Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2008 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Министерство просвещения и молодежи Республики Молдова

Агенство оценивания знаний и организации экзаменов Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 13 июня 2008

Реальный профиль

Время работы: 180 минут.

I. В заданиях 1-3 запишите ответы на поставленные вопросы в отведенных местах.

1. На рисунке представлен график функции f : ℝ \ {3} → ℝ

lim_{x→3−0} f(x) =

lim_{x→3+0} f(x) =

[figure: x; y; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; −5; −4; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 4; 5; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .}; ^{.. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; . ^{...................} ^{...................} ^{....................} ^{.......................} ^{..........................} ^{............................} ^{...............................} ^{.................................} ^{....................................} ^{......................................} ^{.........................................} ^{............................................}]

2. В прямоугольнике MNP Q точка F – середина отрезка MQ. Если площадь трапеции

NP QF равна A_{1}, а площадь треугольника MNF равна A_{2}, то \frac{A_{1}}{A_{2}} = .

M  F  Q P N  A_{1} A_{2}

3. Выражение E = \sqrt{1 − sin x} имеет смысл при x ∈ .

II. В заданиях 4-8 приведите краткие решения и обоснования ответов.

4. Определите истинность высказывания и обведите букву И, если высказывание истинно, или букву Л, если оно ложно.

"Если z_{1} = 2 (cos \frac{5π}{6} + i sin \frac{5π}{6} ), z_{2} = \frac{4}{\sqrt{3} − i}, то (z_{1} + z_{2}) ∈ ℝ."

Обоснуйте ответ.

5. У продавца на рынке из 50 имеющихся арбузов 40 арбузов являются спелыми. Какова вероятность того, что купив любые 2 арбуза у этого продавца, вы купите оба арбуза спелые?

6. Решите на множестве ℝ неравенство log_{\frac{1}{3}} (x^{2} − 6x + 9) > −2.

7. Заполните пустую рамку одним из знаков ” > ” , ” < ” , ” = ” так, чтобы высказывание стало истинным.

"Если A = ∫_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{2x + 1}, B = ∫_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} ctgxdx, то A B."

Обоснуйте ответ.

8. Найдите координаты основания перпендикуляра, проведенного из точки A(−1; 2) на прямую l : 3x − 5y − 21 = 0.

III. Решите задачи 9-12 и запишите полное их решение.

9. Найдите действительные значения параметра m, при которых решения уравнения x^{3} + 4x^{2} + m = 0 удовлетворяют условию x_{3} = x_{1} + x_{2}.

10. Решите на множестве ℝ уравнение |3^{x} − 3| + 3^{2x} = 3.

11. Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник. Найдите отношение объема конуса к объему вписанного в него шара.

12. Для постройки здания больницы, фундамент которого должен иметь форму прямоугольника MNKL площадью 400 м^{2}, требуется участок земли в виде прямоугольника ABCD, границы которого должны отстоять от строения на 36 м и 16 м (смотрите рисунок). Найдите длину и ширину фундамента здания, при которых площадь участка ABCD будет наименьшей.

[figure: A; D; B; C; M; L; N; K; 36 м; 36 м; 16 м; 16 м]

Решения

1. lim_{x→3−0} f(x) = +∞; lim_{x→3−0} f(x) = 1.

2. \frac{A_{1}}{A_{2}} = 3.

3. x ∈ ℝ.

4. Л, поскольку z_{1} = 2 (cos \frac{5π}{6} + i sin \frac{5π}{6} ) = 2 (−\frac{\sqrt{3}}{2} + i · \frac{1}{2}) = −\sqrt{3} + i;

z_{2} = \frac{4}{\sqrt{3} − i} = \frac{4(\sqrt{3} + i)}{3 + 1} = \sqrt{3} + i; z_{1} + z_{2} = −\sqrt{3} + i + \sqrt{3} + i = 2i ∉ ℝ.

5. Используя формулу классической вероятности p = \frac{m}{n}, где m – число благоприятных случаев, n – общее число случаев, получим:

n = C_{50}^{2} = \frac{50!}{2!48!} = \frac{50 · 49}{2}; m = C_{40}^{2} · C_{10}^{0} = \frac{40!}{2!38!} · 1 = \frac{40 · 39}{2}; p = \frac{\frac{40·39}{2}}{\frac{50·49}{2}} = \frac{4}{5} · \frac{39}{49} = \frac{156}{245}.

Ответ: \frac{156}{245}.

6. log_{\frac{1}{3}} (x^{2} − 6x + 9) > −2 ⇔ log_{\frac{1}{3}} (x − 3)^{2} > −2 ⇔ −2log_{3}|x − 3| > −2 ⇔

⇔ log_{3}|x − 3| < 1 ⇔ \{ \begin{matrix}|x − 3| < 3, \\ |x − 3| > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}−3 < x − 3 < 3, \\ x ≠ 3, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}0 < x < 6, \\ x ≠ 3, \end{matrix} ⇔

⇔ x ∈ (0; 3) ∪ (3; 6).

Ответ: S = (0; 3) ∪ (3; 6).

7. A = ∫_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{2x + 1} = \frac{1}{2} ln |2x + 1||0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (ln 2 − ln 1) = \frac{1}{2} (ln 2 − 0) = \frac{1}{2} ln 2,

B = ∫_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} ctgxdx = ∫_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{cos x}{sin x}dx = \frac{1}{2} ln | sin x||\frac{π}{2} ; \frac{π}{4} = ln 1−ln \frac{1}{\sqrt{2}} = 0−ln 2^{− \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln 2, следовательно, A = B.

8. Угловой коэффициент прямой l : 3x − 5y − 21 = 0 равен m_{1} = \frac{3}{5}. Угловой

коэффициент перпендикуляра m_{2} = −\frac{5}{3} (согласно условию перпендикулярности прямых m_{1} · m_{2} = −1).

Уравнение перпендикуляра y − 2 = −\frac{5}{3}(x + 1) или 3y − 6 = −5x − 5, 5x + 3y − 1 = 0. Находим координаты основания перпендикуляра из системы:

\{ \begin{matrix}3x − 5y − 21 = 0, \\ 5x + 3y − 1 = 0. \end{matrix}

Умножив первое уравнение на 5, а второе на (−3), и сложив, получим:

−34y − 102 = 0, откуда y = −3.

Тогда 5x + 3 · (−3) − 1 = 0, 5x = 10 и x = 2.

Таким образом, координаты основания перпендикуляра: (2; −3). Ответ: (2; −3).

9. По теореме Виета:

\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} = −4, \\ x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} = 0, \\ x_{1}x_{2}x_{3} = −m, \end{matrix}

кроме того, x_{1} + x_{2} = x_{3}. Из этого уравнения и первого отношения получим

\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} = −4, \\ x_{1} + x_{2} = x_{3}, \end{matrix}

откуда 2x_{3} = −4 и x_{3} = −2.

Поскольку x_{3} = −2 является решением уравнения, то

(−2)^{3} + 4 · (−2)^{2} + m = 0,
−8 + 16 + m = 0,
m + 8 = 0,
m = −8.

Ответ: m = −8.

10. |3^{x} − 3| + 3^{2x} = 3 ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ∈ (−∞; 1] \\ −3^{x} + 3 + 3^{2x} = 3 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (1; +∞) \\ 3^{x} − 3 + 3^{2x} = 3 \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ∈ (−∞; 1] \\ 3^{2x} − 3^{x} = 0 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (1; +∞) \\ 3^{2x} + 3^{x} − 6 = 0 \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ∈ (−∞; 1] \\ 3^{x}(3^{x} − 1) = 0 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (1; +∞) \\ (3^{x} − 2)(3^{x} + 3) = 0 \end{matrix} \end{matrix}  ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ∈ (−∞; 1] \\ 3^{x} = 1 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (1; +∞) \\ [ & \begin{matrix}3^{x} − 2 = 0 \\ 3^{x} + 3 = 0 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}  ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ∈ (−∞; 1] \\ x = 0 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (1; +∞) \\ [ & \begin{matrix}3^{x} = 2 \\ 3^{x} = −3 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}  ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x = 0 \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (1; +∞) \\ x = log_{3}2 < 1 \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x = 0.

Ответ: S = {0}.

11. Пусть a – сторона равностороннего треугольника из осевого сечения конуса, R_{c} – радиус основания конуса, H_{c} – высота конуса, r – радиус шара. Тогда

R_{c} = \frac{a}{2}; H_{c} = \frac{a}{2}tg60^{o} = \frac{a}{2}\sqrt{3}; r = \frac{a}{2}tg30^{o} = \frac{a}{2\sqrt{3}}.

Находим объем конуса:

V_{c} = \frac{1}{3}πR_{c}^{2}H_{c} = \frac{1}{3}π \frac{a^{2}}{4} · \frac{a}{2}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}πa^{3}}{24} .

Находим объем шара:

V_{s} = \frac{4}{3}πr^{3} = \frac{4}{3}π · \frac{a^{3}}{8 · 3 · \sqrt{3}} = \frac{πa^{3}}{18\sqrt{3}}.

Находим отношение объемов:

\frac{V_{c}}{V_{s}} = \frac{\sqrt{3}πa^{3}}{24} · \frac{18\sqrt{3}}{πa^{3}} = \frac{3 · 3}{4} = \frac{9}{4}.

Ответ: \frac{9}{4}.

12. Пусть a = |MN|, b = |ML|. Согласно условиям A=400 м^{2}, то есть ab = 400. Площадь прямоугольника ABCD равна

S = (36 + 36 + b)(16 + 16 + a) = (72 + b)(32 + a).

Имеем a = \frac{400}{b} и S = (72 + b) (32 + \frac{400}{b}). Исследуем функцию S на минимум:

S′ = 32 + \frac{400}{b} + (72 + b) (−\frac{400}{b^{2}}) = 32 − \frac{72 · 400}{b^{2}} = 32 (1 − \frac{18 · 50}{b^{2}}) = 32 (1 − \frac{900}{b^{2}});

S′ = 0 ⇒ 32 (1 − \frac{900}{b^{2}}) = 0 ⇔ \frac{b^{2} − 900}{b^{2}} = 0, откуда b = ±30.

30^{0} −  + ↘  ↗  \overline{}b

Таким образом, b_{min} = 30 и a = \frac{400}{30} = \frac{40}{3}.

Ответ: ширина \frac{40}{3} м, длина 30 м.

Оценочная схема

Максимальное число баллов N 1 — 2 балла N 2 — 2 балла N 3 — 2 балла N 4 — 4 балла N 5 — 5 баллов N 6 — 5 баллов N 7 — 6 баллов N 8 — 7 баллов N 9 — 7 баллов N 10 — 8 баллов N 11 — 8 баллов N 12 — 8 баллов всего: 64 балла

Оценка ”10” — 62-64 балла ”9” — 57-61 балл ”8” — 50-56 баллов ”7” — 39-49 баллов ”6” — 30-38 баллов ”5” — 17-29 баллов ”4” — 14-16 баллов ”3” — 9-13 баллов ”2” — 5-8 баллов ”1” — 0-4 балла