Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2008 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Matematica

Examenul de absolvire a scolii medii de cultura generala, clasa a XI-a, 13 iunie 2008

Timp alocat: 180 minute.

In itemii 1-4 completati spatiile rezervate astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

1. Ordonati crescator numerele 2^{− \frac{1}{2}} ; 2 cos \frac{π}{2} ; log_{0,5}2.

Raspuns:  ;  ;  .

2. In desen ABCD este un dreptunghi. AB = BM, M ∈ (BC). m(∠AMC) = .

[figure: A; D; C; B; M; .^{........}^{........}. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .]

3. Incercuiti litera A, daca propozitia este adevarata, sau litera F, daca propozitia este falsa.

”|x| > x pentru orice x ∈ ℝ”.  A  F

4. Completati caseta astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata.

Daca 3^{x} − 3^{y} = 0, x, y ∈ ℝ, atunici 3^{x−y} =

5. La orele 15:00 stalp cu inaltimea de 3 m are lungimea umbrei egala cu 4,2 m. Determinati inaltimea unui copac, daca se stie ca lungimea umbrei lui la orele 15:00 este de 7,7 m.

[figure]

6. Calculati sin 2α, daca se stie ca sin α + cos α = 0, 8.

7. In luna februarie salariul unui muncitor a fost majorat cu 20 % fata de salariul lui din luna ianuarie, iar in martie – a fost majorat cu 10 % fata de luna februarie. Cu cate procente a fost majorat salariul muncitorului in luna martie fata de salariul din luna ianuarie?

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2008 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 2

8. Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei f : ℝ → ℝ, f(x) = −\frac{4}{x^{2} + 1} in punctul x_{0} = −1.

9. Rezolvati in ℝ inecuatia (x + 1)\sqrt{4 − x^{2}} ≤ 0.

10. Determinati volumul piramidei patrulaterale regulate, daca se stie ca lungimea muchiei laterale este egala cu lungimea diagonalei bazei si este egala cu 6 cm.

[figure: M; A; B; D; C]

11. Rezolvati in ℝ ecuatia log_{3}(3^{4x} − 3^{2x+1} + 3) = 2log_{9}7.

12. Determinati functia de gradul al doilea, f : ℝ → ℝ, care verifica conditiile:

f′(1) = 3; f(2) + f′(2) = 12 si ∫_{0}^{1} f(x)dx = −\frac{7}{6}.

Solutii

1. 2^{− \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0, 2 cos \frac{π}{2} = 2 · 0 = 0, log_{0,5}2 = −1 < 0. Prin urmare,

log_{0,5}2 < 2 cos \frac{π}{2} < 2^{− \frac{1}{2}} .

Raspuns: log_{0,5}2; 2 cos \frac{π}{2} ; 2^{− \frac{1}{2}} .

2. Cum △ABM – dreptunghic isoscel, rezulta ∠BMA = 45^{o} si ∠AMC = 180^{o}−45^{o} = 135^{o}. Raspuns: 135^{o}.

3. Fals, deoarece |x| > x are loc pentru orice x ∈ ℝ_{−}^{∗}, si nu pentru ∀x ∈ ℝ.

4. Cum 3^{x} − 3^{y} = 0 ⇒ 3^{x} = 3^{y} ⇒ x = y, rezulta 3^{x−y} = 3^{x−x} = 3^{0} = 1.

Raspuns: 1.

5.

[figure: A; D; E; C; B]

Avem: BC = 3, AC = 4, 2 si AD = 7, 7. Cum triunghiurile ADE si BCA sunt asemenea, se obtine:

\frac{BC}{ED} = \frac{AC}{AD},

de unde ED = \frac{BC · AD}{AC} si ED = \frac{3 · 7, 7}{4, 2} = 5, 5 (m).

Raspuns: 5, 5 m.

6. sin α + cos α = 0, 8 ⇒ (sin α + cos α)^{2} = 0, 8^{2} ⇒ sin^{2} α + 2 sin α cos α + cos^{2} α = 0, 64 ⇒ ⇒ 1 + sin 2α = 0, 64 ⇒ sin 2α = −0, 36.

Raspuns: −0, 36.

7. Fie salariul din una ianuarie x lei. Atunci salariul din luna februarie x + \frac{20}{100} · x = 1, 2x,

iar salariul din luna martie 1, 2x + \frac{10}{100} · 1, 2x = 1, 2x + 0, 12x = 1, 32x. Alcatuim proportia:

x − 100%,
1, 32x − z%,

de unde z = 132%. Asadar, salariul a fost majorat cu 132% − 100% = 32%.

Raspuns: cu 32%.

8. Ecuatia tangentei la graficul functiei f′(x) in punctul x_{0}:

y − f(x_{0}) = f′(x_{0})(x − x_{0}).

Aflam:

a) f(x_{0}) = −\frac{4}{(−1)^{2} + 1} = −\frac{4}{2} = −2;

b) f′(x) = (−4(x^{2} + 1)^{−1})′ = −4 · (−1)(x^{2} + 1)^{−2} · 2x = \frac{8x}{(x^{2} + 1)^{2}} ;

c) f′(−1) = \frac{8(−1)}{((−1)^{2} + 1)^{2}} = \frac{−8}{4} = −2;

d) ecuatia tangentei:

y + 2 = −2(x − 1),
y = −2x + 2 − 2,
y = −2x.

Raspuns: y = −2x.

9. (x + 1)\sqrt{4 − x^{2}} ≤ 0 ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x + 1 ≤ 0 \\ 4 − x^{2} > 0 \end{matrix} \\ 4 − x^{2} = 0 \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ≤ −1 \\ −2 < x < 2 \end{matrix} \\ x = ±2 \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}−2 < x ≤ −1 \\ x = ±2 \end{matrix} ⇔

⇔ x ∈ [−2; −1] ∪ {2}.

Raspuns: x ∈ [−2; −1] ∪ {2}.

10.

[figure: M; A; B; D; C; O]

Consideram △MBD : MO = h, MB = MD = 6 (cm), MD = DB = 6 (cm). Rezulta △MBD – echilateral.

h = MO = MD sin 60^{o} = 6 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} (cm).

Consideram △ADB dreptunghic in A. AD = AB, deci, triunghiul este isoscel.

AB = BD sin 45^{o} = 6 · \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}.

Rezulta A_{ABCD} = AB^{2} = (3\sqrt{2})^{2} = 9 · 2 = 18 (cm^{2}).

Aflam volumul piramidei:

V = \frac{1}{3}A_{ABCD} · h = \frac{1}{3} · 18 · 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3} (cm)^{3}.

Raspuns: V = 18\sqrt{3} (cm^{3}).

11. log_{3}(3^{4x} − 3^{2x+1} + 3) = 2log_{9}7 ⇔ log_{3}(3^{4x} − 3 · 3^{2x} + 3) = log_{3}7 ⇔ 3^{4x} − 3 · 3^{2x} + 3 = 7 ⇔ ⇔ 3^{4x} − 3 · 3^{2x} − 4 = 0.

Notam 3^{2x} = t, t > 0 si ecuatia devine

t^{2} − 3t − 4 = 0

cu solutiile t_{1} = −1 (nu verifica conditia t > 0) si t_{2} = 4. Asadar,

3^{2x} = 4 ⇔ 2x = log_{3}4 ⇔ 2x = 2log_{3}2 ⇔ x = log_{3}2.

Raspuns: x = log_{3}2.

12. Fie f(x) = ax^{2} + bx + c. Cum f′(x) = 2ax + b si f′(1) = 3, avem 2a + b = 3. Cum f(2) + f′(2) = 12, iar f′(2) = 4a + b, avem

4a + 2b + c + 4a + b = 12 sau 8a + 3b + c = 12.

Cum ∫_{0}^{1} f(x)dx = ∫_{0}^{1}(ax^{2} + bx + c)dx = (\frac{ax^{3}}{3} + \frac{bx^{2}}{2} + cx)|_{0}^{1} = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c, avem

\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = −\frac{7}{6} sau 2a + 3b + 6c = −7.

Se obtine sistemul:

\{ \begin{matrix}2a + b = 3 \\ 8a + 3b + c = 12 \\ 2a + 3b + 6c = −7 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}2a + b = 3 \\ −b + c = 0 \\ 2b + 6c = −10 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}2a + b = 3 \\ −b + c = 0 \\ 8c = −10 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}a = \frac{17}{8} \\ b = −\frac{5}{4} \\ c = −\frac{5}{4} \end{matrix} .

Asadar, f(x) = \frac{17}{8}x^{2} − \frac{5}{4}x − \frac{5}{4}.

Raspuns: f(x) = \frac{17}{8}x^{2} − \frac{5}{4}x − \frac{5}{4}.

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 3 puncte Nr. 2 — 2 puncte Nr. 3 — 2 puncte Nr. 4 — 2 puncte Nr. 5 — 4 puncte Nr. 6 — 4 puncte Nr. 7 — 5 puncte Nr. 8 — 5 puncte Nr. 9 — 8 puncte Nr. 10 — 5 puncte Nr. 11 — 7 puncte Nr. 12 — 9 puncte total: 56 puncte