Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie 2009 Profilul umanist, arte, sport

Timp alocat: 180 minute.

In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

1. Scrieti in casetele numerele lg 2 si ln 2 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata.

<

2. Pe desen este reprezentat graficul functiei f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − x^{3}. Scrieti in caseta multimea tuturor valorilor lui x, pentru care f(x) ≥ 2.

x ∈

[figure: x; y; −3; −2; −1; O; 1; 2; 3; −4; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 4; 5; .^{........................................}^{....................................}^{.................................}^{..............................}^{..........................}^{.......................}^{...................}^{................}^{............}^{.........}^{......}^{..}... . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .; . ^{....................................} ^{.................................} ^{..............................} ^{...........................} ^{........................} ^{.....................} ^{..................} ^{...............} ^{.............} ^{..........} ^{.......} ^{......}; ^{.. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .^{.....}; . ^{..........} ^{.............} ^{...............} ^{..................} ^{....................} ^{.......................} ^{..........................} ^{............................} ^{...............................} ^{.................................} ^{....................................} ^{.......................................} ^{.........................................} ^{............................................}]

3. Daca x ∈ ℝ si x^{3} · \sqrt[3]{x} = x^{n}, atunci n = .

4. Daca masura unghiului de la varf a sectiunii axiale a conului circular drept este egala cu 120^{o}, atunci generatoarea conului formeaza cu planul bazei un unghi, masura caruia este egala cu .

. ^{........} ^{.........} ^{............} ^{................} ^{...................} ^{.......................} ^{..........................} ^{..............................} ^{.................................} ^{.....................................} ^{........................................} ^{............................................}^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .}^{.. . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . ... . . . . . . . . . .⋮. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ..} .^{....................} .^{.............................}.^{...........................}^{..........}.^{.............}^{...}.^{.................}^{......}.^{.............}..^{.......................}^{....} .^{....}^{..............}.^{.........}^{............}..^{....}.

5. Intr-o sectie a unei agentii activeaza 6 barbati si 3 doamne. Unul dintre colaboratori urmeaza sa plece in deplasare. Care este probabilitatea ca colaboratorul care va pleca in deplasare este doamna, daca se stie ca toti colaboratorii sectiei au sanse egale sa plece in deplasare?

6. Fie polinomul P (X) = 3X^{3} + (10 − i)X + a, a ∈ ℂ. Determinati valoarea lui a, daca se stie ca α = 1 − 2i este radacina a polinomului P (X).

7. Aflati cardinalul multimii solutiilor naturale ale inecuatiei \frac{3}{x − 1} ≤ \frac{2}{x − 2}.

8. Trapezul ABCD este dreptunghic cu m(∠A) = m(∠D) = 90^{o}, AD = 5 cm, DC = AD, m(∠DCB) = 150^{o}. Determinati perimetrul trapezului ABCD.

9. Determinati intervalele de monotonie ale functiei f : ℝ^{∗} → ℝ, f(x) = x^{2} − \frac{54}{x}.

10. Intr-o piramida patrulatera regulata din piciorul inaltimii se duce o perpendiculara la o muchie laterala care formeaza cu planul bazei piramidei un unghi de masura egala cu 60^{o}. Determinati volumul piramidei, daca lungimea perpendicularei este egala cu 6 cm.

.

.....................

.

...............................

.

...............................

.......

.

................

. .

....................

...

.

.................

.

.

..................

......

.

.........

..........

. .

.....

...

.

11. Fie functia f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 4. Una dintre primitivele functiei f trece prin punctul A(1; −2). Scrieti ecuatia tangentei la graficul acestei primitive, punctul de tangenta fiind intersectia graficului acestei primitive cu axa ordonatelor.

12. Rezolvati in ℝ ecuatia (x^{2} − 5x + 5) · |log_{\frac{1}{2}} x| = −log_{\frac{1}{2}} x.

Solutii

1. lg 2 < ln 2, deoarece lg 2 = \frac{ln 2}{ln 10}, iar ln 10 > ln e = 1.

2. x ∈ (−∞, −2] ∪ {1}.

3. x^{3} · \sqrt[3]{x} = x^{n} ⇔ x^{3} · x^{\frac{1}{3}} = x^{n} ⇔ x^{3+ \frac{1}{3}} = x^{n} ⇔ n = \frac{10}{3}.

4. 30^{o}. Sectiunea axiala a conului circular drept reprezinta un triunghi isoscel, deci unghiul de la baza (unghiul format de generatoarea conului cu planul bazei) va fi egal cu (180^{o} − 120^{o}) : 2 = 30^{o}.

5. Numarul colaboratorilor din sectie este egal cu 6 + 3 = 9 (numarul cazurilor totale), iar numarul doamnelor 3 (numarul cazurilor favorabile evenimentului ”doamna va pleca in deplasare”). Cum avem schema evenimentelor echiprobabile, aplicand formula probabilitatii clasice, vom obtine:

p = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.

Raspuns: p = \frac{1}{3}.

6. Cum P (1 − 2i) = 0, se obtine: 3(1 − 2i)^{3} + (10 − i)(1 − 2i) + a = 0 ⇔ 3(1 − 6i + 12i^{2} − 8i^{3}) + 10 − 20i − i + 2i^{2} + a = 0 ⇔ ⇔ 3(−11 + 2i) + 8 − 21i + a = 0 ⇔ −33 + 6i + 8 − 21i + a = 0, de unde a = 25 + 15i.

7. Aplicam metoda intervalelor:

\frac{3}{x − 1} ≤ \frac{2}{x − 2} ⇔ \frac{3(x − 2) − 2(x − 1)}{(x − 1)(x − 2)} ≤ 0 ⇔ \frac{x − 4}{(x − 1)(x − 2)} ≤ 0.

1  ^{2}  ^{4} − +  −  +

Asadar S = (−∞; 1) ∪ (2; 4]. Cum S ∩ ℕ = {0; 3; 4}, rezulta cardS_{ℕ} = 3.

8.

A  N  B D  C

Cum m(∠DCB) = 150^{o}, rezulta m(∠CBA) = 30^{o}. Fie CN⊥AB. In △CNB, dreptunghic in N, avem ∠CBN = 30^{o}, CN = 5 cm si, prin

urmare,

BC = \frac{CN}{sin(∠CBA)} = \frac{5}{sin 30^{o}} = 10 (cm),

BN = CN · ctg 30^{o} = 5 · \sqrt{3} = 5\sqrt{3} (cm).

Aflam AB = AN + BN = 5 + 5\sqrt{3} (cm). Asadar, perimetrul trapezului:

P = AD + DC + BC + AB = 5 + 5 + 10 + (5 + 5\sqrt{3}) = 25 + 5\sqrt{3} (cm).

9. Aflam punctele critice din f′(x) = 0:

f′(x) = (x^{2} − \frac{54}{x})′ = 2x + \frac{54}{x^{2}} = 2\frac{x^{3} + 27}{x^{2}} = 2\frac{(x + 3)(x^{2} − 3x + 9)}{x^{2}}.

Din f′(x) = 0 ⇒ x = −3.

Cercetam semnul derivatei, utilizand metoda intervalelor:

−3  ^{0} −  +  + ↘  ↗  ↗

Asadar, f(x) este crescatoare pe [−3; 0) si pe (0; +∞) si f(x) este descrescatoare pe (−∞; −3].

10.

. ^{.................} . ^{..............} ^{.............} . ^{..........................} ^{..........} . ^{................} . ^{....} . . ^{........................} . ^{..........} ^{..........................} . ^{.......} ^{.........} . ^{.....................} . A  C O 60^{o}^{.. . . . . . . .... . . . . . . . . . . .} D  B  K V

Fie AB = a, V O⊥AC, V O = h – inaltimea piramidei, OK⊥V C, OK = 6 cm, m(∠KOC) = 60^{o}.

Din △OKC, dreptunghic in K, avem:

OC = \frac{OK}{sin 30^{o}} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12 (cm),

iar din △V KO, dreptunghic in K, avem:

V O = \frac{OK}{sin(∠OV K)} = \frac{6}{sin 60^{o}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} (cm).

Cum AC = 2OC (inaltimea cade in centrul de simetrie a bazei), rezulta

AC = 2 · 12 = 24 (cm).

Din △ABC, dreptunghic in B, avem: AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}, a^{2} + a^{2} = 24^{2}, 2a^{2} = 576, a^{2} = 288 si a = 12\sqrt{2} (cm).

Aflam volumul piramidei:

V = \frac{1}{3}a^{2}h = \frac{1}{3} · 288 · 4\sqrt{3} = 384\sqrt{3} (cm^{3}).

11. Aflam integrala nedefinita din functia f:

∫ f(x)dx = ∫ (2x − 4)dx = x^{2} − 4x + C.

Cum una din primitive contine punctul (1; −2) avem −2 = 1^{2} − 4 · 1 + C, de unde C = 1 si F (x) = x^{2} − 4x + 1.

Aflam ordonata punctului de intersectie a primitivei cu axa ordonatelor:

F (0) = 0 − 4 · 0 + 1 = 1.

Scriem ecuatia tangentei la graficul functiei F (x) = x^{2} − 4x + 1 in punctul (0; 1):

y − F (x_{0}) = F′(x_{0})(x − x_{0})

sau y − 1 = −4x, 4x + y − 1 = 0.

Raspuns: 4x + y − 1 = 0.

12. (x^{2} − 5x + 5) · |log_{\frac{1}{2}} x| = −log_{\frac{1}{2}} x ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}(x^{2} − 5x + 5) log_{\frac{1}{2}} x = − log_{\frac{1}{2}} x \\ 0 < x ≤ 1 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}(x^{2} − 5x + 5) (− log_{\frac{1}{2}} x) = − log_{\frac{1}{2}} x \\ x > 1 \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}(x^{2} − 5x + 6) log_{\frac{1}{2}} x = 0 \\ 0 < x ≤ 1 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}(x^{2} − 5x + 4) log_{\frac{1}{2}} x = 0 \\ x > 1 \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \end{matrix} \\ 0 < x ≤ 1 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = 1 \\ x = 4 \\ x = 1 \end{matrix} \\ x > 1 \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = 1 \\ x = 4 \end{matrix} .

Raspuns: S = {1; 4}.

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 2 puncte Nr. 2 — 2 puncte Nr. 3 — 2 puncte Nr. 4 — 2 puncte Nr. 5 — 4 puncte Nr. 6 — 5 puncte Nr. 7 — 6 puncte Nr. 8 — 5 puncte Nr. 9 — 6 puncte Nr. 10 — 8 puncte Nr. 11 — 8 puncte Nr. 12 — 8 puncte total: 58 puncte