Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, sesiunea iunie, 1999 Profilul umanist Varianta I

Timp de realizare - 180 minute

1. Fie functia f : R^{∗} ⟶ R, f(x) = \frac{3^{x}}{3^{2x} − 1}. Calculati f(log_{3} 2).

Solutie. Se tine seama de identitatea logaritmica de baza a^{log_{a} b} = b, a > 0, a ≠ 1, b > 0 si se obtine

f(log_{3} 2) = \frac{3^{log_{3} 2}}{3^{2 log_{3} 2} − 1} = \frac{2}{(3^{log_{3} 2})^{2} − 1} = \frac{2}{2^{2} − 1} = \frac{2}{3};

2. Dati exemplu de ecuatie de gradul doi care admite radacinile reale negative distincte. Solutie. Se utilizeaza teorema reciproca a lui Viete de exemplu, pentru x_{1} = −1 si x_{2} = −2,

si se obtine ecuatia patrata x^{2} + 3x + 2 = 0. In caz general, o ecuatie patrata ax^{2} + bx + c = 0 are doua solutii reale negative distincte daca si numai daca:

\{ \begin{matrix}\frac{c}{a} > 0, \\ \frac{b}{a} > 0, \\ b^{2} − 4ac > 0. \end{matrix}

3. Pentru care valori reale ale lui x si y este adevarata egalitatea \frac{x + y + (y − 3)i}{5 + 3i} = 1 + i. Solutie. Egalitatea se scrie

x + y + (y − 3)i = (1 + i)(5 + 3i)

sau

x + y + (y − 3)i = 2 + 8i,

de unde, tinand seama de definitia egalitatii a doua numere complexe z_{1} si z_{2} (Rez_{1} = Rez_{2} si Imz_{1} = Imz_{2}), se obtine sistemul

\{ \begin{matrix}x + y = 2, \\ y − 3 = 8 \end{matrix}

cu solutiile x_{1} = −9 si y = 11.

4. Rezolvati ecuatia (x − 4)\sqrt{3 + 2x − x^{2}} = 0. Solutie.

(x−4)\sqrt{3 + 2x − x^{2}} = 0 ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x − 4 = 0, \\ 3 + 2x − x^{2} = 0, \end{matrix} \\ 3 + 2x − x^{2} ≥ 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x_{1} = 4, \\ x_{2} = −1, x_{3} = 3, \end{matrix} \\ −1 ≤ x ≤ 3, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x_{1} = −1, \\ x_{2} = 3. \end{matrix}

5. Fie functia f(x) = a sin 4x + b cos 2x. Sa se determine parametrii reali a si b, daca se stie

ca f′ (\frac{7π}{12} ) = 4 si f′ (\frac{3π}{4} ) = 2.

Solutie. Se determina derivata functiei f(x):

f′(x) = (a sin 4x + b cos 2x)′ = 4a cos 4x − 2b sin 2x.

Cum f′ (\frac{7π}{12} ) = 4 si f′ (\frac{3π}{4} ) = 2, rezulta

4a cos \frac{7π}{3} − 2b sin \frac{7π}{6} = 4,

4a cos 3π − 2b sin \frac{3π}{2} = 2,

sau

\{ \begin{matrix}2a + b = 4, \\ −4a + 2b = 2, \end{matrix}

de unde a = \frac{3}{4} si b = \frac{5}{2}.

6. Sa se calculeze aria multimii marginite de graficele functiilor f(x) = 9 − x^{2} si g(x) = x^{2} − 6x + 9.

Solutie.

[figure: 0; 9; -3; 3; x; y]

Aria figurii marginite de graficele functiilor f(x) = 9 − x^{2} si g(x) = x^{2} − 6x + 9 (a se vedea desenul) se determina din formula

S = ∫_{a}^{b}[f(x) − g(x)]dx

unde a si b sunt limitele de integrare, ce se obtin rezolvand ecuatia

f(x) = g(x),

adica 9 − x^{2} = x^{2} − 6x + 9 sau 2x^{2} − 6x = 0, de unde (tinand seama ca a < b) se obtine a = x_{1} = 0 si b = x_{2} = 3.

Asadar

\begin{aligned}S & = & ∫_{0}^{3}(9 − x^{2} − x^{2} + 6x − 9)dx = ∫_{0}^{3}(6x − 2x^{2})dx = \\ & = & (3x^{2} − \frac{2x^{3}}{3} )|_{0}^{3} = 27 − 18 = 9(un.arie). \end{aligned}

7. Daca impartim polinomul P (x) = 2x^{3} − mx^{2} + nx − 16 la x − 3 si la x + 1, obtinem in ambele cazuri restul −2. Ce rest vom obtine, daca vom imparti polinomul P (x) la x − 1.

Solutie. Cum

\begin{matrix}P (3) = 2 · 3^{3} − m · 3^{2} + 1 · 3 − 16 = −2, \\ P (−1) = 2(−1)^{3} − m · (−1)^{2} + n · (−1) − 16 = −2, \end{matrix}

rezulta

\{ \begin{matrix}−9m + 3n = −40, \\ −m − n = 16. \end{matrix}

Rezolvand sistemul, se obtine m = −\frac{2}{3} si n = −\frac{46}{3}. Asadar polinomul P (x) devine

P (x) = 2x^{3} + \frac{2}{3}x^{2} − \frac{46}{3}x − 16 si restul la impartirea lui la (x − 1) este egal cu

P (1) = 2 + \frac{2}{3} − \frac{46}{3} − 16 = −\frac{86}{3}.

8. Aria bazei unui con circular drept este 9πcm^{2}, iar aria suprafetei totale este 24πcm^{2}. Aflati volumul conului circular drept.

Solutie.

[figure: A; O; B; S]

Cum aria bazei S_{b} = πR^{2} (R - raza bazei conului), aria suprafetei laterale S_{lat} = πRl (l - generatoarea conului), se obtine sistemul:

\{ \begin{matrix}πR^{2} = 9π, \\ πRl = 24π − 9π, \end{matrix}

de unde, R = 3 si l = 5. Din triunghiul dreptunghic SOA (a se vedea desenul), se determina inaltimea conului SO:

SO = \sqrt{SA^{2} − AO^{2}} = \sqrt{5^{2} − 3^{2}} = 4(cm).

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 4

Prin urmare, volumul conului

V = \frac{1}{3}S_{b} · h = \frac{1}{3}9π4 = 12π(cm^{3}).

9. Rezolvati inecuatia log_{2x}(x^{2} − 5x + 6) ≤ 1. Solutie.

log_{2x}(x^{2} − 5x + 6) ≤ 1 ⇔ log_{2x}(x^{2} − 5x + 6) ≤ log_{2x} 2x ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}2x > 1, \\ x^{2} − 5x + 6 ≤ 2x, \\ x^{2} − 5x + 6 > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < 2x < 1, \\ x^{2} − 5x + 6 ≥ 2x, \\ 2x > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x > \frac{1}{2}, \\ x^{2} − 7x + 6 ≤ 0, \\ [ & \begin{matrix}x < 2, \\ x > 3, \end{matrix} \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < x < \frac{1}{2}, \\ x^{2} − 7x + 6 ≥ 0, \\ x > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}[ & \begin{matrix}\frac{1}{2} < x < 2, \\ x > 3, \end{matrix} \\ 1 ≤ x ≤ 6, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < x < \frac{1}{2}, \\ [ & \begin{matrix}x ≤ 1, \\ x ≥ 6, \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x ∈ (\frac{1}{2}; 1] ∪ (3; 6], \\ x ∈ (0; \frac{1}{2}), \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; \frac{1}{2}) ∪ (\frac{1}{2}; 1] ∪ (3; 6].