Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство Образования и Науки Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 2001 Технический профиль

Время работы: 180 минут.

1. Между какими последовательными целыми числами находится число log_{\frac{1}{7}} 143?

2. Привести пример функции, которая не определена в точке x = 3, но имеет конечный предел в этой точке.

3. Определите четвертый член в разложении бинома (\sqrt{2x} − \frac{x}{2})^{6}.

4. Окружности, заданные уравнениями x^{2} + y^{2} = −4x и x^{2} + y^{2} = 4y имеют общую хорду. Напишите уравнение прямой, содержащую эту хорду.

5. Дан многочлен P (x) = x^{3} − 2x^{2} − 7x − 3. Найдите остаток деления многочлена P (x) на бином x − a, где α = 3 − i.

6. Решить неравенство \frac{\sqrt{3x^{2} − 3}}{3x^{2} − 4} ≥ 0.

7. Вычислить объем тела вращения, определенного функцией f(x) = −x^{2} + 4x, если x ∈ [0; 2].

8. Определите радиус описанной окружности прямоугольного треугольника с длиной одного катета равной 5см и радиусом вписанной окружности, равным 2см.

9. Решить уравнение

2 − 3 log_{125}(x + 3)^{2} = 4 log_{25} \frac{x − 5}{x − 3}.

10. При каких значениях действительного параметра m функция f : R ⟶ R, f(x) = = 2(m^{2}x + 3) − x(21 − mx) имеет минимум в точке x = 0, 5.

11. Решить систему уравнений в множестве действительных чисел:

sin x + \sqrt{y} + z^{2} = 14,
2 sin x + \sqrt{y} − z^{2} = −3,
3 sin x + \sqrt{y} − 2z^{2} = −11.

12. Площадь диагонального сечения четырехугольной правильной пирамиды равна площади основания. Определите объем пирамиды, если длина бокового ребра равна 5см.

Решения

1. Так как 49 < 143 < 343, то log_{\frac{1}{7}} 343 < log_{\frac{1}{7}} 143 < log_{\frac{1}{7}} 49 (логарифмическая функция f(x) = log_{a} x при a ∈ (0; 1) строго убывает) или

−3 < log_{\frac{1}{7}} 143 < −2

то есть число log_{\frac{1}{7}} 143 находится между целыми последовательными числами −3 и −2.

2. Например, f : R \ \{3\} ⟶ R, f(x) = \frac{x^{2} − 9}{x − 3}. Действительно,

lim_{x→3} f(x) = lim_{x→3} \frac{(x − 3)(x + 3)}{(x − 3)} = lim_{x→3}(x + 3) = 6.

3. Используя формулу (k + 1)-го члена в разложении бинома (a + b)^{n}

T_{k+1} = C_{n}^{k}a^{n−k}b^{k},

где n = 6, k + 1 = 4, откуда k = 3, a = (2x)^{\frac{1}{2}} и b = −\frac{x}{2}, получим T_{4} = C_{6}^{3}(2x)^{\frac{3}{2}} (−\frac{x}{2})^{3} = = −5\sqrt{2}x^{4}\sqrt{x}.

4. Решая систему уравнений

\{ \begin{matrix}x^{2} + y^{2} = −4x, \\ x^{2} + y^{2} = 4y, \end{matrix}

получим точки пересечения окружностей: A(0; 0) и B(−2; 2). Напишем уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

\frac{x − 0}{−2 − 0} = \frac{y − 0}{2 − 0}

откуда y = −x. Таким образом, уравнение прямой, содержащей данную хорду, есть y = −x.

5. Поскольку P (3 − i) = (3 − i)^{3} − 2(3 − i) − 7(3 − i) − 3 = 27 − 27i + 9i^{2} − i^{3} − 18 + 12i− −2i^{2} − 21 + 7i − 3 = −22 − 7i, следует, что остаток деления данного многочлена на x − α, где α = 3 − i равен −22 − 7i.

6.

\begin{matrix}\frac{\sqrt{3x^{2} − 3}}{3x^{2} − 4} ≥ 0 ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}3x^{2} − 3 = 0, \\ 3x^{2} − 4 ≠ 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}3x^{2} − 3 > 0, \\ 3x^{2} − 4 > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = 1, x = −1, \\ x ∈ (−∞; −\frac{2}{\sqrt{3}}) ∪ (\frac{2}{\sqrt{3}}; +∞) , \end{matrix} ⇔ \\ ⇔ x ∈ (−∞; −\frac{2}{\sqrt{3}}) ∪ \{−1\} ∪ \{1\} ∪ (\frac{2}{\sqrt{3}}; +∞) . \end{matrix}

7. Используя формулу для определения объема тела вращения, образованного вращением вокруг оси Ox подграфика функции f : [a, b] ⟶ R

V = π ∫_{a}^{b} f^{2}(x)dx,

получим

\begin{aligned}V & = π ∫_{0}^{2}(−x^{2} + 4x)^{2}dx = π ∫_{0}^{2}(x^{2} − 8x^{3} + 16x^{2})dx = \\ & = π (\frac{x^{5}}{5} − 2x^{4} + \frac{16}{3}x^{3})|_{0}^{2} = π (\frac{32}{5} − 32 + \frac{128}{3}) = \frac{256}{15}π(куб.ед.) \end{aligned}

8.

[figure: C; D; B; E; A; F; O]

Пусть ABC - прямоугольный треугольник (AC ⊥ BC) с AC = 5см и OD = OE = OF = = r = 2см. (O - центр вписанной в треугольнике ABC окружности). Пусть BF = x. Тогда BD = x и поскольку CE = 2см, (OECD - квадрат), то AE = AF = 3см и AB = 3 + x. Используя теорему Пифагоры, получим

5^{2} + (2 + x)^{2} = (3 + x)^{2},

откуда x = 10см. Следовательно, гипотенуза AB = 3 + 10 = 13(см), а радиус описанной окружности R = \frac{c}{2} = 6, 5(см) (центр описанной прямоугольному треугольнику окружности находится в середине гипотенузы).

9. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения находится, решая систему неравенств

\{ \begin{matrix}\frac{x − 5}{x − 3} > 0, \\ (x + 3)^{2} > 0 \end{matrix}

откуда x ∈ (−∞; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (5; +∞).

В ОДЗ уравнение эквивалентно уравнению

2 − 3 · \frac{1}{3} · 2 log_{5} |x + 3| = 4 · \frac{1}{2} log_{5} \frac{x − 5}{x − 3}

или

1 − log_{5} |x + 3| = log_{5} \frac{x − 5}{x − 3},

1 = log_{5} (\frac{x − 5}{x − 3} · |x + 3|)

откуда получим

5 = \frac{x − 5}{x − 3}|x + 3|.

Учитывая ОДЗ рассмотрим два случая:

1. x ∈ (−∞; −3). Тогда |x + 3| = −(x + 3) и уравнение примет вид 5(x − 3) = −(x − 5)(x + 3). Решив полученное квадратное уравнение x^{2} + 3x − 30 = 0

найдем x_{1} = \frac{−3 − \sqrt{129}}{2} и x_{2} = \frac{−3 + \sqrt{129}}{2} (не удовлетворяет условию x < −3).

2. x ∈ (−3; 3) ∪ (5; +∞). Тогда |x + 3| = x + 3 и уравнение примет вид

5(x − 3) = (x − 5)(x + 3)

или x^{2} − 7x = 0, откуда x_{1} = 0 и x_{2} = 7.

Таким образом, множество решений данного уравнения есть \{\frac{−3−\sqrt{129}}{2}; 0; 7\}.

10. Данная функция, f(x) = mx^{2} + (2m^{2} − 21)x + 6 для m ≠ 0, представляет собой квадратный трехчлен, который имеет минимум в точке x = \frac{1}{2}, если

\{ \begin{matrix}m > 0, \\ −\frac{2m^{2} − 21}{2m} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

(ветви параболы направлены вверх и ее вершина находится в точке x = \frac{1}{2}). Решая систему, получим m = 3.

При m = 0 функция f линейная функция и не имеет минимума. Следовательно m = 3.

11. Сложив первые два уравнения получим 3 sin x + 2\sqrt{y} = 11. Умножив первое уравнение на 2 и сложив с третьим уравнением получим: 5 sin x + 3\sqrt{y} = 17. Из полученной системы следует \sqrt{y} = 4 или y = 16. Далее sin x = 1, откуда x = \frac{π}{2} +2πk, k ∈ Z. Подставив x и y например в первое уравнение, получим z^{2} = 9, откуда z = ±3. Таким образом

x = \frac{π}{2} + 2πk, k ∈ Z,  y = 16,  z = ±3.

12.

[figure: A; B; C; D; O; S]

Пусть SABCD - правильная четырехугольная пирамида с SB = SC = SD = SA = 5см, AB = a (сторона основания), SO ⊥ AC (h = SO - высота пирамиды). Тогда AC = a\sqrt{2},

S_{△SAC} = \frac{1}{2}AC · SO = \frac{1}{2}\sqrt{2}ah = \frac{1}{\sqrt{2}}ah. S_{ABCD} = a^{2}. Согласно гипотезе a^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}ah, откуда

h = \sqrt{2}a. Из прямоугольного треугольника SOC получим

OC^{2} + SO^{2} = SC^{2}, то есть (\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2} + (\sqrt{2}a)^{2} = 5^{2}

или \frac{a^{2}}{2} + 2a^{2} = 25, откуда a^{2} = 10 и a = \sqrt{10}(см).

Таким образом

V = \frac{1}{3}a^{2}h = \frac{1}{3}10\sqrt{2}\sqrt{10} = \frac{20\sqrt{5}}{3}(см^{3})