3^{x} + 9^{x+1} + 9^{−x−1} = 8,  c) 4^{x^{2}} − 2^{x^{2}} − 2 = 0,
d) 2^{1+x} − 2^{3−x} = 15, e) 4^{\sqrt{x^{2}−2x}+1} + 2 = 9 · 2^{\sqrt{x^{2}−2x}}.

Решение. a) 2^{x} + 3 · 2^{x−4} = 76 ⇔ 2^{x} + 3 · \frac{2^{x}}{2^{4}} = 76. Обозначая t = 2^{x} получим линейное уравнение

16t + 3t = 76 · 16,

откуда t = 64. Таким образом 2^{x} = 64 и x = 6.

b) Перепишем уравнение в виде

\frac{1}{3^{x}} + 9 · 3^{x} + 9 · 9^{x} + \frac{1}{9 · 9^{x}} = 8.

Обозначая t = 3^{x} (тогда 9^{x} = t^{2}) получим алгебраическое уравнение

\frac{1}{t} + 9t + 9t^{2} + \frac{1}{9t^{2}} = 8,

которое (см., например, [1]) подстановкой

z = \frac{1}{t} + 9t

(9t^{2} + \frac{1}{9t^{2}} = \frac{1}{9} · (81t^{2} + \frac{1}{t^{2}} ) = \frac{1}{9} [(\frac{1}{t} + 9t)^{2} − 18] = \frac{1}{9}z^{2} − 2) сводится к квадратному уравнению

z + \frac{1}{9}z^{2} − 2 = 8

или

z^{2} + 9z − 90 = 0,

откуда z_{1} = −15, z_{2} = 6. Поскольку t > 0, z_{1} = −15 не удовлетворяет условию и остается

\frac{1}{t} + 9t = 6,

откуда

9t^{2} − 6t + 1 = 0

следовательно t = \frac{1}{3}. Таким образом 3^{x} = \frac{1}{3}, откуда x = −1.

c) Обозначим t = 2^{x^{2}}, тогда 4^{x^{2}} = (2^{2})^{x^{2}} = (2^{x^{2}})^{2} = t^{2}. В результате получим квадратное уравнение

t^{2} − t − 2 = 0,

корни которого t_{1} = −1 и t_{2} = 2. Поскольку t > 0 (вообще говоря, из условия x^{2} ≥ 0 следует, что t = 2^{x^{2}} ≥ 1), остается лишь t = 2. Возвращаясь к переменной x получим уравнение

2^{x^{2}} = 2

откуда x^{2} = 1 и следовательно x = ±1.

d) Так как 2^{1+x} = 2 · 2^{x}, 2^{3−x} = \frac{2^{3}}{2^{x}}, то после подстановки t = 2^{x}, уравнение примет вид

2t − \frac{8}{t} = 15.

Умножив обе части уравнения на t (t > 0), получим квадратное уравнение

2t^{2} − 15t − 8 = 0,

корни которого t_{1} = −\frac{1}{2} и t_{2} = 8. Поскольку t_{1} < 0, остается

2^{x} = 8,

откуда x = 3.

e) Обозначив t = 2^{\sqrt{x^{2}−2x}} (при x ∈ (−∞, 0]∪[2, +∞), x^{2} −2x ≥ 0 и следовательно t ≥ 1), получим уравнение

4t^{2} − 9t + 2 = 0,

корни которого t_{1} = \frac{1}{4} и t_{2} = 2. Поскольку t_{1} < 1, остается решить уравнение

2^{\sqrt{x^{2}−2x}} = 2,

равносильное уравнению

\sqrt{x^{2} − 2x} = 1.

Возводя в квадрат (обе части уравнения неотрицательны при x ∈ (−∞; 0] ∪ [2; +∞)) получим равносильное уравнение

x^{2} − 2x = 1,

корни которого x = 1 ± \sqrt{2}.

Уравнение вида

A · a^{2f(x)} + B · a^{f(x)}b^{f(x)} + C · b^{2f(x)} = 0,

(A, B, C ∈ R, A·B·C ≠ 0) называется однородным показательным уравнением. Разделив

обе части этого уравнения например на \frac{1}{b^{2f(x)}} , получим квадратное уравнение

At^{2} + Bt + C = 0,

где t = (\frac{a}{b})^{f(x)}.

Пример 5. Решить уравнения

a) 64 · 9^{x} − 84 · 12^{x} + 27 · 16^{x} = 0, b) 9 · 2^{2x+2} − 45 · 6^{x} − 3^{2x+4} = 0.

Решение. a) Записав уравнение в виде

64 · 3^{2x} − 84 · 3^{x} · 4^{x} + 27 · 4^{2x} = 0

и разделив на 4^{2x}, получим

64 · (\frac{9}{16})^{x} − 84 · \frac{3^{x} · 4^{x}}{(4^{x})^{2}} + 27 = 0

или

64 · (\frac{3}{4})^{2x} − 84 · (\frac{3}{4})^{x} + 27 = 0.

Обозначив t = (\frac{3}{4})^{x} получим квадратное уравнение

64t^{2} − 84t + 27 = 0.

Дискриминант данного уравнения равен Δ = 84^{2} − 4 · 64 · 27 = 4^{2} · 3^{2} · 7^{2} − 4 · 4 · 16 · 9 · 3 = = 4^{2} · 3^{2}(49 − 48) = 12^{2}, а значит его корни имеют вид

t_{1} = \frac{9}{16} и t_{2} = \frac{3}{4}.

Таким образом

[ \begin{matrix}(\frac{3}{4})^{x} = \frac{9}{16}, \\ (\frac{3}{4})^{x} = \frac{3}{4}, \end{matrix}

откуда x_{1} = 2 и x_{2} = 1.

b) Перепишем уравнение в виде

36 · 2^{2x} − 45 · 2^{x} · 3^{x} − 81 · 3^{2x} = 0.

Разделив его на 9 · 3^{2x}, получим

4 · (\frac{2}{3})^{2x} − 5 · (\frac{2}{3})^{x} − 9 = 0.

Обозначая t = (\frac{2}{3})^{x} получим квадратное уравнение

4t^{2} − 5t − 9 = 0,

решения которого t = −1, t = \frac{9}{4}. Так как t > 0, остается (\frac{2}{3})^{x} = \frac{9}{4}, откуда x = −2.

При решении некоторых показательных уравнений полезно выделить общий множитель.

Пример 6. Решить уравнения

a) 2^{x+1} − 2^{x} + 2^{x−2} − 2^{x−3} = 9,
b) 2^{x+1} − 2^{x+2} − 2^{x+3} = 5^{x} − 5^{x+1},
c) x^{2} · 2^{x+1} + 2^{|x−3|+2} = x^{2} · 2^{|x−3|+4} + 2^{x−1}.

Решение. a) Перепишем уравнение в виде

2^{x} · 2 − 2^{x} + \frac{2^{x}}{4} − \frac{2^{x}}{8} = 9

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 7

или

2^{x} (2 − 1 + \frac{1}{4} − \frac{1}{8}) = 9

откуда

2^{x} · \frac{9}{8} = 9,

следовательно 2^{x} = 8 или x = 3.

b) Аналогично примеру 6а, получим 2^{x+1} − 2^{x+2} − 2^{x+3} = 5^{x} − 5^{x+1} ⇔ 2^{x} · 2 − 2^{x} · 4 − 2^{x} · 8 = 5^{x} − 5^{x} · 5 ⇔

2^{x}(2 − 4 − 8) = 5^{x}(1 − 5) ⇔ 2^{x}(−10) = 5^{x}(−4) ⇔ \frac{2^{x}}{5^{x}} · (−10) = −4 ⇔

(\frac{2}{5})^{x} = \frac{4}{10} ⇔ (\frac{2}{5})^{x} = (\frac{2}{5})^{1} ⇔ x = 1.

c) Запишем уравнение в виде

(x^{2} · 2^{x+1} − 2^{x−1}) + (2^{|x−3|+2} − x^{2} · 2^{|x−3|+4}) = 0

или

2^{x−1}(4x^{2} − 1) + 2^{|x−3|+2}(1 − 4x^{2}) = 0,

откуда следует

(4x^{2} − 1) · (2^{x−1} − 2^{|x−3|+2}) = 0.

Последнее уравнение равносильно совокупности

[ \begin{matrix}4x^{2} − 1 = 0, \\ 2^{x−1} = 2^{|x−3|+2}. \end{matrix}

Из первого уравнения совокупности находим x_{1} = −\frac{1}{2}, x_{2} = \frac{1}{2}. Второе решаем используя свойства модуля

2^{x−1} = 2^{|x−3|+2} ⇔ x − 1 = |x − 3| + 2 ⇔ x − 3 = |x − 3| ⇔ x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3. Таким образом множество решений исходного уравнения имеет вид

x ∈ \{±\frac{1}{2}\} ∪ [3, +∞).

Некоторые показательные уравнения решаются особыми методами.

Пример 7. Решить уравнения

a) (4 + \sqrt{15})^{2} + (4 − \sqrt{15})^{x} = 62,

b) 5^{x−2} = 8 − x,

c) 3^{x} + 4^{x} = 5^{x},

d) 4^{x} + (x − 1) · 2^{x} = 6 − 2x,

e) x^{2} + x + 2 = 2 · 2^{x} − 4^{x},

f) \sqrt[4]{2} ^{3+2x−x^{2}} = \frac{x^{2} + 1}{x},

g) (2x + 1) · 3^{x^{2}+x+3} = 27,

h) 5^{x} · ^{x} \sqrt{8^{x−1}} = 500,

i) 5^{x} · 8^{\frac{x−1}{x}} = 500.

Решение. a) Заметим, что (4 + \sqrt{15})^{x} · (4 − \sqrt{15})^{x} = 1^{x} = 1. Используя подстановку

t = (4 + \sqrt{15})^{x} (тогда (4 − \sqrt{15})^{x} = \frac{1}{t}) получим квадратное уравнение

t + \frac{1}{t} = 62

или

t^{2} − 62t + 1 = 0,

корни которого t_{1} = 31 − 8\sqrt{15} и t_{2} = 31 + 8\sqrt{15}. Поскольку 31 ± 8\sqrt{15} = (4 ± \sqrt{15})^{2}, получим совокупность

[ \begin{matrix}(4 + \sqrt{15})^{x} = (4 + \sqrt{15})^{2}, \\ (4 + \sqrt{15})^{x} = (4 − \sqrt{15})^{2}, \end{matrix}

откуда (учитывая, что (4 − \sqrt{15})^{2} = (4 + \sqrt{15})^{−2}) x_{1} = 2 и x_{2} = −2.

b) Заметим, что x = 3 является решением данного уравнения. Других корней уравнение не имеет. Действительно, левая часть уравнения представляет строго возрастающую функцию, а правая - строго убывающую функцию. Графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно x = 3 - единственное решение уравнения.

c) Заметим, что x = 2 - корень данного уравнения. Докажем, что других решений уравнение не имеет. Перепишем уравнение в виде:

(\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x} = 1

и заметим, что функция f(x) = (\frac{3}{5})^{x}+(\frac{4}{5})^{x}, как сумма двух строго убывающих функций, есть строго убывающая функция и, следовательно, каждое свое значение принимает лишь один раз.

d) Обозначим t = 2^{x} и решим квадратное уравнение относительно t

t^{2} + (x − 1)t + 2x − 6 = 0.

Дискриминант этого уравнения равен Δ = (x−1)^{2} −4(2x−6) = x^{2} −10x+25 = (x−5)^{2}, и значит его корни имеют вид

t_{1} = \frac{1 − x − x + 5}{2} = 3 − x, t_{2} = \frac{1 − x + x − 5}{2} = −2.

Поскольку t = −2 не удовлетворяет условию t > 0, остается

2^{x} = 3 − x

Решая последнее уравнение аналогично примеру b) получим x = 1.

e) Перепишем уравнение в виде

x^{2} + x + 1 = 2 · 2^{x} − 4^{x} − 1

или

x^{2} + x + 1 = −(2^{x} − 1)^{2},

откуда следует, что уравнение не имеет решений. Действительно, поскольку (x^{2} + x + 1 =

x^{2} + 2 · \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} − \frac{1}{4} + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}) левая часть уравнения принимает значения не

меньше \frac{3}{4}, а правая часть - лишь неположительные значения.

f) Заметим, что уравнение имеет решение лишь при x > 0. Тогда правая часть уравнения

\frac{x^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x} ≥ 2,

более того, равенство достигается лишь при x = 1. В то же время левая часть уравнения принимает максимальное значение 2 при x = 1. Действительно,

( ^{4} \sqrt{2})^{3+2x−x^{2}} = ( ^{4} \sqrt{2})^{4−1+2x−x^{2}} = ( ^{4} \sqrt{2})^{4−(1−x)^{2}} ≤ \sqrt[4]{2}^{4} = 2.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение x = 1.

g) Заметим, что при x ∈ (−∞, −\frac{1}{2}] уравнение не имеет решений (в этом случае левая

часть уравнения отрицательна). При x ∈ (−\frac{1}{2}; +∞) левая часть уравнения (как произведение двух строго возрастающих функций) есть строго возрастающая функция и, следовательно, каждое свое значение принимает лишь один раз. Остается заметить что x = 0 является (единственным) корьнем данного уравнения.

h) Множество допустимых значений данного уравнения имеет вид: {x ∈ N | x > 1}.

Запишем уравнение в виде

5^{x} · 8^{\frac{x−1}{x}} = 500.

Логарифмируя обе его части, например, по основанию 5, получим

x + log_{5} 2^{\frac{3(x−1)}{x}} = 3 + log_{5} 2^{2}

или

x + \frac{3(x − 1)}{x} log_{5} 2 − 3 − 2 log_{5} 2 = 0,

откуда следует квадратное уравнение

x^{2} + x(log_{5} 2 − 3) − 3 log_{5} 2 = 0,

корни которого x_{1} = 3 и x_{2} = − log_{5} 2. Поскольку x_{2} не входит в ОДЗ, то, исходное уравнение имеет единственное решение x = 3.

i) ОДЗ уравнения есть множество x ∈ R \ {0}, и (см. предыдущий пример) его корни x = 3 и x = − log_{5} 2.

Уравнения вида

[h(x)]^{f(x)} = b  ([h(x)]^{f(x)} = [h(x)]^{g(x)}) .  (6)

называются обобщенными показательными уравнениями.

Как правило, областью определения функции [h(x)]^{f(x)} считается множество всех значений x ∈ D(f) для которых h(x) > 0, где D(f) обозначает область определения функции f. Таким образом

[h(x)]^{f(x)} = [h(x)]^{g(x)} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}f(x) = g(x), \\ h(x) > 0, \\ h(x) ≠ 1, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}h(x) = 1, \\ x ∈ D(f) ∩ D(g). \end{matrix} \end{matrix}

Пример 8. Решить уравнения

a) |x − 2|^{x^{2}+x+1} = (x − 2)^{2}, b) (x^{2} + x)^{x^{2}+2x} = 1, c) |x − 1|^{lg^{2} x−lg x^{2}} = |x − 1|^{3}.

Решение. a) Поскольку a^{2} = |a|^{2}, уравнение можно переписать в виде

|x − 2|^{x^{2}+x+1} = |x − 2|^{2}.

Последнее уравнение равносильно совокупности систем

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}|x − 2| > 0, \\ |x − 2| ≠ 1, \\ x^{2} + x + 1 = 2, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}|x − 2| = 1, \\ x ∈ ОДЗ . \end{matrix} \end{matrix}

Отсюда x = −2, x = 3 и x = 1.

b) Учитывая соотношение (x^{2} + x)^{0} = 1 получим

(x^{2} + x)^{x^{2}+2x} = 1 ⇔ (x^{2} + x)^{x^{2}+2x} = (x^{2} + x)^{0} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x^{2} + x > 0, \\ x^{2} + x ≠ 1, \\ x^{2} + 2x = 0, \end{matrix} \\ x^{2} + x = 1 \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = −2, \\ x = \frac{1−\sqrt{5}}{2}, \\ x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}. \end{matrix}

c) ОДЗ уравнения представляет множество (0; +∞). На ОДЗ уравнение равносильно совокупности

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}|x − 1| > 0, \\ |x − 1| ≠ 1, \\ lg^{2} x − lg x^{2} = 3. \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}|x − 1| = 1, \\ x > 0. \end{matrix} \end{matrix}

Отсюда x = \frac{1}{10}, x = 1000 и x = 2.

Замечание. Иногда функции из (6) рассматриваются на более широких областях: принимается во внимание, что функция h(x)^{f(x)} имеет смысл и при h(x) = 0, f(x) > 0 или при h(x) < 0, когда f(x) принимает значения во множестве целых чисел и т.п. (см., например, [2]-[4]).

Упражнения

Решить уравнения.

1. 8^{\frac{2(x−1)}{x}} = \sqrt{4^{x−1}}.

2. 32^{\frac{x+5}{x−7}} = 0, 25 · 128^{\frac{x+17}{x−3}} .

3. 0, 125 · 4^{2x−3} = (\frac{0, 25}{\sqrt{2}})^{−x} .

4. 2^{x} + 2^{x−1} + 2^{x−2} = 448.

5. 3^{2x+1} + 3^{2x} − 3^{2x−2} = 315.

6. 2^{2x+3} · 3^{x} + 2 · 4^{x} · 3^{x+2} = \frac{13}{72}.

7. 7 · 3^{x+1} − 5^{x+2} = 3^{x+4} − 5^{x+3}.

8. 5^{2x} − 7^{x} − 7 · 5^{2x+1} + 5 · 7^{x+1} = 0.

9. 4^{x} − 3^{x−0,5} = 3^{x+0,5} − 2^{2x−1}.

10. 4^{x} − 12 · 2^{x} = 64.

11. 4^{x−1} − 3 · 2^{x−2} = 1.

12. 2^{2+x} − 2^{2−x} = 15.

13. 3^{x log_{2} 7} · 7^{x^{2}+x} = 1.

14. (\sqrt{3 + \sqrt{8}})^{x} + (\sqrt{3 − \sqrt{8}})^{x} = 6.

15. (\sqrt{2 − \sqrt{3}})^{x} + (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^{x} = 4.

16. 2^{x+3} − 3^{x^{2}+2x−6} = 3^{x^{2}+2x−5} − 2^{x}.

17. (x − 3)^{3x^{2}−10x+3} = 1.

18. |x − 2|^{10x^{2}−3x−1} = 1.

19. ^{4} \sqrt{|x − 3|^{x+1}} = ^{3} \sqrt{|x − 3|^{x−2}}.

20. 8 · 9^{x} + 6^{x+1} = 27 · 4^{x}.

21. 2 · 16^{cos x} − 20^{cos x} = 3 · 25^{cos x}.

22. x^{2} · 4^{\sqrt{2−x}} + 4^{2−x} = 4^{\sqrt{2−x}+2} + x^{2} · 2^{−2x}.

23. 2^{|3x−5|} = 4 · 8^{|x−1|}.

24. 5^{3x} + 5^{3(1−x)} + 15(5^{x} + 5^{1−x}) = 216.

25. 4^{x} + 3^{x} = 7^{x}.

26. 4^{x} + 3^{x} = 91^{\frac{x}{3}} .

27. 5^{x} · 2^{\frac{2x−1}{x+1}} = 50.

28. (x + 1) · 9^{x−3} + 4x · 3^{x−3} − 16 = 0.

29. 7^{6−x} = x + 2.

30. x^{2} − x + 1 = 2 · 2^{x−1} − 4^{x−1}.

Библиография.

1. P. Cojuhari, A. Corlat. Ecuatii si inecuatii algebrice. Mica biblioteca a elevului. Seria matematica si informatica. Editura ASRM. Chisinau, 1995.

2. P. Cojuhari. Ecuatii si inecuatii. Teorie si practica. Chisinau, Universitas, 1993.

3. Ф.П.Яремчук, П.Рудченко. Алгебра и элементарные функции. Киiв, Наукова Думка, 1987.

4. В.А. Вишеньский и др. Збiрник задач з математики. Киiв, "Либiдi", 1993.