Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство Образования и Науки Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, июнь, 1999 Профиль: химия-биология, химия-физика

II Вариант

1. Какому числовому множеству принадлежит значение выражения:

\frac{3}{6 − 2\sqrt{6}} + \frac{3}{6 + 2\sqrt{6}}.

Решение. Избавившись от иррациональности в знаменателях, получим

\frac{3}{6 − 2\sqrt{6}} + \frac{3}{6 + 2\sqrt{6}} = \frac{3(6 + 2\sqrt{6})}{36 − 24} + \frac{3(6 − 2\sqrt{6})}{36 − 24} = \frac{18 + 6\sqrt{6} + 18 − 6\sqrt{6}}{12} = \frac{36}{12} = 3.

Ответ. Множеству натуральных чисел. Замечание. Нужно учесть что N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C …

2. Привести пример квадратного уравнения, корни которого противоположных знаков. Решение. Пусть, например, x_{1} = 1, x_{2} = −2. Используя обратную теорему Виета, получим

x^{2} + x − 2 = 0.

3. Решить уравнение (x^{2} − 4) · \sqrt{x + 1} = 0. Решение.

(x^{2} − 4)\sqrt{x + 1} = 0 ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}\sqrt{x + 1} = 0, \\ x^{2} − 4 = 0, \end{matrix} \\ x ≥ −1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = −1, \\ x = 2, x = −2, \end{matrix} \\ x ≥ −1, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = −1, \\ x = 2. \end{matrix}

4. Определить p, q ∈ R так, чтобы многочлен 3x^{4} − 4x^{3} + px^{2} + q делился без остатка на (x − 1)^{2}.

Решение. Поскольку x_{0} = 1 есть корень двойной кратности многочлена p(x) = 3x^{4} − 4x^{3}+ +px^{2} + q, следует что p(x_{0}) = 0 и p′(x_{0}) = 0. Таким образом

\{ \begin{matrix}p(x_{0}) = 0, \\ p′(x_{0}) = 0, \end{matrix} или \{ \begin{matrix}p + q − 1 = 0, \\ 2p = 0, \end{matrix} ⇒ \{ \begin{matrix}q = 1, \\ p = 0. \end{matrix}

5. Пусть даны функции f(x) = 0, 5\sqrt{x^{3} + 1}, g(x) = xe^{−x}. Доказать что f′(2) есть решение уравнения g′(x) = 0.

Решение. Определим f′(x), f′(2) и g′(x):

f′(x) = (\frac{1}{2}\sqrt{x^{3} + 1})′ = \frac{1}{2} ((x^{3} + 1)^{\frac{1}{2}} )′ = \frac{1}{2} · \frac{1}{2}(x^{3} + 1)^{− \frac{1}{2}} · 3x^{2};

f′(2) = \frac{1}{4} · \frac{1}{\sqrt{8 + 1}} · 3 · 4 = 1;

g′(x) = (xe^{−x})′ = x′ · e^{−x} + x · (e^{−x})′ = e^{−x} + xe^{−x} · (−1) = e^{−x}(1 − x).

Уравнение g′(x) = 0 имеет единственное решение x = 1, которое совпадает с f′(2).

6. Пусть ABC произвольный треугольник с высотой AA′ и медианой AM. Найти длины сторон AB и AC треугольника, если AA′ = 12см, AM = 13см, BC = 30см.

Решение.

[figure: B; A′; M; C; A]

Рассмотрим прямоугольный треугольник AA′M (AA′ ⊥ BC). Используя теорему Пифагоры найдем A′M:

A′M = \sqrt{AM^{2} − (AA′)^{2}} = \sqrt{169 − 144} = 5(см).

Поскольку AM - медиана, следует BM = MC = \frac{1}{2}BC = 15(см) и BA′ = BM − A′M = = 10(см); A′C = A′M + MC = 20(см).

Из прямоугольного треугольника △AA′B найдем AB:

AB = \sqrt{(BA′)^{2} + (AA′)^{2}} = \sqrt{100 + 144} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}(см),

а AC - из прямоугольного треугольника △AA′C

AC = \sqrt{(A′C)^{2} + (AA′)^{2}} = \sqrt{400 + 144} = \sqrt{544} = 4\sqrt{34}(см).

7. При каких значениях действительного параметра a прямая y = −10x + a является касательной графика функции f(x) = 3x^{2} − 4x − 2.

Решение. Прямая y = −10x + a будет касательной к параболе f(x) = 3x^{2} − 4x − 2, если и только если уравнение 3x^{2} − 4x − 2 = −10x + a имеет единственное решение. Следовательно, дискриминант квадратного уравнения

3x^{2} + 6x − 2 − a = 0

должен быть равным нулю. Таким образом

36 + 4 · 3(2 + a) = 0,

откуда a = −5.

8. Определить площадь фигуры ограниченной графиком функции f(x) = 2x − 2 и графиком первообразной этой функции F (x), если F (0) = 1.

Решение. Находим первообразную функции f(x) = 2x − 2:

F (x) = ∫ (2x − 2)dx = x^{2} − 2x + C.

Так как F (0) = 1, следует что 1 = C и, следовательно, необходимо найти площадь фигуры ограниченной графиками функций f(x) = 2x − 2 и F (x) = x^{2} − 2x + 1 = (x − 1)^{2}.

Определим пределы интегрирования, решив уравнение f(x) = F (x) или

2(x − 1) = (x − 1)^{2},

откуда x_{1} = 1 и x_{2} = 3. Таким образом

S = ∫_{1}^{3}[2x − 2 − (x^{2} − 2x + 1)]dx = ∫_{1}^{3}(4x − x^{2} − 3)dx = (2x^{2} − \frac{x^{3}}{3} − 3x)_{1}^{3} = \frac{4}{3}(кв.ед.).

9. Решить неравенства log_{|2−x|}(x^{2} − x − 2) ≥ log_{|2−x|}(x + 6). Решение. Неравенство равносильно совокупности

log_{|2−x|}(x^{2} − x − 2) ≥ log_{|2−x|}(x + 6) ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}|2 − x| > 1, \\ x^{2} − x − 2 ≥ x + 6, \\ x + 6 > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < |2 − x| < 1, \\ x^{2} − x − 2 < x + 6, \\ x^{2} − x − 2 > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ x ∈ (−6; −2] ∪ (2; 3] ∪ [4; +∞).

Решение первой системы совокупности:

\{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}2 − x > 1, \\ 2 − x < −1, \end{matrix} \\ x^{2} − 2x − 8 ≥ 0, \\ x > −6, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x < 1, \\ x > 3, \end{matrix} \\ [ & \begin{matrix}x ≥ 4, \\ x ≤ −2, \end{matrix} \\ x > −6, \end{matrix} ⇔ x ∈ (−6; −2] ∪ [4; +∞).

Решение второй системы совокупности:

\{ \begin{matrix}−1 < 2 − x < 1, \\ x ≠ 2, \\ x^{2} − 2x − 8 ≤ 0, \\ x^{2} − x − 2 > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}1 < x < 3, \\ x ≠ 2, \\ −2 ≤ x ≤ 4, \\ [ & \begin{matrix}x < −1, \\ x > 2, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x ∈ (2; 3).

10. Площадь основания прямого кругового конуса равна 9π(см^{2}), а площадь полной поверхности - 24π(см^{2}). Найти обьем конуса.

Решение.

[figure: A; O; B; S]

Пусть r = OB радиус основания конуса, l = SB - его образующая и h = SO - его высота. Согласно условиям

\{ \begin{matrix}πr^{2} = 9π, \\ πr^{2} + πrl = 24π, \end{matrix}

откуда r = 3см и l = 5см. Тогда из прямоугольного треугольника △SOB находим высоту SO.

h = SO = \sqrt{SB^{2} − OB^{2}} = \sqrt{25 − 9} = 4(см).

Следовательно, объем конуса V равен:

V = \frac{1}{3}πr^{2}h = \frac{1}{3}π · 9 · 4 = 12π(см^{3}).