Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2010 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Министерство просвещения Республики Молдова Агенство оценивания знаний и организации экзаменов

Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 14 июня 2010 Реальный профиль

Время выполнения: 180 минут.

В заданиях 1-4 заполните пустые рамки, чтобы полученные высказывания стали истинными.

1. Заполните пустую рамку так, чтобы высказывание стало истинным.

10^{2−lg 4} = .

2. На рисунке представлен график дифференцируемой функции f : ℝ → ℝ. Впишите в каждую пустую рамку один из знаков ">", "<" или "=", чтобы высказывания стали истинными.

f′(−1) 0,
f′(1) 0,
f′(2) 0.

[figure: x; y; −1; 0; 1; 2; 1; 2; . ^{..................................................} ^{..............................................} ^{...........................................} ^{.......................................} ^{....................................} ^{.................................} ^{.............................} ^{..........................} ^{......................} ^{...................} ^{...............} ^{.............}; .^{.......}. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; ^{.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . . .}; . ^{.......} ^{........} ^{...........} ^{..............} ^{................} ^{...................}; .^{..................}^{..............}^{...........}^{.........}^{........}. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .⋮.}]

3. Ученик для треугольника ABC со сторонами AB = 3 см и AC = 5 см применил

теорему синусов и получил \frac{sin(∠ABC)}{sin(∠ACB)} = \frac{3}{5}.

[figure: A; C; B; 3; 5]

Обведите ДА, если получен правильный ответ, или НЕТ, если ученик ошибся.

ДА  НЕТ

4. В таблице приведены данные о количестве квартир с различными числом комнат в новом жилом доме:

Количество комнат в квартире x_{i} 1 2 3 4 5 6
Количество квартир в доме  n_{i} 15 32 28 24 6 3

Найдите моду M_{o} и медиану M_{e} данного статистического ряда.

M_{o} = ; M_{e} = .

5. Запишите число z = (1 − i)^{2} + 4i в тригонометрической форме.

1) (1 − i)^{2} + 4i =

2) r = |z| =

3) φ = argz =

4) z = r(cos φ + i sin φ) =

6. Сено сложено в скирду, имеющую форму фигуры, изображенной на рисунке, и состоящую из двух прямых призм. Используя данные рисунка, вычислите массу сена в скирде, если масса 1 м^{3} сена равна 85 кг.

[figure: 20; 6; 3; 2]

7. Решите на множестве ℝ неравенство \frac{log_{\frac{1}{2}} x^{2} + 2}{\sqrt{2x + 1}} ≥ 0.

8. Обведите букву И, если высказывание истинно, или букву Л, если оно ложно. Обоснуйте ответ.

∫_{0}^{\frac{1}{2} ln 3}\frac{e^{x}}{e^{2x} + 1}dx > \frac{1}{4}  И  Л

9. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A(1; 3) и B(−3; 1), если центр этой окружности принадлежит прямой l : 4x + y − 8 = 0.

10. Запишите в пустую рамку число, чтобы полученное высказывание стало истинным. "Количество рациональных членов в разложении бинома (\sqrt[4]{2} + \sqrt[7]{7})^{15} равно ". Аргументируйте ответ.

11. Найдите критические точки функции

f : (−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2} ) → ℝ, f(x) = 2 sin 2x − 2\sqrt{3} cos 2x + 7.

12. Найдите действительные значения параметра m, при которых многочлен P (X) = mX^{3} − (m + 1)X^{2} − (m + 1)X + m имеет три различных действительных корня.

Решения

1. 10^{2−lg 4} = \frac{10^{2}}{10^{lg 4}} = \frac{100}{4} = 25.

Ответ: 25.

2. f′(−1) < 0 (в окрестности точки x = −1 функция f строго убывает), f′(1) = 0 (точка x = 1 – точка локального экстремума), f′(2) > 0 (в окрестности точки x = 2 функция f строго возрастает).

3. Согласно теореме синусов

\frac{AC}{sin(∠ABC)} = \frac{AB}{sin(∠ACB)} ⇒ \frac{5}{sin(∠ABC)} = \frac{3}{sin(∠ACB)} ⇒ \frac{sin(∠ABC)}{sin(∠ACB)} = \frac{5}{3},

ученик получил неверный результат.

Ответ: НЕТ.

4. M_{o} = 2; M_{e} = 3.

5. 1) (1 − i)^{2} + 4i = 1 − 2i + i^{2} + 4i = 1 − 2i − 1 + 4i = 2i.

2) r = |z| = \sqrt{0^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4} = 2.

3) φ = argz = \frac{π}{2} .

4) z = r(cos φ + i sin φ) = 2 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2} ).

6. Находим объем прямоугольного параллелепипеда с размерами 6 × 3 × 20:

V_{1} = 6 · 3 · 20 = 360 (м^{3}).

Находим объем прямой прямоугольной призмы:

V_{2} = A_{b} · h = \frac{1}{2} · 6 · 2 · 20 = 120 (м^{3}).

Находим объем скирды:

V = V_{1} + V 2 = 360 + 120 = 480 (м^{3}).

и массу сена

m = 85 · 480 = 40800 (кг).

Ответ: 40800 кг.

7. \frac{log_{\frac{1}{2}} x^{2} + 2}{\sqrt{2x + 1}} ≥ 0 ⇔ \{ \begin{matrix}log_{\frac{1}{2}} x^{2} + 2 ≥ 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}2 log_{\frac{1}{2}} |x| ≥ −2 \\ x > −\frac{1}{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}log_{\frac{1}{2}} |x| ≥ −1 \\ x > −\frac{1}{2} \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}log_{\frac{1}{2}} |x| ≥ log_{\frac{1}{2}} 2 \\ x > −\frac{1}{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}|x| ≤ 2 \\ |x| > 0 \\ x > −\frac{1}{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}−2 ≤ x ≤ 2 \\ x ≠ 0 \\ x > −\frac{1}{2} \end{matrix} ⇔ x ∈ (−\frac{1}{2}; 0) ∪ (0; 2].

Ответ: S = (−\frac{1}{2}; 0) ∪ (0; 2].

8. ∫_{0}^{\frac{1}{2} ln 3}\frac{e^{x}}{e^{2x} + 1}dx > \frac{1}{4} ⇔  ∫_{0}^{\frac{1}{2} ln 3}\frac{d(e^{x})}{e^{2x} + 1} > \frac{1}{4} ⇔ arctge^{x}|_{0}^{\frac{1}{2} ln 3} > \frac{1}{4} ⇔

⇔ arctg\sqrt{3} − arctg0 > \frac{1}{4} ⇔ \frac{π}{3} > \frac{1}{4} ⇔ π > \frac{3}{4} – высказывание истинно. Ответ: И.

9. Пусть (x − a)^{2} + (y − b)^{2} = R^{2} – уравнение данной окружности C(a, b), где (a, b) – центр окружности, R – радиус.

Из условия задачи следует система:

\{ \begin{matrix}(1 − a)^{2} + (3 − b)^{2} = R^{2} (A ∈ C(a, b)), \\ (−3 − a)^{2} + (1 − b)^{2} = R^{2} (B ∈ C(a, b)), \\ 4a + b − 8 = 0 ((a, b) ∈ l). \end{matrix}

Решая систему, получим:

\{ \begin{matrix}1 − 2a + a^{2} + 9 − 6b + b^{2} = R^{2} \\ 9 + 6a + a^{2} + 1 − 2b + b^{2} = R^{2} \\ 4a + b = 8 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}−8a − 4b = 0 \\ (3 + a)^{2} + (1 − b)^{2} = R^{2} \\ 4a + b = 8 \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}−8a − 4b = 0 \\ 8a + 2b = 16 \\ (3 + a)^{2} + (1 − b)^{2} = R^{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}a = 4 \\ b = −8 \\ 7^{2} + 9^{2} = R^{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}a = 4 \\ b = −8 \\ R^{2} = 130 \end{matrix} , откуда R = \sqrt{130}.

Ответ: \sqrt{130}.

10. Имеем T_{k+1} = C_{n}^{k}a^{n−k}b^{k} или T_{k+1} = C_{15}^{k}2^{\frac{1}{4} (15−k)}7^{\frac{1}{7} k}. Для того, чтобы T_{k+1} ∈ ℚ, необходимо и достаточно, чтобы

\{ \begin{matrix}0 ≤ k ≤ 15, \\ \frac{15 − k}{4} ⋮ 4, \\ k ⋮ 7, \\ k ∈ ℕ. \end{matrix}

Решаем систему:

\{ \begin{matrix}0 ≤ k ≤ 15 \\ k ∈ \{3; 7; 11; 15\} \\ k ∈ \{0; 7; 14\} \\ k ∈ ℕ \end{matrix} ⇔ k = 7.

Таким образом, количество рациональных членов в разложении бинома равно 1.

Ответ: 1.

11. Находим производную функции:

f′(x) = 2 cos 2x · (2x)′ − 2\sqrt{3}(− sin 2x) · (2x)′ + 0 = 4 cos 2x + 4\sqrt{3} sin 2x.

Находим критические точки, решая уравнение f′(x) = 0 ⇒ 4 cos 2x + 4\sqrt{3} sin 2x = 0 ⇔ ⇔ \sqrt{3} sin 2x + cos 2x = 0 (однородное уравнение первой степени) ⇔ \sqrt{3}tg2x + 1 = 0 ⇔

⇔ tg2x = −\frac{1}{\sqrt{3}} ⇔ 2x = arctg(−\frac{1}{\sqrt{3}}) + πn, n ∈ ℤ ⇔ 2x = −\frac{π}{6} + πn, n ∈ ℤ ⇔

⇔ x = −\frac{π}{12} + \frac{πn}{2}, n ∈ ℤ.

Поскольку x ∈ (−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2} ), имеем:

−\frac{π}{2} ≤ −\frac{π}{12} + \frac{πn}{2} ≤ \frac{π}{2} , n ∈ ℤ,

−\frac{1}{2} ≤ −\frac{1}{12} + \frac{n}{2} ≤ \frac{1}{2}, n ∈ ℤ,

−\frac{15}{12} ≤ \frac{n}{2} ≤ \frac{7}{12}, n ∈ ℤ,

откуда n_{1} = 0 и n_{2} = 1. Итак, получаем 2 критические точки: x_{1} = −\frac{π}{12}; x_{2} = \frac{5π}{12} .

Ответ: x_{1} = −\frac{π}{12}; x_{2} = \frac{5π}{12} .

12. Если m = 0, то gradP = 2, и многочлен P не может иметь трех корней. Пусть m ≠ 0.

mX^{3} − (m + 1)X^{2} − (m + 1)X + m = m(X^{3} + 1) − (m + 1)(X^{2} + X) = = m(X + 1)(X^{2} − X + 1) − (m + 1)X(X + 1) = (X + 1)[mX^{2} − mX + m − mX − X] = = (X + 1)[mX^{2} − X(2m + 1) + m]. Таким образом,

P (X) = 0 ⇔ (X + 1) [mX^{2} − X(2m + 1) + m] = 0.

Имеем x_{1} = −1. Проверяем, является ли точка x = −1 корнем многочлена Q(x) = mx^{2} − (2m + 1)x + m:

Q(−1) = m(−1)^{2} − (2m + 1)(−1) + m = m + (2m + 1) + m = 4m + 1,

Q(−1) = 0 ⇒ 4m + 1 = 0 ⇔ m = −\frac{1}{4}.

Значит, m = −\frac{1}{4} не удовлетворяет условию задачи.

Два других различных действительных корня получаются, если

Δ = (2m + 1)^{2} − 4m^{2} > 0

или

(2m + 1 − 2m)(2m + 1 + 2m) > 0 ⇔ 4m + 1 > 0 ⇔ m > −\frac{1}{4}.

Таким образом, если m ∈ (−\frac{1}{4}; 0) ∪ (0; +∞) многочлен P (X) имеет три различных

действительных корня.

Ответ: m ∈ (−\frac{1}{4}; 0) ∪ (0; +∞).

Оценочная схема

Максимальное число баллов N 1 — 2 балла N 2 — 3 балла N 3 — 2 балла N 4 — 4 балла N 5 — 4 балла N 6 — 5 баллов N 7 — 7 баллов N 8 — 6 баллов N 9 — 8 баллов N 10 — 8 баллов N 11 — 7 баллов N 12 — 7 баллов всего: 63 балла