Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2008 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie 2008 Profilul umanist, arte, sport

Timp alocat: 180 minute.

In itemii 1-4 completati spatiile rezervate astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

1. Completati caseta astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata

”Daca P (X) = X^{3} − 2X^{2} + 4, atunci P (\sqrt{2}) = .”

2. Incercuiti litera A, daca propozitia este adevarata sau litera F, daca propozitia este falsa.

10^{1+2 lg \sqrt{3}} = 20.  A  F

3. Scrieti in caseta un numar real astfel incat functia f : ℝ_{+}^{∗} → ℝ, f(x) = log x sa fie strict descrescatoare pe intervalul (0; +∞).

4. In triunghiul dreptunghic ABC, m(∠BAC) = 90^{o}, este inscris dreptunghiul AF DE cu lungimile laturilor, AF = 3 cm, AE = 5 cm. Daca AF = F B, AE = EC, atunci aria triunghiului ABC este egala cu cm^{2}.

[figure: A; E; C; F; B; D]

5. In clasele a XII-a a Liceului Teoretic ”Stefan cel Mare” invata 50 de elevi, dintre care 35 sunt fete. Statura medie a fetelor este de 168 cm, iar baietilor – 176 cm. Determinati statura medie a liceenilor din clasele a XII-a a Liceului Teoretic ”Stefan cel Mare”.

6. Termenul de rangul 17 al dezvoltarii binomului (\frac{1}{x^{2}} + 5\sqrt{x})^{n} nu-l contine pe x.

Determinati valoarea lui n.

7. Fie A = ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & −1 \end{matrix} ) . Calculati A × B.

8. Pentru ce valori reale ale lui a si b se verifica egalitatea 3a + (5 − 2i)b = 1 + 2i?

9. Utilizand datele din desen calculati cati m^{3} de fan incap in sopron (sopronul nu are pod), daca lungimea lui a = 12 m, latimea b = 8 m, inaltimea peretilor c = 3 m, iar capriorii acoperisului au aceeasi lungime si formeaza, cate doi, un unghi drept.

[figure: b; a; c; ]ˇ

10. Fie functia f : ℝ → ℝ, f(x) = x^{3} − \frac{1}{2}x^{2} − 10x + 2008. Determinati valoarea functiei f in punctul ei de minim local.

11. Inaltimea unui con circular drept este egala cu 15 cm, iar suma lungimilor generatoarei si razei bazei este egala cu 25 cm. Calculati aria suprafetei totale a conului circular drept.

[figure: .^{.......}^{........}^{.........}^{...........}^{.............}^{...............}^{.........................}^{............................}^{..............................}^{..............................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .; . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{........................} . .^{..........} ..^{.........................} .^{.............} ..^{........} .^{....}^{...........} ..^{.........}^{....}]

12. Determinati valoarea reala a lui a, a > 0, astfel incat ∫_{0}^{2}(x + e^{a})dx = 4e^{2a}.

Solutii

1. P (\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^{3} − 2 · (\sqrt{2})^{2} + 4 = 2\sqrt{2} − 4 + 4 = 2\sqrt{2}. Raspuns: 2\sqrt{2}.

2. 10^{1+2 lg \sqrt{3}} = 10^{1} · 10^{2 lg \sqrt{3}} = 10 · 10^{lg 3} = 10 · 3 = 30. Cum 30 ≠ 20, rezulta raspunsul: Fals.

3. In caseta poate fi inscris orice numar real a, cuprins intre 0 si 1 (conform proprietatilor functiei logaritmice f(x) = log_{a}x, ea este strict descrescatoare pentru a ∈ (0, 1)).

Raspuns: de exemplu, a = \frac{1}{2}.

4. Avem AB = 2 · AF = 6, AC = 2 · AE = 10 si S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB · AE = \frac{1}{2} · 10 · 6 =

= 30 (cm^{2}).

Raspuns: 30 cm^{2}.

5. Numarul baietilor din liceul dat: 50 − 35 = 15. Aflam statura medie:

\frac{35 · 168 + 15 · 176}{50} = 170, 4 (cm).

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2008 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 3

Raspuns: 170, 4 cm.

6. Utilizam formula termenului de rang k:

T_{k+1} = C_{n}^{k}a^{n−k}b^{k}.

Avem T_{17} = T_{16+1} = C_{n}^{16}x^{−2(n−16)} (5x^{\frac{1}{2}} )^{16} = C_{n}^{16} · 5^{16} · x^{−2n+32+8} = C_{n}^{16}5^{16}x^{−2n+40}. Cum T_{17} nu contine x, rezulta −2n + 40 = 0, de unde n = 20.

Raspuns: n = 20.

7. Se utilizeaza regula inmultirii a doua matrici si se obtine:

A × B = ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & −1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix} ) .

8. Avem:

3a + 5b − 2bi = 1 + 2i.

Din definitia egalitatii a doua numere complexe rezulta

\{ \begin{matrix}3a + 5b = 1, \\ −2b = 2, \end{matrix}

de unde a = 2 si b = −1.

Raspuns: a = 2, b = −1. 9.

[figure: b; a; c; ; ˇ d; A; B; C; D; A′; B′; C′; D′; E; E′]

Aflam lungimea capriorilor d:

d = b sin 45^{o} = 8 · \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} (m).

Aflam volumul paralelepipedului ABCDA′B′C′D′:

V_{1} = 12 · 8 · 3 = 288 (m^{3}).

Aflam volumul prismei A′B′EC′D′E′:

V_{2} = \frac{1}{2}A′E · EB′ · EE′ = \frac{1}{2}4\sqrt{2} · 4\sqrt{2} · 12 = 4 · 4 · 2 · 6 = 192 (m^{3}).

Aflam volumul sorponului: V = V_{1} + V_{2} = 288 + 192 = 480 (m^{3}).

Raspuns: 480 m^{3}.

10. Determinam derivata functiei: f′(x) = 3x^{2} − x − 10.

Aflam punctele critice f′(x) = 0 ⇒ 3x^{2} − x − 10 = 0 ⇒ x_{1} = −\frac{5}{3}, x_{2} = 2. Determinam semnul derivatei:

[figure: − \frac{5}{3}; 2; +; −; +; ↗; ↘; ↗]

Rezulta x = 2 punct de minim local.

f_{min} = f(2) = 2^{3} − \frac{1}{2} · 2^{2} − 10 · 2 + 2008 = 1994.

Raspuns: 1994.

11.

[figure: A; O; B; V]
A_{supr.tot.} = πR^{2} + πRG = πR(R + G).

Notam OB = R, V O = H = 15, V B = G = 25 − R. Conform teoremei Pitagora:

V B^{2} = V O^{2} + OB^{2}

sau (25 − R)^{2} = 15^{2} + R^{2}, 625 − 50R + R^{2} = 225 + R^{2}, 50R = 400 si R = 8 (cm). Asadar,

A_{supr.tot.} = π · 8 · 25 = 200π (cm^{2}).

12. Cum ∫_{0}^{2}(x + e^{a})dx = (\frac{x^{2}}{2} + e^{a}x)|_{0}^{2} = 2 + 2e^{a} − 0 = 2 + 2e^{a}, se obtine ecuatia

2 + 2e^{a} = 4e^{2a} sau 2e^{2a} − e^{a} − 1 = 0.

Notam e^{a} = t. Cum a > 0 ⇒ t > 1. Avem

2t^{2} − t − 2 = 0 ⇔ [ \begin{matrix}t_{1} = 1 \\ t_{2} = −\frac{1}{2} \end{matrix} .

Ambele solutii nu verifica conditia t > 1, prin urmare, ecuatia initiala nu are solutii. Asadar, nu exista a > 0 real ce ar verifica relatia data.

Raspuns: a ∈ ∅.

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 2 puncte Nr. 2 — 2 puncte Nr. 3 — 2 puncte Nr. 4 — 2 puncte Nr. 5 — 4 puncte Nr. 6 — 5 puncte Nr. 7 — 6 puncte Nr. 8 — 5 puncte Nr. 9 — 6 puncte Nr. 10 — 6 puncte Nr. 11 — 7 puncte Nr. 12 — 8 puncte total: 55 puncte

Nota ”10” — 54-55 puncte ”9” — 52-53 puncte ”8” — 49-51 puncte ”7” — 39-48 puncte ”6” — 27-38 puncte ”5” — 19-26 puncte ”4” — 14-18 puncte ”3” — 10-13 puncte ”2” — 5-9 puncte ”1” — 0-4 puncte