Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Ministerul Educatiei si Stiintei Examen la matematica de absolvire a scolii de cultura generala, 2001

Timp alocat: 180 minute.

1. Calculati log_{2} (16\sqrt[8]{32\sqrt[5]{2}}).

2. Determinati valoarea maxima a functiei f : R ⟶ R, f(x) = −2x^{2} + 3x − 1.

3. Bisectoarele unghiurilor A si B a paralelogramului ABCD se intersecteaza in punctul O. Determinati masura unghiului AOB.

4. Fie functia f : (−∞; \frac{1}{3}) ⟶ R, f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − 3x}}. Determinati primitiva acestei functii,

graficul careia trece prin punctul A(0; \frac{2}{3}).

5. Rezolvati ecuatia

log_{3}(x − 1) − log_{3}(2x − 7) = log_{3} 2 + log_{\frac{1}{3}} (x − 4).

6. Determinati cos α, daca cos 2α = 2\sqrt{2} sin α + 2, iar α ∈ (\frac{3π}{2}; 2π).

7. Rezolvati inecuatia

(x + 4)\sqrt{x^{2} − x − 2} ≥ 0.

8. Intr-o piramida triunghiulara regulata lungimea inaltimei ei este egala cu \sqrt{3}, iar muchia laterala formeaza cu planul bazei un unghi de masura de 30^{∘}. Determinati volumul piramidei.

9. Determinati pentru ce valori ale parametrului real a dreapta y = ax + 7 este tangenta la graficul functiei f : R ⟶ R, f(x) = x^{2} + 6x + a.

Solutii

1. 16\sqrt[8]{32\sqrt[5]{2}} = 2^{4}(2^{5} · 2^{\frac{1}{5}} )^{\frac{1}{8}} = 2^{4} · 2^{(5+ \frac{1}{5} ) \frac{1}{8}} = 2^{4} · 2^{\frac{26}{5} · \frac{1}{8}} = 2^{4} · 2^{\frac{13}{20}} = 2^{4+ \frac{13}{20}} = 2^{\frac{93}{20}} , deci log_{2} 16\sqrt[8]{32\sqrt[5]{2}} = log_{2} 2^{\frac{93}{20}} = \frac{93}{20} = 4, 65.

2. Valoarea maxima a trinomului ax^{2} + bx + c (a < 0) este egala cu f (−\frac{b}{2a}). In cazul dat

−\frac{b}{2a} = −\frac{3}{−2 · 2} = \frac{3}{4} si, prin urmare

y_{max} = −2 · (\frac{3}{4})^{2} + 3 · \frac{3}{4} − 1 = \frac{1}{8}.

3.

[figure: A; B; C; D; O]

Cum suma unghiurilor A si B ale paralelogramului ABCD (a se vedea desenul) este egala cu 180^{∘}, \frac{1}{2}∠A + \frac{1}{2}∠B = 90^{∘}. Suma unghiurilor interioare ale triunghiului AOB este 180^{∘}. Prin urmare

∠AOB = 180^{∘} − \frac{1}{2}(∠A + ∠B) = 180^{∘} − 90^{∘} = 90^{∘}.

4. Cum ∫ \frac{dx}{\sqrt{1 − 3x}} = −\frac{2}{3}\sqrt{1 − 3x} + C, si F (0) = \frac{2}{3}, rezulta −\frac{2}{3}\sqrt{1 − 3 · 0} + C = \frac{2}{3}, de

unde C = \frac{4}{3}. Asadar F (x) = −\frac{2}{3}\sqrt{1 − 3x} + \frac{4}{3}.

5. Domeniul valorilor admisibile (DVA) al ecuatiei este intervalul (4; +∞), care se determina rezolvand sistemul de inecuatii

\{ \begin{matrix}x − 1 > 0 \\ 2x − 7 > 0 \\ x − 4 > 0. \end{matrix}

Utilizand proprietatile functiei logaritmice (a se vedea, de exemplu, Ecuatii logaritmice) in DVA se obtin urmatoarele echivalente

log_{3}(x−1)−log_{3}(2x−7) = log_{3} 2−log_{3}(x−4) ⇔ log_{3}(x−1)+log_{3}(x−4) = log_{3} 2+log_{3}(2x−7),

de unde log_{3}(x − 1)(x − 4) = log_{3} 2(2x − 7) sau

(x − 1)(x − 4) = 2(2x − 7).

Se rezolva ecuatia patrata obtinuta x^{2}−9x+18 = 0 de unde x_{1} = 3 ∉ DVA si x_{2} = 6 ∈ DVA. Asadar x = 6.

6. Cum cos 2α = 1−2 sin^{2} α, se obtine 1−2 sin^{2} α = 2\sqrt{2} sin α+2 sau 2 sin^{2} α+2\sqrt{2} sin α+ 1 = 0, de unde sin α = −\frac{1}{\sqrt{2}}. Se determina cos α: cos α = ±\sqrt{1 − sin^{2} α}. Cum α apartine

cadranului IV, cos α > 0 si cos α = \sqrt{1 − (−\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

7.

\begin{matrix}(x + 4)\sqrt{x^{2} − x − 2} ≥ 0 ⇔ [ \begin{matrix}x^{2} − x − 2 = 0, \\ \{ & \begin{matrix}x^{2} − x − 2 > 0, \\ x + 4 ≥ 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x_{1} = −1, x_{2} = 2 \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) \\ x ∈ [−4; +∞) \end{matrix} \end{matrix} ⇔ \\ ⇔ x ∈ [−4; −1] ∪ [2; +∞). \end{matrix}

8.

[figure: A; B; C; D; O; S]

Fie SABC - piramida triunghiulara regulata, SO = h = \sqrt{3} - inaltimea ei, ∠SCO = 30^{∘}, a - lungimea laturii triunghiului echilateral din baza piramidei. Atunci

CD = \frac{a\sqrt{3}}{2}; CO = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3}a\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}}.

Din triunghiul dreptunghic SOC (SO ⊥ OC) se obtine

CO = SO ctg ∠SCO = \sqrt{3} ctg 30^{∘} = \sqrt{3} · \sqrt{3} = 3.

Asadar \frac{a}{\sqrt{3}} = 3, de unde a = 3\sqrt{3}. Se determina aria bazei piramidei:

S = \frac{1}{2}a^{2} sin 60^{∘} = \frac{1}{2}(3\sqrt{3})^{2} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{4}

si volumul piramidei

V = \frac{1}{3}S · h = \frac{1}{3} \frac{27\sqrt{3}}{4} · \sqrt{3} = \frac{27}{4}(un.volum)

9. Dreapta y = ax + 7 este tangenta la graficul trinomului x^{2} + 6x + a, daca ecuatia ax + 7 = x^{2} + 6x + a, echivalenta cu ecuatia x^{2} + (6 − a)x + a − 7 = 0 are o singura solutie. Ultima ecuatie are o singura solutie, daca discriminantul ei D = (6 − a)^{2} − 4(a − 7) este egal cu zero. Prin urmare

36 − 12a + a^{2} − 4a + 28 = 0 sau a^{2} − 16a + 64 = 0

de unde a = 8.