Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство Образования и Науки

Экзамен по математике для выпускников общеобразовательных школ, 2001

Время работы: 180 минут.

1. Вычислить log_{2} (16\sqrt[8]{32\sqrt[5]{2}}).

2. Найти максимум функции f : R ⟶ R, f(x) = −2x^{2} + 3x − 1.

3. Бисектриссы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Найдите величину угла AOB.

4. Пусть f : (−∞; \frac{1}{3}) ⟶ R, f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − 3x}}. Определите первообразную этой функ-

ции, график которой содержит точку A(0; \frac{2}{3}).

5. Решить уравнение

log_{3}(x − 1) − log_{3}(2x − 7) = log_{3} 2 + log_{\frac{1}{3}} (x − 4).

6. Найдите cos α, если cos 2α = 2\sqrt{2} sin α + 2, а α ∈ (\frac{3π}{2}; 2π).

7. Решить неравенство

(x + 4)\sqrt{x^{2} − x − 2} ≥ 0.

8. Высота правильной треугольной пирамиды равна \sqrt{3}, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 30^{∘}. Определите объем пирамиды.

9. При каких значениях действительного параметра a прямая y = ax + 7 является касательной к графику функции f : R ⟶ R, f(x) = x^{2} + 6x + a?

Решения

1. 16\sqrt[8]{32\sqrt[5]{2}} = 2^{4}(2^{5}·2^{\frac{1}{5}} )^{\frac{1}{8}} = 2^{4}·2^{(5+ \frac{1}{5} ) \frac{1}{8}} = 2^{4}·2^{\frac{26}{5} · \frac{1}{8}} = 2^{4}·2^{\frac{13}{20}} = 2^{4+ \frac{13}{20}} = 2^{\frac{93}{20}} , следовательно log_{2} 16\sqrt[8]{32\sqrt[5]{2}} = log_{2} 2^{\frac{93}{20}} = \frac{93}{20} = 4, 65.

2. Максимум трехчлена ax^{2} + bx + c (a < 0) равен f (−\frac{b}{2a}). В данном случае −\frac{b}{2a} =

= −\frac{3}{−2 · 2} = \frac{3}{4} и, следовательно

y_{max} = −2 · (\frac{3}{4})^{2} + 3 · \frac{3}{4} − 1 = \frac{1}{8}.

3.

[figure: A; B; C; D; O]

Так как сумма углов A и B параллелограмма ABCD (см. рисунок) равна 180^{∘}, \frac{1}{2}∠A+ \frac{1}{2}∠B = 90^{∘}. Сумма внутренних углов треугольника AOB равна 180^{∘}. Следовательно

∠AOB = 180^{∘} − \frac{1}{2}(∠A + ∠B) = 180^{∘} − 90^{∘} = 90^{∘}.

4. Поскольку ∫ \frac{dx}{\sqrt{1 − 3x}} = −\frac{2}{3}\sqrt{1 − 3x} + C, и F (0) = \frac{2}{3}, то −\frac{2}{3}\sqrt{1 − 3 · 0} + C = \frac{2}{3},

откуда C = \frac{4}{3}. Следовательно F (x) = −\frac{2}{3}\sqrt{1 − 3x} + \frac{4}{3}.

5. Область допустимых значений данного уравнения есть множество (4; +∞), которое находится решая систему неравенств

\{ \begin{matrix}x − 1 > 0 \\ 2x − 7 > 0 \\ x − 4 > 0. \end{matrix}

Используя свойства логарифмической функции (см., например, Логарифмические уравнения) в ОДЗ получим следующие равносильности

log_{3}(x−1)−log_{3}(2x−7) = log_{3} 2−log_{3}(x−4) ⇔ log_{3}(x−1)+log_{3}(x−4) = log_{3} 2+log_{3}(2x−7),

откуда log_{3}(x − 1)(x − 4) = log_{3} 2(2x − 7) или

(x − 1)(x − 4) = 2(2x − 7).

Решив полученное квадратное уравнение x^{2} − 9x + 18 = 0 найдем x_{1} = 3 ∉ ОДЗ и x_{2} = 6 ∈ ОДЗ . Таким образом x = 6.

6. Поскольку cos 2α = 1 − 2 sin^{2} α, получим 1 − 2 sin^{2} α = 2\sqrt{2} sin α + 2 или 2 sin^{2} α + 2\sqrt{2} sin α + 1 = 0, откуда sin α = −\frac{1}{\sqrt{2}}. Найдем cos α: cos α = ±\sqrt{1 − sin^{2} α}. Так как α

принадлежит четвертой четверти, cos α > 0 и cos α = \sqrt{1 − (−\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

7.

\begin{matrix}(x + 4)\sqrt{x^{2} − x − 2} ≥ 0 ⇔ [ \begin{matrix}x^{2} − x − 2 = 0, \\ \{ & \begin{matrix}x^{2} − x − 2 > 0, \\ x + 4 ≥ 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x_{1} = −1, x_{2} = 2 \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) \\ x ∈ [−4; +∞) \end{matrix} \end{matrix} ⇔ \\ ⇔ x ∈ [−4; −1] ∪ [2; +∞). \end{matrix}

8.

[figure: A; B; C; D; O; S]

Пусть SABC - правильная треугольная пирамида, SO = h = \sqrt{3} - ее высота, ∠SCO = = 30^{∘}, a - длина стороны равностороннего треугольника ее основания. Тогда

CD = \frac{a\sqrt{3}}{2}; CO = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3}a\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}}.

Из прямоугольного треугольника SOC (SO ⊥ OC) получим

CO = SO ctg ∠SCO = \sqrt{3} ctg 30^{∘} = \sqrt{3} · \sqrt{3} = 3.

Таким образом \frac{a}{\sqrt{3}} = 3, откуда a = 3\sqrt{3}. Найдем площадь основания прирамиды

S = \frac{1}{2}a^{2} sin 60^{∘} = \frac{1}{2}(3\sqrt{3})^{2} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{4}

и объем пирамиды

V = \frac{1}{3}S · h = \frac{1}{3} \frac{27\sqrt{3}}{4} · \sqrt{3} = \frac{27}{4}(куб.ед.)

9. Прямая y = ax + 7 является касательной к графику трехчлена x^{2} + 6x + a, если уравнение ax + 7 = x^{2} + 6x + a, эквивалентное уравнению x^{2} + (6 − a)x + a − 7 = 0 имеет единственное решение. Последнее уравнение имеет единственное решение, если ее дискриминант D = (6 − a)^{2} − 4(a − 7) равен нулю. Следовательно

36 − 12a + a^{2} − 4a + 28 = 0 или a^{2} − 16a + 64 = 0

откуда a = 8.