Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство Образования и Науки

Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 10 июня 1999 Профиль: математика

1. Вычислить

lim_{x→3} (\frac{1}{x − 3} − \frac{27}{x^{3} − 27}) .

(3 очка)

Решение. Неопределенность вида ∞ − ∞. Приведя к общему знаменателю, получим

lim_{x→3} (\frac{1}{x − 3} − \frac{27}{x^{3} − 27}) = lim_{x→3} \frac{x^{2} + 3x + 9 − 27}{x^{3} − 27} = lim_{x→3} \frac{x^{2} + 3x − 18}{(x − 3)(x^{2} + 33x + 9)} =

= lim_{x→3} \frac{(x − 3)(x + 6)}{(x − 3)(x^{2} + 3x + 9)} = lim_{x→3} \frac{x + 6}{x^{2} + 3x + 9} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}.

2. Привести пример функции, которая определена и непрерывна на открытом интервале (a, b), но которая неограничена на этом интервале. (3 очка)

Решение.

f : (a, b) ⟶ R f(x) = \frac{1}{x − a}.

Действительно,

f ∈ C((a, b)) и lim_{x→a+0} f(x) = +∞.

3. Пусть z = 1 + i. Определить действительные числа a, b ∈ R, если известно, что z^{3} = az + b. (4 очка)

Решение. Используя определение равенства двух комплексных чисел, получим

(1 + i)^{3} = az + b ⇔ 1 + 3i + 3i^{2} + i^{3} = a(1 + i) + b ⇔ 1 + 3i − 3 − i = a + b + ai ⇔

⇔ −2 − 2i = (a + b) + ai ⇔ \{ \begin{matrix}a + b = −2, \\ a = 2, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}a = 2, \\ b = −4. \end{matrix}

4. Вычислить определенный интеграл

I = ∫_{−1}^{1} |2^{x} − 2^{−x}|dx.

(5 очков).

Решение. Заметим, что подинтегральная функция четная и, следовательно, ∫_{−a}^{a} f(x)dx =

2 ∫_{0}^{a} f(x)dx. Поскольку для x ∈ [0; 1] имеем 2^{x} − 2^{−x} ≥ 0, то получим

∫_{−1}^{1} |2^{x} − 2^{−x}|dx = 2 ∫_{0}^{1}(2^{x} − 2^{−x})dx = 2 [\frac{2^{x}}{ln 2} + \frac{2^{−x}}{ln 2}] |_{0}^{1} = \frac{1}{ln 2}.

5. Решить уравнение

3 + 4| cos x| = b cos 2x,

если известно, что \frac{2π}{3} является одним из его решений. (6 очков)

Решение. Так как x = \frac{2π}{3} есть решение уравнения, следует, что

3 + 4| cos \frac{2π}{3} | = b cos \frac{2π}{3} , или 3 + 4 · \frac{1}{2} = b (−\frac{1}{2}) ,

откуда b = −10. Тогда исходное уравнение примет вид

3 + 4| cos x| = −10 cos 2x ⇔ 10(2 cos^{2} x − 1) + 4| cos x| + 3 = 0.

Положив t = | cos x|, (тогда cos^{2} x = t^{2}), получим квадратное уравнение

20t^{2} + 4t − 7 = 0,

решения которого t_{1} = \frac{1}{2}, t_{2} = \frac{−7}{10}. Поскольку t ∈ [0; 1], остается t = \frac{1}{2}. Таким образом,

| cos x| = \frac{1}{2} ⇔ cos x = ±\frac{1}{2} ⇔ [ \begin{matrix}x = ±\frac{π}{3} + 2πn, \\ x = ±\frac{2π}{3} + 2πk, \end{matrix} n, k ∈ Z.

6. Высота прямого кругового конуса равна 6см, а его образующая образует угол в 60^{∘} с плоскостью основания. В конусе размещена пирамида, основание которой - прямоугольный равнобедренный треугольник, вписанный в основание конуса, а вершина пирамиды находится на середине одной из образующих конуса. Найти объем пирамиды. (5 очков)

[figure: A; B; E; O; H; D; C]

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник △COB (CO ⊥ OB). Так как C̸BO = 60^{∘} (из условий), используя метрические соотношения в треугольнике, получим: OB = CO · ctg(^{}C̸BO) = 6 ctg 60^{∘} = 2\sqrt{3}(см). Таким образом, гипотенуза AB прямоугольного треугольника AEB (в то же время диаметр окружности радиуса OB) равна AB = 2OB = 4\sqrt{3}(см), а площадь △AEB (и площадь основания пирамиды).

S_{△AEB} = \frac{1}{2}AB · EO = \frac{1}{2}4\sqrt{3} · 2\sqrt{3} = 12(см^{2}).

Высота пирамиды DH является средней линией в △AOC, и, следовательно, равна поло-

вине OC, DH = \frac{1}{2}OC = 3см. Таким образом,

V = \frac{1}{3}S_{△AEB} · DH = \frac{1}{3} · 12 · 3 = 12(см^{3}).

7. Прямая x + y − 4 = 0 является касательной к эллипсу

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,

где b ∈ (0, 3). Определить значение b и координаты точки касания прямой и эллипса. (6 очков)

Решение. Уравнение касательной к эллипсу \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 в точке (x_{0}, y_{0}) есть

\frac{x_{0}x}{a^{2}} + \frac{y_{0}y}{b^{2}} = 1,

или, в данном случае

\frac{x_{0}x}{9} + \frac{y_{0}y}{b^{2}} = 1,

откуда

y = −\frac{x_{0}b^{2}}{9y_{0}} x + \frac{b^{2}}{y_{0}} .

Из условия (y = −x + 4) следует

\{ \begin{matrix}−\frac{x_{0}}{9} · \frac{b^{2}}{y_{0}} = −1, \\ \frac{b^{2}}{y_{0}} = 4, \end{matrix}

откуда x_{0} = \frac{9}{4}. Поскольку y_{0} = 4 − x_{0} ⇒ y_{0} = \frac{7}{4}, используя уравнение эллипса находим b

\frac{(\frac{9}{4})2}{9} + \frac{(\frac{7}{4})2}{b^{2}} = 1 ⇒ \frac{9}{16} + \frac{49}{16b^{2}} = 1,

откуда 9b^{2} + 49 = 16b^{2}, или b^{2} = 7, b = ±\sqrt{7}, и, поскольку b ∈ (0, 3), получим

b = \sqrt{7}.

Таким образом b = \sqrt{7}, а точка касания M (\frac{9}{4}, \frac{7}{4}).

8. Определить член разложения бинома (\sqrt{a} + ^{3} \sqrt{b})^{n}, который не содержит b^{2}, если известно, что n - это наибольшее натуральное число, которое удовлетворяет неравенству

log_{\frac{1}{3}} n + log_{\frac{n}{3}} n > 0.

(7 очков)

Решение. Исходное неравенство равносильно следующему

− log_{3} n + \frac{log_{3} n}{log_{3} n − 1} > 0.

Обозначив log_{3} n = t, получим

\frac{t(2 − t)}{t − 1} > 0.

Учитывая что t > 0, из последнего неравенства получим

1 < log_{3} x < 2 ⇔ 3 < n < 9.

Поскольку n ∈ N и является наибольшим из интервала (3;9), следует, что n = 8. Общий член разложения T_{k+1} имеет вид

T_{k+1} = C_{8}^{k}a^{\frac{8−k}{2}} b^{\frac{k}{3}} ,

откуда \frac{k}{3} = 2, или k = 6. Таким образом, T_{7} = C_{8}^{6}ab^{2} = 28ab^{2}.

9. Рассмотрим функцию

f : D ⟶ R, D ⊂ R

такую, что

f(x) = \frac{ax}{x^{2} + 3x + b^{2}} .

Найти такие a, b, чтобы значения функции в точках экстремума равнялись −1 и −2. (8 очков)

Решение. Находим критические точки

f′(x) = a\frac{(x^{2} + 3x + b^{2}) − x(2x + 3)}{(x^{2} + 3x + b^{2})^{2}} = a\frac{b^{2} − x^{2}}{(x^{2} + 3x + b^{2})^{2}} .

Следовательно, f′(x) = 0 ⇔ b^{2} − x^{2} = 0 ⇔ x = ±b.

Заметим, что a ≠ 0, b ≠ 0 (в противном случае нарушаются условия задачи) и в окрестностях точек x = ±b производная меняет знак. Следовательно, точки x = −b и x = b являются точками экстремума.

Получим следующую совокупность систем

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}f(b) = −1, \\ f(−b) = −2, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}f(b) = −2, \\ f(−b) = −1, \end{matrix} \end{matrix} или [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}\frac{a}{2b + 3} = −1, \\ \frac{−a}{b2 − 3} = −2, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}\frac{a}{2b + 3} = −2, \\ \frac{−a}{2b − 3} = −1. \end{matrix} \end{matrix}

Из первой системы получим a = −4, b = \frac{1}{2}, а из второй a = −4, b = −\frac{1}{2}. В обоих случаях функция f равна

f(x) = \frac{−4x}{x^{2} + 3x + \frac{1}{4}} .

10. Пусть △ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Медиана CP перпендикулярна медиане BQ, а сторона BC равна a. Вычислить длину медианы BQ. (8 очков)

[figure: B; P; A; M; Q; C]

Решение. Пусть^{}C̸BA = α. Тогда^{}B̸AC = 90^{∘}−α. Поскольку CP = \frac{1}{2}AB = BP = P A, следует ^{}B̸CP = α и ^{}A̸CP = 90^{∘} − α. Из прямоугольного треугольника CMQ получим C̸QB = α. Таким образом, △CBQ ∼ △ABC, откуда

\frac{BQ}{AB} = \frac{BC}{AC} = \frac{CQ}{BC}.

Так как CQ = \frac{1}{2}AC (BQ - медиана) следует

\frac{a}{AC} = \frac{\frac{1}{2}AC}{a} ,

откуда AC = a\sqrt{2}. Используя теорему Пифагора, получим AB^{2} = a^{2} +2a^{2}, или AB = a\sqrt{3}. Таким образом,

\frac{BQ}{a\sqrt{3}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} ⇒ BQ = a\sqrt{\frac{3}{2}}.