Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2003 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство просвещения Республики Молдова

Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 16 июня 2003 Гуманитарный профиль

Время работы: 180 минут.

1. Определите знак выражения \sqrt[5]{3} − \sqrt[4]{2}.

2. При каких значениях a точка M(a; 1) принадлежит эллипсу \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1?

3. Используя график функции f(x), постройте в той же системе координат график функции |f(x)|.

[figure: y; x; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{.........................}; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; f(x); 0; 1; 1]

4. Найдите все элементы множества [−\sqrt{3}; e) ⋂ ℤ.

5. Решите систему уравнений \{ \begin{matrix}2x + y = 1 \\ 3^{x+y} = 9. \end{matrix}

6. ABCD – ромб, AB = 6 см и ∠ABC = 120^{o}, [MA]⊥(ABC), MA = 3 см. Найдите расстояние от точки M до прямой BD.

7. Решите систему матричных уравнений \{ \begin{matrix}X + Y = ( \begin{matrix}4 & 5 \\ 5 & 4 \end{matrix} ) \\ X − Y = ( \begin{matrix}−3 & 0 \\ 0 & −3 \end{matrix} ) \end{matrix} .

8. Найдите значения параметра m ∈ ℝ, при которых функция f : ℝ\{−1} ⟶ ℝ,

f(x) = \frac{mx^{2} + (m − 1)x}{x + 1} имеет экстремум в точке x = −2.

9. В △ABC AB = 6 см, BC = 7 см, AC = 5 см. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Найдите площадь △ADC.

10. Решите уравнение \frac{log_{3} x − 1}{log_{3} \frac{x}{3}} + 2 log_{3} \sqrt{x} + log_{3}^{2} x = 3.

Решения

1. Так как \sqrt[5]{3} = \sqrt[20]{81}, \sqrt[4]{2} = \sqrt[20]{32} и \sqrt[20]{81} > \sqrt[20]{32}, следует, что \sqrt[5]{3} > \sqrt[4]{2} и \sqrt[5]{3} − \sqrt[4]{2} > 0.

Ответ: \sqrt[5]{3} − \sqrt[4]{2} > 0.

2. Точка M(a; 1) принадлежит эллипсу с уравнением \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1, тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Следовательно,

\frac{a^{2}}{9} + \frac{1}{4} = 1, откуда a^{2} = \frac{27}{4} и a = ±\frac{3\sqrt{3}}{2}.

Ответ: a ∈ \{±\frac{3\sqrt{3}}{2}\}.

3. Для того, чтобы построить график функции y = |f(x)|, достаточно все части графика y = f(x), для которых y ≥ 0, оставить без изменения, а части графика, для которых y < 0, отобразить симметрично относительно оси OX.

[figure: y; x; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{.........................}; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; y = f(x); 0; 1; 1; y; x; . ^{..................................} ^{...............................} ^{............................} ^{.........................} ^{......................} ^{....................} ^{...................} ^{..................} ^{.................} ^{................}; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{.........................}; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; y = |f(x)|; 0; 1; 1]

4. Поскольку −\sqrt{3} < −1 и e < 3, следует, что [−\sqrt{3}, e) ⋂ ℤ = \{−1; 0; 1; 2\}. Ответ: {−1; 0; 1; 2}.

5. \{ \begin{matrix}2x + y = 1, \\ 3^{x+y} = 9, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}2x + y = 1, \\ 3^{x+y} = 3^{2}, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}2x + y = 1, \\ x + y = 2, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x = −1, \\ y = 3. \end{matrix}

Ответ: (−1; 3).

6.

[figure: A; M; O; B; C; D]

Пусть O – точка пересечения диагоналей ромба. Так как MA⊥AO, AO⊥BD (диагонали ромба перпендикулярны), следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, MO⊥BD, тогда расстояние от точки M до прямой BD равно длине отрезка MO.

Поскольку ∠BAD = 180^{o} −∠ABC = 60^{o}, AB = AD = 6 см, следует, что треугольник

ABD – равносторонний, и BD = 6 см. Тогда BO = \frac{1}{2}BD, BO = 3 см (высота AO в △ABD является и медианой). Из △ABO, прямоугольного в точке O, по теореме Пифагора найдем AO:

AO = \sqrt{AB^{2} − BO^{2}} = \sqrt{6^{2} − 3^{2}} = \sqrt{27},

а из △MAO, прямоугольного в точке A, по теореме Пифагора найдем MO:

MO = \sqrt{MA^{2} + AO^{2}} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6(см).

Ответ: 6 см.

7. \{ \begin{matrix}X + Y = ( \begin{matrix}4 & 5 \\ 5 & 4 \end{matrix} ) \\ X − Y = ( \begin{matrix}−3 & 0 \\ 0 & −3 \end{matrix} ) \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}2X = ( \begin{matrix}4 & 5 \\ 5 & 4 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}−3 & 0 \\ 0 & −3 \end{matrix} ) \\ 2Y = ( \begin{matrix}4 & 5 \\ 5 & 4 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}−3 & 0 \\ 0 & −3 \end{matrix} ) \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}2X = ( \begin{matrix}1 & 5 \\ 5 & 1 \end{matrix} ) \\ 2Y = ( \begin{matrix}7 & 5 \\ 5 & 7 \end{matrix} ) \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}X = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 5 \\ 5 & 1 \end{matrix} ) \\ Y = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}7 & 5 \\ 5 & 7 \end{matrix} ) \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}X = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ) \\ Y = ( \begin{matrix}\frac{7}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{7}{2} \end{matrix} ) \end{matrix}

Ответ: \{ \begin{matrix}X = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ) , \\ Y = ( \begin{matrix}\frac{7}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{7}{2} \end{matrix} ) . \end{matrix}

8. Найдем производную функции f: f′(x) = (\frac{mx^{2} + (m − 1)x}{x + 1})′ =

= \frac{[2mx + (m − 1)](x + 1) − [mx^{2} + (m − 1)x] · 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{mx^{2} + 2mx + m − 1}{(x + 1)^{2}},

f′(−2) = \frac{4m − 4m + m − 1}{(−2 + 1)^{2}} = m − 1.

Для того, чтобы x = −2 была точкой экстремума, необходимо: f′(−2) = 0, откуда

m = 1. При m = 1, f′′(x) = \frac{2}{(x + 1)^{3}} , f′′(−2) = −2 < 0, то есть x = −2 является точкой максимума.

Ответ: x = −2 является точкой экстремума для функции f при m = 1.

9. Пусть CE⊥AB, CE = h – высота в △ABC (как и в △ACD).

S_{△ACD} = \frac{1}{2}AD · CE.

[figure: A; B; C; D; E; .^{...........}^{...........}^{..........}. . . . . . . . . . .; ^{.. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .}]

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2003 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 4

Используя свойство биссектрисы \frac{AD}{AC} = \frac{DB}{BC}, вычислим AD: AD = \frac{DB · AC}{BC}. Обозначим AD = x, тогда DB = 6 − x и получим уравнение:

x = \frac{(6 − x) · 5}{7},

откуда x = \frac{5}{2}. Таким образом, AD = \frac{5}{2} (см).

По формуле Герона S = \sqrt{p(p − a)(p − b)(p − c)}, где p – полупериметр, a, b, c – стороны треугольника, найдем площадь △ABC:

S_{△ABC} = \sqrt{\frac{5 + 6 + 7}{2} · \frac{5 + 6 − 7}{2} · \frac{5 + 7 − 6}{2} · \frac{6 + 7 − 5}{2}} = \sqrt{9 · 2 · 3 · 4} = 6\sqrt{6} (см^{2}).

Так как S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB · CE, следует, что CE = \frac{2S_{△ABC}}{AB} = \frac{2 · 6\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6} (см).

Тогда, S_{△ADC} = \frac{1}{2}AD · CE = \frac{1}{2} · \frac{5}{2} · 2\sqrt{6} = \frac{5\sqrt{6}}{2} (см^{2}).

Ответ: S = \frac{5\sqrt{6}}{2} см^{2}.

10. Область допустимых значений (сокращенно ОДЗ) найдем из соотношений:

\{ \begin{matrix}x > 0, \\ \sqrt{x} > 0, \\ \frac{x}{3} > 0, \\ log_{3} \frac{x}{3} ≠ 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > 0, \\ \frac{x}{3} ≠ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > 0, \\ x ≠ 3, \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; 3) ∪ (3; +∞).

В ОДЗ получаем \frac{log_{3} x − 1}{log_{3} \frac{x}{3}} + 2 log_{3} \sqrt{x} + log_{3}^{2} x = 3 ⇔ \frac{log_{3} x − 1}{log_{3} x − 1} + 2 · \frac{1}{2} log_{3} x + log_{3}^{2} x = 3 ⇔

⇔ log_{3}^{2} x + log_{3} x − 2 = 0 ⇔ [ \begin{matrix}log_{3} x = −2, \\ log_{3} x = 1, \end{matrix} откуда x = 3^{−2} ∈ ОДЗ и x = 3^{1} ∉ ОДЗ.

Ответ: x = \frac{1}{9}.

Оценочная схема

Максимальное число баллов N 1 — 3 балла N 2 — 4 балла N 3 — 2 балла N 4 — 2 балла N 5 — 4 балла N 6 — 5 баллов N 7 — 4 балла N 8 — 5 баллов N 9 — 5 баллов N 10 — 6 баллов всего: 40 баллов

Оценка ”10” — 39-40 баллов ”9” — 36-38 баллов ”8” — 31-35 баллов ”7” — 24-30 баллов ”6” — 18-23 балла ”5” — 13-17 баллов ”4” — 9-12 баллов ”3” — 5-8 баллов ”2” — 2-4 балла ”1” — 0-1 балл