Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, sesiunea iunie, 1999 Profilul umanist Varianta III

Timp de realizare - 180 minute

1. Sa se determine carei multimi de numere apartine valoarea expresiei numerice

\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{1}{4 − 2\sqrt{3}}.

Solutie. Se aduce la numitor comun si se obtine:

\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{1}{4 − 2\sqrt{3}} = \frac{4 − 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}}{4^{2} − (2\sqrt{3})^{2}} = \frac{8}{16 − 12} = 2.

Asadar valoarea expresiei numerice date este un numar natural. Nota. Se tine seama ca N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C …

2. Scrieti o ecuatie polinomiala de gradul trei, una din radacini fiind x = 1. Solutie. Fie radacinile ecuatiei polinomiale de gradul trei x_{1} = 1, x_{2} = 2 si x_{3} = 3. Atunci

conform teoremei Bezu

P_{3}(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) sau P_{3}(x) = x^{3} − 6x^{2} + 11x − 6.

In general, daca coeficientii polinomului a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3} verifica relatia a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3} = 0, x = 1 este radacina a acestei ecuatii.

3. Aflati suma radacinilor reale ale ecuatiei \sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{x^{2}} = 3. Solutie. DV A al ecuatiei este R. Se noteaza \sqrt[3]{x} = t si se obtine ecuatia patrata 2t^{2}+t−3 = 0

cu solutiile t_{1} = 1 si t_{2} = −\frac{3}{2}.

Se revine la variabila intiala si se obtine

[ \begin{matrix}\sqrt[3]{x} = 1, \\ \sqrt[3]{x} = −\frac{3}{2}, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x_{1} = 1, \\ x_{2} = −\frac{27}{8}, \end{matrix}

si suma solutiilor reale x_{1} + x_{2} = −\frac{19}{8}.

4. Rezolvati inecuatia (x − 3) · log_{\frac{1}{3}} x ≤ 0. Solutie. DV A al inecuatiei este x > 0. Se utilizeaza metoda generalizata a intervalelor

[figure: 0; 1; 3; 0; 1; 0; 3; −; −; +; +; +; +; +; −; −; +; +; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; −; +; +; (x − 3); log_{\frac{1}{3}} x; (x − 3) log_{\frac{1}{3}} x] si se obtine x ∈ (0, 1] ∪ [3; +∞).

5. Aratati ca parabola y = x^{2} −x+5, 35 nu intersecteaza graficul functiei f(x) = 2 sin x+3.

Solutie. Cum x^{2} − x + 5, 35 = x^{2} − 2 · \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} − \frac{1}{4} + 5, 35 = (x − \frac{1}{2})^{2} + 5, 1, domeniul

de valori ai functiei y = x^{2} − x + 5, 35 este [5, 1; +∞). In acelasi timp, | sin x| ≤ 1 implica 1 ≤ 2 sin x + 3 ≤ 5 si prin urmare graficele acestei functii nu se intersecteaza.

6.Calculati aria multimii marginite de graficele functiilor f(x) = 2 + x − x^{2} si g(x) = 2 − x. Solutie.

[figure: 0; -1; 2; x; y]

Aria S a figurii marginita de graficele functiilor f(x) = 2 + x − x^{2} si g(x) = 2 − x (a se vedea desenul) se determina din formula

S = ∫_{a}^{b}[f(x) − g(x)]dx,

unde a si b sunt limitele de integrare, ce se determina rezolvand ecuatia f(x) = g(x).

Asadar

2 + x − x^{2} = 2 − x sau x^{2} − 2x = 0

de unde, tinand seama ca a < b, se obtine a = 0, b = 2.

Prin urmare

S = ∫_{0}^{2}(2 + x − x^{2} − 2 + x)dx = ∫_{0}^{2}(2x − x^{2})dx = (x^{2} − \frac{x^{3}}{3} )|_{0}^{2} = 4 − \frac{8}{3} = \frac{4}{3}(un.arie).

7. Sa se determine pentru care valori ale parametrului real a sistemul \{ \begin{matrix}ax + y + z = 1, \\ 3x + ay + z = 1, \\ 3x + y + az = 1, \end{matrix}

admite o singura solutie.

Solutie. Conform regulei Cramer, sistemul va avea o solutie unica daca determinantul principal al lui va fi diferit de zero:

\begin{matrix}a & 1 & 1 \\ 3 & a & 1 \\ 3 & 1 & a \end{matrix} ≠ 0.

Prin urmare, dezvoltand determinantul, se obtine

a^{3} − 7a + 6 ≠ 0,

sau, tinand seama ca

\begin{aligned}a^{3} − 7a + 6 & = & a^{3} − a − 6a + 6 = a(a^{2} − 1) − (6a − 6) = a(a − 1)(a + 1) − 6(a − 1) = \\ & = & (a − 1)(a^{2} + a − 6) = (a − 1)(a + 2)(a − 3) \end{aligned}

se obtine a ≠ 1, a ≠ −2 si a ≠ 3 sau a ∈ R \ {−2, 1, 3}.

8. Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei f(x) = 2x^{2} + \frac{1}{3}x^{3} in punctele de tangenta x_{0} = −3.

Solutie. Ecuatia tangentei la graficul functiei f(x) in punctul x_{0} este

y − f(x_{0}) = f′(x_{0})(x − x_{0})

unde f′(x_{0}) este valoarea derivatei functiei in x_{0}.

Cum

f(x_{0}) = f(−3) = 2 · (−3)^{2} + \frac{1}{3}(−3)^{3} = 9,

f′(x) = (2x^{2} + \frac{1}{3}x^{3})′ = 4x + x^{2},

f′(−3) = 4 · (−3) + (−3)^{2} = −3

se obtine

y − 9 = −3(x + 3)

sau, dupa transformari elementare, y = −3x.

9. Baza unei piramide triunghiulare regulate este un triughi dreptunghic cu catetele de 12cm si 16cm. Aflati volumul piramidei daca muchiile laterale sunt congruente si au lungimea 2\sqrt{41}cm.

Solutie.

[figure: A; B; C; O; S]

Se observa ca cuvantul \underline{regulata} in conditiile problemei este de prisos (altfel problema nu are sens).

Cum muchiile laterale sunt congruente, piciorul inaltimii cade in centrul circumferintei circumscrise bazei piramidei. Prin urmare, piciorul inaltimii piramidei se afla in mijlocul ipotenuzei AC.

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 4

Cum AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{12^{2} + 16^{2}} = \sqrt{400} = 20(cm),

OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} · 20 = 10(cm),

SO = \sqrt{SC^{2} − OC^{2}} = \sqrt{164 − 100} = \sqrt{64} = 8(cm),

S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB · BC = \frac{1}{2} · 12 · 16 = 96(cm^{2})

se obtine

V = \frac{1}{3}S_{△ABC} · SO = \frac{1}{3} · 96 · 8 = 256(cm^{3}).