Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, sesiunea iunie, 1999 Profilul umanist Varianta II

Timp de realizare - 180 minute

1. Fie fucntia f : R^{∗} ⟶ R, f(x) = \frac{2^{x}}{2^{2x} − 1}. Calculati f(log_{2} 3).

Solutie. Se utilizeaza identitatea de baza (a^{log_{a} b} = b, a > 0, a ≠ 1, b > 0) si se obtine

f(log_{2} 3) = \frac{2^{log_{2} 3}}{2^{2 log_{2} 3} − 1} = \frac{3}{(2^{log_{2} 3})^{2} − 1} = \frac{3}{3^{2} − 1} = \frac{3}{8}.

2. Scrieti o ecuatie de gradul doi cu radacini reale, astfel incat produsul radacinilor sa fie egal cu 4.

Solutie. Se utilizeaza teorema reciproca a lui Viete, de exemplu pentru x_{1} = 1 si x_{2} = 4 (atunci x_{1} · x_{2} = 4, x_{1} + x_{2} = 5) si se obtine ecuatia patrata

x^{2} − 5x + 4 = 0.

3. Fie z = \frac{1 − i}{2 + i}. Sa se determine pentru ce valori ale lui a si b este adevarata egalitatea

\sqrt{5} · z + a + bi = 5 − 3i.

Solutie. Cum

z = \frac{1 − i}{2 + i} = \frac{(1 − i)(2 − i)}{(2 + i)(2 − i)} = \frac{1 − 3i}{2^{2} + 1^{2}} = \frac{1}{5} − \frac{3}{5}i

egalitatea devine

\sqrt{5} (\frac{1}{5} − \frac{3}{5}i) + a + bi = 5 − 3i,

sau

(\frac{1}{\sqrt{5}} + a) + (b − \frac{3}{\sqrt{5}}) i = 5 − 3i,

de unde, tinand seama de definitia egalitatii a doua numere complexe (z_{1} = z_{2} ⇔ Rez_{1} = Rez_{2} si Imz_{1} = Imz_{2}) se obtine sistemul

\{ \begin{matrix}a + \frac{1}{\sqrt{5}} = 5, \\ b − \frac{3}{\sqrt{5}} = −3, \end{matrix}

cu solutiile a = 5 − \frac{1}{\sqrt{5}}, b = \frac{3}{\sqrt{5}} − 3.

4. Se da functia f(x) = 1 − cos x. Calculati valoarea expresiei f (\frac{π}{2} + x) + f (\frac{π}{2} − x).

Solutie. Se aplica formulele de reducere cos (\frac{π}{2} ± x) = ∓ sin x si se obtine

f (\frac{π}{2} + x) + f (\frac{π}{2} − x) = 1 + cos (\frac{π}{2} + x) + 1 + cos (\frac{π}{2} − x) = 1 − sin x + 1 + sin x = 2.

5. Sa se determine pentru ce valori reale ale lui m polinomul 2x^{3} − x^{2} + mx − 2 se divide cu x − 2.

Solutie. Cum

f(2) = 2 · 2^{3} − 2^{2} + m · 2 − 2 = 10 + 2m,

rezultand ecuatia liniara 10 + 2m = 0, se obtine m = −5.

6. Calculati aria multimii marginite de graficele functiilor f(x) = −x^{2} − 4x si g(x) = 4 + x. Solutie.

[figure: 0; 4; -4; x; y]

Aria figurii, marginite de graficele functiilor f(x) = −x^{2} − 4x si g(x) = x + 4 (a se vedea desenul), se determina utilizand formula:

S = ∫_{a}^{b}[f(x) − g(x)]dx,

unde a si b sunt limitele de integrare.

Pentru a determina a si b se rezolva ecuatia f(x) = g(x), adica

−x^{2} − 4x = 4 + x,

sau

x^{2} + 5x + 4 = 0

de unde, tinand seama ca a < b, se obtine x_{1} = a = −4, x_{2} = b = −1.

Asadar

\begin{aligned}S & = & ∫_{−4}^{−1}(−x^{2} − 4x − x − 4)dx = ∫_{−4}^{−1}(−x^{2} − 5x − 4)dx = − (\frac{x^{3}}{3} + \frac{5x^{2}}{2} + 4x)|_{−4}^{−1} = \\ & = & − (−\frac{1}{3} + \frac{5}{2} − 4 + \frac{64}{3} − 40 + 16) = 4, 5(un.arie). \end{aligned}

7. Fie functia f : D ⟶ R, (D ⊂ R), f(x) = \sqrt{x^{2} − 3x + 1}. Rezolvati ecuatia 3f(x) = 2f′(x).

Solutie. Utilizand formula de derivare a functiei compuse se determina f′(x):

f′(x) = (\sqrt{x^{2} − 3x + 1})′ = \frac{1}{2\sqrt{x^{2} − 3x + 1}} · (x^{2} − 3x + 1)′ = \frac{2x − 3}{2\sqrt{x^{2} − 3x + 1}}

si ecuatia devine

3\sqrt{x^{2} − 3x + 1} = \frac{2x − 3}{\sqrt{x^{2} − 3x + 1}},

sau

3(x^{2} − 3x + 1) = 2x − 3,

de unde rezulta ecuatia patrata

3x^{2} − 11x + 6 = 0

cu solutiile x_{1} = \frac{2}{3} si x_{2} = 3.

Se efectuiaza verificarea si ramane x = 3.

8. Rezolvati inecuatia log_{x} \frac{x + 3}{x − 1} > 1. Solutie. Se utilizeaza afirmatia 3 din inecuatii logaritmice si se obtine totalitatea de sisteme

de inecuatii

log_{x} \frac{x + 3}{x − 1} > 1 ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x > 1, \\ \frac{x + 3}{x − 1} > x, \\ x > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < x < 1, \\ \frac{x + 3}{x − 1} < x, \\ \frac{x + 3}{x − 1} > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x ∈ (1; 3), \\ x ∈ ∅, \end{matrix} ⇔ x ∈ (1; 3).

In adevar, primul sistem al totalitatii, tinand seama ca x > 1, este echivalent cu sistemul

\{ \begin{matrix}x > 1, \\ x + 3 < x(x − 1), \end{matrix} sau \{ \begin{matrix}x > 1, \\ x^{2} − 2x − 3 < 0, \end{matrix} de unde x ∈ (1; 3).

Al doilea sistem al totalitatii nu are solutii deoarece pentru x ∈ (0; 1) (prima restrictie) avem

\frac{x + 3}{x − 1} < 0, ceea ce contrazice ultima inecuatie a sistemului.

Asadar, multimea solutiilor inecuatiei este (1;3).

9. Baza unei piramide este un patrat cu latura a. Doua fete laterale sunt perpendiculare pe planul bazei, iar alte doua fete formeaza cu planul bazei unghiul β. Aflati aria suprafetei laterale a piramidei.

Solutie.

[figure: β; β; A; B; C; D; S]

Se considera triunghiul dreptunghic SDC (SD ⊥ DC) si utilizand relatiile metrice intr-un triunghi dreptunghic, se obtine

SD = \frac{CD}{cos^{}D̸CS} = \frac{a}{cos β} ,

SD = CD tg^{}D̸CS = a tg β,

si cum △SDC = △SDA (SD - comuna, AD = DC) rezulta ca

S_{△SDA} = S_{△SDC} = \frac{1}{2}SD · DC = \frac{1}{2}a tg β · a = \frac{a^{2} tg β}{2} .

Cum SA ⊥ AB (SC ⊥ BC) - rezulta din teorema celor trei perpendiculare,

S_{△SCB} = \frac{1}{2}SC · BC = \frac{1}{2} · \frac{a}{cos β} · a = \frac{a^{2}}{2 cos β} .

Similar S_{△SAB} = \frac{a^{2}}{2 cos β}.

Asadar, aria suprafetei laterale a piramidei este

S = S_{△SDC} + S_{△SDA} + S_{△SAB} + S_{△SBC} = a^{2} tg β + \frac{a^{2}}{cos β} = a^{2} \frac{sin β + 1}{cos β}.