Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Universitatea de Stat din Moldova Facultatea Matematica si Informatica Admiterea 2000 Test de evaluare la matematica Profilurile: informatica, informatica si limbi moderne aplicate, management informational.

(Toate raspunsurile sa se argumenteze)

1. De rezolvat inecuatia

\sqrt{4x + 1} − \sqrt{2x + 4} ≥ 1

\begin{matrix}A) x ∈ [−\frac{1}{4}; +∞) & B) x ∈ [6; +∞) C) x ∈ [−\frac{1}{4}; 0] ∪ [6; +∞) \\ D) x ∈ (0; \frac{3}{4}] & E) x ∈ (0; \frac{41}{6}] . \end{matrix}

2. Cate radacini ale ecuatiei

2 sin x · cos x − 3(sin x + cos x) + 3 = 0

apartin segmentului [0; \frac{π}{2}].

A) una B) nici una C) doua D) trei E) patru.

3. De rezolvat inecuatia

log_{x}^{2} 2 − 5 log_{x} 2 + 6 ≥ 0
A) x ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞)  B) x ∈ (0, 1) ∪ (1; \sqrt[3]{2}] ∪ [\sqrt{2}; +∞)
C) x ∈ (0; 1) ∪ [\sqrt{2}; +∞)  D) x ∈ (1; \sqrt[3]{2}] ∪ [\sqrt{2}; +∞)
E) x ∈ (1; \sqrt[3]{2})

4. De gasit marimile unghiurilor intr-un triunghi, daca se stie ca inaltimea si mediana duse din acelasi varf al triunghiului impart unghiul respectiv in trei parti egale.

\begin{matrix}A) 30^{∘}, 30^{∘}, 120^{∘} & B) 45^{∘}, 45^{∘}, 90^{∘} C) 30^{∘}, 60^{∘}, 90^{∘} \\ D) 60^{∘}, 60^{∘}, 60^{∘} & E) 25^{∘}, 55^{∘}, 100^{∘}. \end{matrix}

5. Care dintre urmatoarele afirmatii sunt juste? (Pentru afirmatiile juste sa se utilizeze semnul de incercuire ◯, iar pentru cele false ×)

1) Pentru orice triunghi ABC este adevatata relatia

cos A + cos B + cos C ≤ \frac{3}{2};

2) Daca un patrulater are centru de simetrie, atunci acest patrulater este un dreptunghi;

3) Intr-un tringhi isoscel centrul cercului inscris coincide cu centrul cercului circumscris acestui triunghi; 4) Intr-un trapez isoscel punctul de intersectie al diagonalelor este centru de sime-

trie al acestui trapez;

5) Intr-un triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris coincide cu mijlocul ipotenuzei acestui triunghi.

Probe selectate de dr. S.Cataranciuc, conferentiar al USM.

Solutii

1. Inecuatia este echivalenta cu inecuatia

\sqrt{4x + 1} ≥ 1 + \sqrt{2x + 4}.

Cum ambii membri ai inecuatiei sunt pozitivi, ridicand la patrat, se obtine inecuatia echivalenta

4x + 1 ≥ 1 + 2\sqrt{2x + 1} + 2x + 4

sau, simplificand prin 2 si izoland radicalul,

x − 2 ≥ \sqrt{2x + 4}.

Ultima inecuatie este echivalenta cu sistemul

\{ \begin{matrix}x − 2 ≥ 0, \\ (x − 2)^{2} ≥ 2x + 4, \\ 2x + 4 ≥ 0. \end{matrix}

Se rezolva sistemul de inecuatii

\{ \begin{matrix}x ≥ 2, \\ x^{2} − 4x + 4 ≥ 2x + 4, \\ x ≥ −2, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x ≥ 2, \\ x(x − 6) ≥ 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x ≥ 2, \\ [ & \begin{matrix}x ≤ 0, \\ x ≥ 6, \end{matrix} \end{matrix}

si se obtine x ≥ 6.

Prin urmare, multimea solutiilor inecuatiei este [6; +∞). Raspuns: B.

2. Se noteaza sin x + cos x = t, (|t| ≤ \sqrt{2}), atunci sin x cos x = \frac{t^{2} − 1}{2}, si ecuatia devine

t^{2} − 1 − 3t + 3 = 0

sau t^{2} − 3t + 2 = 0, de unde t_{1} = 1 si t_{2} = 2 (nu verifica conditia |t| ≤ \sqrt{2}). Asadar

sin x + cos x = 1.

Se utilizeaza metoda unghiului auxiliar (a se vedea Ecuatii trigonometrice) si se obtine

\frac{1}{\sqrt{2}} cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} ⇔ cos \frac{π}{4} cos x + sin \frac{π}{4} sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} ⇔

⇔ cos (x − \frac{π}{4} ) = \frac{1}{\sqrt{2}} ⇔ x − \frac{π}{4} = ±\frac{π}{4} + 2πk, k ∈ Z ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x = 2πk, k ∈ Z, \\ x = \frac{π}{2} + 2πn, n ∈ Z. \end{matrix}

Cum x ∈ [0; \frac{π}{2}], rezulta x_{1} = 0 si x_{2} = \frac{π}{2} si, prin urmare, pe segmentul dat ecuatia are doua solutii.

Raspuns: C.

3. DVA al inecuatiei este multimea x ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞). Se noteaza log_{x} 2 = t si se obtine inecuatia patratica t^{2} − 5t + 6 ≥ 0 cu solutiile t ≤ 2 sau t ≥ 3. Asadar

[ \begin{matrix}log_{x} 2 ≤ 2, \\ log_{x} 2 ≥ 3, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & x ∈ (0; 1), [ \begin{matrix}log_{x} 2 ≤ log_{x} x^{2}, \\ log_{x} 2 ≤ log_{x} x^{3}, \end{matrix} \\ \{ & x ∈ (1; +∞), [ \begin{matrix}log_{x} 2 ≤ log_{x} x^{2}, \\ log_{x} 2 ≥ log_{x} x^{3}, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ∈ (0, 1), \\ [ & \begin{matrix}2 ≥ x^{2}, \\ 2 ≤ x^{3}, \end{matrix} \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (1, +∞), \\ [ & \begin{matrix}2 ≤ x^{2}, \\ 2 ≥ x^{3}, \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}0 < x < 1, \\ [ & \begin{matrix}0 < x < \sqrt{2}, \\ x ≥ \sqrt[3]{2}, \end{matrix} \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x > 1, \\ [ & \begin{matrix}x ≥ \sqrt{2}, \\ x ≤ \sqrt[3]{2}, \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x ∈ (0, 1), \\ x ∈ (1, \sqrt[3]{2}) ∪ [\sqrt{2}, +∞), \end{matrix} ⇔

⇔ x ∈ (0, 1) ∪ (1, \sqrt[3]{2}] ∪ [\sqrt{2}, +∞).

Raspuns: B.

4. Fie in triunghiul ABC BD ⊥ AC (inaltime), BE− mediana (AE = EC = a) A̸BD = ^{}D̸BE = ^{}E̸BC = α.

[figure: α; α; α; 90 − α; 90 − α; 90 − 2α; A; D; E; C; B; \frac{a}{2}; \frac{a}{2}; a]

Cum BD inaltime si bisectoare, △ABE este isoscel si, prin urmare, BD − mediana,

AD = \frac{a}{2} = DE.

Din △ABD: AB = \frac{AD}{cos^{}B̸AD} = \frac{a}{2 sin α}. Se utilizeaza teorema sinusurilor:

\frac{AC}{sin^{}A̸BC} = \frac{AB}{sin^{}A̸CB} sau \frac{a}{sin 3α} = \frac{a}{2 sin α cos 2α}

de unde

4 sin α cos 2α = sin 3α, sau 4 sin α(1 − 2 sin^{2} α) = sin α(3 − 4 sin^{2} α).

Cum α ≠ πk, k ∈ Z, rezulta

4 − 8 sin^{2} α = 3 − 4 sin^{2} α, sau 4 sin^{2} α = 1

de unde sin α = \frac{1}{2} (sin α = −\frac{1}{2} nu verifica conditiile problemei) si α = 30^{∘}. Asadar unghiurile triunghiului sunt ^{}A̸BC = 3α = 90^{∘}, ^{}B̸AC = 90 − α = 60^{∘}, ^{}B̸CA = 30^{∘}.

Raspuns: C. 5.

1) Afirmatie justa. Cum cos A + cos B + cos C = 1 + \frac{r}{R} (R (r) − raza cercului circumscris (inscris) in triunghi), iar 2r ≤ R, rezulta

cos A + cos B + cos C = 1 + \frac{r}{R} ≤ 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

2) Afirmatie falsa. De exemplu, rombul are centru de simetrie, dar nu numaidecat este dreptunghi.

3) Afirmatie falsa. De exemplu, intr-un triunghi isoscel dreptunghic centrul cercului circumscris coincide cu mijlocul ipotenuzei, iar centrul cercului inscris se afla in interiorul triunghiului.

4) Afirmatie falsa. Rezulta din definitia centrului de simetrie.

5) Afirmatie justa. Rezulta din teorema sinusurilor \frac{c}{sin 90^{∘}} = 2R ⇒ c = 2R si

R = \frac{c}{2} (c − ipotenuza, R − raza cercului circumscris).

Raspuns: 1) si 5) sunt afirmatii juste.