Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Министерство Образования и Науки Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, июнь, 1999 Профиль: химия-биология, химия-физика

I Вариант

1. Пусть дана функция

f : R^{∗} → R, f(x) = \frac{2^{x}}{2^{2x} − 1}.

Вычислить f(log_{2} 3).

Решение.

f(log_{2} 3) = \frac{2^{log_{2} 3}}{2^{2 log_{2} 3} − 1}.

Используя свойства логарифма, получим: 2^{log_{2} 3} = 3 и 2^{2 log_{2} 3} −1 = (2^{log_{2} 3})^{2} −1 = 3^{2} −1 = 8.

Таким образом, f(log_{2} 3) = \frac{3}{8}.

2. Напишите уравнение второго порядка с действительными корнями, произведение которых равнялось бы 4.

Решение. Пусть x_{1} = 1, x_{2} = 4. Тогда x_{1} · x_{2} = 1 · 4 = 4, x_{1} + x_{2} = 5 и, используя обратную теорему Виета, получим квадратное уравнение

x^{2} − 5x + 4 = 0.

3. Пара действительных чисел (x; y) удовлетворяет равенству x − i = yi. Определить действительные значения a, при которых данная пара удовлетворяет и равенству x − i^{2} = 2a − y.

Решение. Имеем x − i = yi ⇔ x − i(y + 1) = 0. Используя определение равенства двух комплексных чисел (Rez_{1} = Rez_{2} и Imz_{1} = Imz_{2}), получим систему

\{ \begin{matrix}x = 0, \\ y + 1 = 0, \end{matrix}

откуда x = 0 и y = −1.

Поскольку i^{2} = −1,

x − i^{2} = 2a − y ⇔ x + 1 = 2a − y,

или, учитывая что x = 0 и y = −1, получим

1 = 2a + 1,

откуда a = 0.

4. Какой член разложения бинома ( \frac{1}{\sqrt[3]{a^{2}}} + ^{4} \sqrt{a^{3}})^{17} не содержит a?

Решение. Поскольку \frac{1}{\sqrt[3]{a^{2}}} = a^{− \frac{2}{3}} , ^{4} \sqrt{3} = a^{\frac{3}{4}} запишем бином в форме (a^{− \frac{2}{3}} + a^{\frac{3}{4}} )^{17}. Ис-

пользуя формулу биноминального коэффициента

T_{k+1} = C_{17}^{k} (a^{− \frac{2}{3}} )^{17−k} (a^{\frac{3}{4}} )^{k} ,

получим уравнение

\frac{−2(17 − k)}{3} + \frac{3k}{4} = 0,

или −8(17 − k) + 9k = 0, откуда k = 8.

Следовательно,

T_{9} = C_{17}^{8} = \frac{17!}{8!9!} = 24310.

5. При каких значениях действительного параметра p функция f(x) = cos x − px + 2 монотонно возрастает на R?

Решение. f′(x) = (cos x − px + 2)′ = − sin x − p. Функция f монотонно возрастает на R, если

− sin x − p ≥ 0 для ∀x ∈ R.

Поскольку −1 ≤ sin x ≤ 1 для x ∈ R, неравенство sin x ≤ −p имеет решения x ∈ R, если и только если −p ≥ 1, или p ≤ −1.

6. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно непараллельным сторонам и равно 16см, а диагональ перпендикулярна непараллельной стороне. Найти длину диагонали и площадь трапеции.

[figure: A; B; C; E; D; α]

Решение. Пусть ^{}C̸DA = ^{}B̸CA = α (равнобедренная трапеция). Из прямоугольного треугольника △ACD (AC ⊥ CD) следует^{}C̸AD = 90^{∘}−α и ^{}C̸AD = ^{}B̸CA (внутренние накрест лежащие углы). Поскольку AB = BC = 16, следует, что треугольник ABC - равнобедренный и ^{}B̸AC = ^{}B̸CA = 90^{∘} − α.

Таким образом, AC - биссектриса угла BAC и

α = 2(90^{∘} − α),

откуда α = 60^{∘}. Из △ACD получим AD = 2 · CD = 2 · 16 = 32(см) (CD = 16(см) есть катет, противолежащий углу в 30^{∘}) и AC = CD tg 60^{∘} = 16\sqrt{3}(см).

Находим высоту CE трапеции:

CE = \frac{AC · CD}{AD} или CE = \frac{16\sqrt{3} · 16}{32} = 8\sqrt{3}(см).

и площадь трапеции

S = \frac{BC + AD}{2} · CE = \frac{16 + 32}{2} · 8\sqrt{3} = 192\sqrt{3}(см^{2}).

7. При каких действительных значениях параметра a справедливо равенство

2f′′′(x) + 3f′′(x) − 8f′(x) + 3f(x) = 0, где f(x) = e^{ax}?

Решение. Определим первые три производные функции f:

f′(x) = ae^{ax}, f′′(x) = a^{2}e^{ax}, f′′′(x) = a^{3}e^{ax}

и получим уравнение

2a^{3}e^{ax} + 3a^{2}e^{ax} − 8ae^{ax} + 3e^{ax} = 0,

или, поскольку e^{ax} ≠ 0,

2a^{3} + 3a^{2} − 8a + 3 = 0.

Удобно группируя, получим

(2a^{3} + 6a^{2}) − (3a^{2} + 9a) + a + 3 = 0,
2a^{2}(a + 3) − 3a(a + 3) + (a + 3) = 0,

или

(a + 3)(2a^{2} − 3a + 1) = 0

откуда (a + 3)(a − 1)(2a − 1) = 0, и a = −3, a = 1, a = \frac{1}{2}.

8. Определите первообразную функции f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} + \frac{2}{x − 1}, график которой про-

ходит через точку A(0; 4).

Решение. Используя свойства неопределенного интеграла, получим

∫ (\frac{1}{2\sqrt{x + 1}} + \frac{2}{x − 1}) dx = \sqrt{x + 1} + 2 ln |x − 1| + C.

Определим значение постоянной C (F (0) = 4)

\sqrt{0 + 1} + 2 ln |0 − 1| + C = 4,
\sqrt{1} + 2 · ln 1 + C = 4, 1 + 2 · 0 + C = 4,

откуда C = 3. Таким образом, F (x) = \sqrt{x + 1} + 2 ln |x − 1| + 3.

9. Решить неравенства \sqrt{2ax − x^{2}} ≥ a − x, где a - действительный параметр, a > 0. Решение.

\sqrt{2ax − x^{2}} ≥ a − x ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}a − x < 0, \\ 2ax − x^{2} ≥ 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}a − x ≥ 0, \\ 2ax − x^{2} ≥ (a − x)^{2}. \end{matrix} \end{matrix}

Решая первую систему совокупности, получим

\{ \begin{matrix}a − x < 0, \\ x(2a − x) ≥ 0 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > a, \\ 0 ≤ x ≤ 2a \end{matrix} ⇔ x ∈ (a; 2a]

(здесь было использовано, что a > 0).

Решая вторую систему совокупности, получим

\{ \begin{matrix}a − x ≥ 0, \\ 2ax − x^{2} ≥ a^{2} − 2ax + x^{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x ≤ a, \\ 2x^{2} − 4ax + a^{2} ≤ 0 \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x ≤ a, \\ a (a − \frac{\sqrt{2}}{2}) ≤ x ≤ a (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) \end{matrix} ⇔ x ∈ [a (1 − \frac{\sqrt{2}}{2}); a] .

Таким образом, неравенство имеет решения

x ∈ [a (1 − \frac{\sqrt{2}}{2}); 2a] , a > 0.

10. Величина угла между высотой правильной треугольной пирамиды и апофемой боковой грани равна 30^{∘}. Найти объем пирамиды, если длина апофемы равна 12см.

[figure: A; B; C; D; O; S]

Решение. Пусть SO - высота пирамиды, SD - апофема (SD ⊥ BC). Тогда AD ⊥ BC и SO ⊥ AD . Из прямоугольного треугольника △SOD

SO = SD cos^{}D̸SO = SD cos 30^{∘} = 12 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}(см),

OD = SD sin 30^{∘} = 12 · \frac{1}{2} = 6(см).

Так как высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения биссектрис

(в этом случае и медиан), OD = \frac{1}{3}AD ⇒ AD = 18. Из прямоугольного треугольника △ABD

AB = \frac{AD}{sin 60^{∘}} = \frac{36}{\sqrt{3}}(см).

Следовательно, площадь основания пирамиды равна

S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB^{2} sin 60^{∘} = \frac{1}{2} \frac{36}{\sqrt{3}} \frac{36}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{36 · 9}{\sqrt{3}}(см^{2})

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 5

и её объем

V = \frac{1}{3}S_{△ABC} · SO = \frac{1}{3} \frac{36 · 9}{\sqrt{3}} · 6\sqrt{3} = 648(см^{3}).