Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство Образования и Науки

Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, июнь, 1999

Гуманитарный профиль I Вариант

Время решения - 180 минут

1. Пусть функция f : R^{∗} ⟶ R, f(x) = \frac{3^{x}}{3^{2x} − 1}. Вычислить f(log_{3} 2).

Решение. Используя основное логарифмическое тождество a^{log_{a} b} = b, a > 0, a ≠ 1, b > 0, получим

f(log_{3} 2) = \frac{3^{log_{3} 2}}{3^{2 log_{3} 2} − 1} = \frac{2}{(3^{log_{3} 2})^{2} − 1} = \frac{2}{2^{2} − 1} = \frac{2}{3};

2. Привести пример уравнения второго порядка, которое имеет два различных отрицательных корня.

Решение. Используя обратну теорему Виета, например, для x_{1} = −1 и x_{2} = −2, получим квадратное уравнение x^{2} + 3x + 2 = 0. В общем случае квадратное уравнение ax^{2} + bx + c = 0 имеет два различных отрицательных корня, если и только если

\{ \begin{matrix}\frac{c}{a} > 0, \\ \frac{b}{a} > 0, \\ b^{2} − 4ac > 0. \end{matrix}

3. При каких действительных значениях x и y справедливо равенство

\frac{x + y + (y − 3)i}{5 + 3i} = 1 + i?

Решение. Перепишем равенство

x + y + (y − 3)i = (1 + i)(5 + 3i)

или, после элементарных преобразований,

x + y + (y − 3)i = 2 + 8i,

откуда, используя определение равенства двух комплексных чисел z_{1} и z_{2} (Rez_{1} = Rez_{2} и Imz_{1} = Imz_{2}), получим систему

\{ \begin{matrix}x + y = 2, \\ y − 3 = 8. \end{matrix}

Решив систему, найдем x = −9 и y = 11.

4. Решить уравнение (x − 4)\sqrt{3 + 2x − x^{2}} = 0. Решение.

(x−4)\sqrt{3 + 2x − x^{2}} = 0 ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x − 4 = 0, \\ 3 + 2x − x^{2} = 0, \end{matrix} \\ 3 + 2x − x^{2} ≥ 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x_{1} = 4, \\ x_{2} = −1, x_{3} = 3, \end{matrix} \\ −1 ≤ x ≤ 3, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x_{1} = −1, \\ x_{2} = 3. \end{matrix}

5. Пусть дана функция f(x) = a sin 4x + b cos 2x. Определить действительные значения

параметров a и b, если известно, что f′ (\frac{7π}{12} ) = 4 и f′ (\frac{3π}{4} ) = 2.

Решение. Найдем производную функции f(x):

f′(x) = (a sin 4x + b cos 2x)′ = 4a cos 4x − 2b sin 2x.

Так как f′ (\frac{7π}{12} ) = 4 и f′ (\frac{3π}{4} ) = 2, то

4a cos \frac{7π}{3} − 2b sin \frac{7π}{6} = 4,

4a cos 3π − 2b sin \frac{3π}{2} = 2,

или

\{ \begin{matrix}2a + b = 4, \\ −4a + 2b = 2, \end{matrix}

откуда a = \frac{3}{4} и b = \frac{5}{2}.

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = 9 − x^{2} и g(x) = x^{2} − 6x + 9.

Решение.

[figure: 0; 9; -3; 3; x; y]

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = 9−x^{2} и g(x) = x^{2} −6x+9 (см. рисунок), определяется по формуле

S = ∫_{a}^{b}[f(x) − g(x)]dx

где a и b - пределы интегрирования, которые находятся при решении уравнения

f(x) = g(x),

то есть, 9 − x^{2} = x^{2} − 6x + 9 или 2x^{2} − 6x = 0, откуда (учитывая что a < b) получим a = x_{1} = 0 и b = x_{2} = 3.

Следовательно,

\begin{aligned}S & = & ∫_{0}^{3}(9 − x^{2} − x^{2} + 6x − 9)dx = ∫_{0}^{3}(6x − 2x^{2})dx = \\ & = & (3x^{2} − \frac{2x^{3}}{3} )|_{0}^{3} = 27 − 18 = 9(кв.ед.). \end{aligned}

7. При делении многочлена P (x) = 2x^{3} − mx^{2} + nx − 16 на x − 3 и на x + 1, в обоих случаях получаем остаток −2. Какой остаток получим при делении многочлена P (x) на x − 1?

Решение. Поскольку

\begin{matrix}P (3) = 2 · 3^{3} − m · 3^{2} + 1 · 3 − 16 = −2, \\ P (−1) = 2(−1)^{3} − m · (−1)^{2} + n · (−1) − 16 = −2, \end{matrix}

то

\{ \begin{matrix}−9m + 3n = −40, \\ −m − n = 16. \end{matrix}

Решив систему, найдем m = −\frac{2}{3} и n = −\frac{46}{3}. Таким образом, P (x) = 2x^{3} + \frac{2}{3}x^{2} − \frac{46}{3}x − 16 и остаток от деления P (x) на (x − 1) равен

P (1) = 2 + \frac{2}{3} − \frac{46}{3} − 16 = −\frac{86}{3}.

8. Площадь основания прямого кругового конуса равна 9πсм^{2}, а площадь полной поверхности - 24πсм^{2}. Найти объем конуса.

Решение.

[figure: A; O; B; S]

Так как площадь основания S_{b} = πR^{2} (R - радиус основания конуса), а площадь боковой поверхности S_{lat} = πRl (l - образующая конуса), то, согласно условиям,

\{ \begin{matrix}πR^{2} = 9π, \\ πRl = 24π − 9π, \end{matrix}

откуда R = 3 и l = 5. Из прямоугольного треугольника SOA (см. рисунок), находим высоту конуса SO:

SO = \sqrt{SA^{2} − AO^{2}} = \sqrt{5^{2} − 3^{2}} = 4(см).

Следовательно, объем конуса

V = \frac{1}{3}S_{b} · h = \frac{1}{3}9π4 = 12π(см^{3}).

9. Решить неравенство log_{2x}(x^{2} − 5x + 6) ≤ 1.

Решение.

log_{2x}(x^{2} − 5x + 6) ≤ 1 ⇔ log_{2x}(x^{2} − 5x + 6) ≤ log_{2x} 2x ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}2x > 1, \\ x^{2} − 5x + 6 ≤ 2x, \\ x^{2} − 5x + 6 > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < 2x < 1, \\ x^{2} − 5x + 6 ≥ 2x, \\ 2x > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x > \frac{1}{2}, \\ x^{2} − 7x + 6 ≤ 0, \\ [ & \begin{matrix}x < 2, \\ x > 3, \end{matrix} \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < x < \frac{1}{2}, \\ x^{2} − 7x + 6 ≥ 0, \\ x > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}[ & \begin{matrix}\frac{1}{2} < x < 2, \\ x > 3, \end{matrix} \\ 1 ≤ x ≤ 6, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < x < \frac{1}{2}, \\ [ & \begin{matrix}x ≤ 1, \\ x ≥ 6, \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x ∈ (\frac{1}{2}; 1] ∪ (3; 6], \\ x ∈ (0; \frac{1}{2}), \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; \frac{1}{2}) ∪ (\frac{1}{2}; 1] ∪ (3; 6].