Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, sesiunea iunie, 1999 Profilul umanist Varianta IV

Timp de realizare - 180 minute

1. Sa se determine carei multimi de numere apartine valoarea expresiei numerice 25^{log_{5} 6} + 7^{\frac{1}{log_{5} 7}} .

Solutie. Se utilizeaza identitatea de baza a logaritmului (a^{log_{a} b} = b, a > 0, a ≠ 1, b > 0),

formula log_{a} b = \frac{1}{log_{b} a} (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) si se obtine

25^{log_{5} 6} + 7^{\frac{1}{log_{5} 7}} = 5^{2 log_{5} 6} + 7^{log_{7} 5} = (5^{log_{5} 6})^{2} + 5 = 6^{2} + 5 = 41.

Asadar, valoarea expresiei date este un numar natural. Nota. Tinem sa mentionam, ca N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C …

2. Dati exemplu de un sistem de doua ecuatii liniare compatibil nedeterminat. Solutie. De exemplu, sistemul

\{ \begin{matrix}x + y = 1, \\ 2x + 2y = 2, \end{matrix}

este compatibil nedeterminat. In adevar, solutiile acestui sistem sunt x = 1 − a, y = a, a ∈ R. 3. Sa se determine domeniul de definitie al functiei f(x) = \sqrt{x^{2} − 3x + 2} + lg x. Solutie. Domeniul de definitie al functiei f(x) se determina din sistemul de ecuatii

\{ \begin{matrix}x^{2} − 3x + 2 ≥ 0 \\ x > 0, \end{matrix}

(expresia de sub semnul radacinii de ordinul doi poate primi doar valori nenegative, iar cea de sub simbolul logaritmului doar valori pozitve). Rezolvand sistemul se obtine D(f) = (0; 1] ∪ [2; +∞).

4. Rezolvati ecuatia \frac{e^{x} − e^{−x}}{e^{x} + e^{−x}} = \frac{1}{2}. Solutie. DV A al ecuatiei este x ∈ R. In DV A ecuatia este echivalenta cu ecuatia

2(e^{x} − \frac{1}{e^{x}}) = e^{x} + \frac{1}{e^{x}} ,

sau e^{x} − \frac{3}{e^{x}} = 0, de unde rezulta e^{2x} = 3 si x = \frac{1}{2} ln 3.

5. Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f : R^{∗} ⟶ R, f(x) = x + \frac{1}{x}, si comparati valorile functiei in punctele x_{1} = log_{5} 4 si x_{2} = log_{5} 3.

Solutie. Cum f′(x) = (x + \frac{1}{x})′ = 1 − \frac{1}{x^{2}} = \frac{(x − 1)(x + 1)}{x^{2}}, utilizand metoda intervalelor

se obtine ca f′(x) > 0 pentru x ∈ (1; +∞) si f′(x) < 0 pentru x ∈ (0; 1). Prin urmare, pentru x ∈ (0; 1) functia f(x) este strict descrescatoare si cum

0 = log_{5} 1 < log_{5} 3 < log_{5} 4 < log_{5} 5 = 1

rezulta f(log_{5} 3) > f(log_{5} 4).

6. Calculati aria multimii marginite de graficele functiilor f(x) = x^{2}−4x+4 si g(x) = 2x+4. Solutie. Aria figurii marginite de graficele functiilor f(x) = x^{2} − 4x + 4 si g(x) = 2x + 4 (a

se vedea desenul) se determina utilizand formula:

S = ∫_{a}^{b}[g(x) − f(x)]dx,

unde a si b sunt limitele de integrare.

[figure: −2; 2; 6; 16; 4; x; y]

Pentru a determina a si b se rezolva ecuatia f(x) = g(x), adica x^{2} − 4x + 4 = 2x + 4 sau x^{2} − 6x = 0, de unde (tinand seama ca a < b) se obtine a = x_{1} = 0 si b = x_{2} = 6.

Asadar

S = ∫_{0}^{6}(2x+4−x^{2}+4x−4)dx = ∫_{0}^{6}(6x−x^{2})dx = (3x^{2} − \frac{x^{3}}{3} )|_{0}^{6} = 3·36−36·2 = 36(unit. de arie).

7. Fie functia f(x) = \frac{2 cos x + 1}{cos x}. Sa se determine valoarea expresiei: f (\frac{π}{2} − x) +

f (\frac{π}{2} + x).

Solutie. Domeniul de definitie al functiei f este R \ \{\frac{π}{2} + πk, k ∈ Z.\} Se utilizeaza for-

mulele de reducere cos (\frac{π}{2} ± x) = ∓ sin x si se obtine

f (\frac{π}{2} − x) + f (\frac{π}{2} + x) = \frac{2 cos(\frac{π}{2} − x) + 1}{cos(\frac{π}{2} − x)} + \frac{2 cos(\frac{π}{2} + x) + 1}{cos(\frac{π}{2} + x)} =

= \frac{2 sin x + 1}{sin x} + \frac{−2 sin x + 1}{− sin x} = \frac{2 sin x + 1 + 2 sin x − 1}{sin x} = \frac{4 sin x}{sin x} = 4.

(se tine seama, ca daca x ≠ \frac{π}{2} + πk, k ∈ Z, atunci \frac{π}{2} ± x ≠ πk, k ∈ Z).

8. Care termen din dezvoltarea binomului ( \frac{1}{\sqrt[3]{a^{2}}} + ^{4} \sqrt{a^{3}})^{17} nu-l contine pe a.

Solutie. Cum \frac{1}{\sqrt[3]{a^{2}}} = a^{− \frac{2}{3}} , ^{4} \sqrt{3} = a^{\frac{3}{4}} , binomul se scrie (a^{− \frac{2}{3}} + a^{\frac{3}{4}} )^{17}. Utilizand formula

coeficientului binomial

T_{k+1} = C_{17}^{k} (a^{− \frac{2}{3}} )^{17−k} (a^{\frac{3}{4}} )^{k} ,

se obtine ecuatia

\frac{−2(17 − k)}{3} + \frac{3k}{4} = 0,

sau −8(17 − k) + 9k = 0, de unde k = 8.

Asadar

T_{9} = C_{17}^{8} = \frac{17!}{8!9!} = 24310.

9. Intr-un corp sferic cu volumul 10cm^{3} este inscris un con, sectiunea axiala a caruia este un triunghi dreptunghic. Aflati volumul conului.

Solutie. Cum sectiunea axiala a conului este un triunghi dreptunghic (isoscel), rezulta ca ipotenuza lui coincide cu diametrul, adica raza bazei conului r, raza sferei R si inaltimea conului h sunt egale: r = R = h.

Cum \frac{4π}{3} R^{3} = 10, rezulta R^{3} = \frac{30}{4π}, iar volumul conului:

V = \frac{1}{3}πr^{2}h = \frac{1}{3}πR^{3} = \frac{1}{3}π \frac{30}{4π} = \frac{5}{2}(un. de volum).