Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Ministerul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 18 iunie 2007 Profilul umanist

Timp alocat: 180 minute.

I. In itemii 1-4 scrie pe foaia de test in spatiul indicat numai rezultatele. Poti folosi maculatorul pentru efectuari de calcule.

1. Numarul 5 · \sqrt{5} · 5^{\frac{1}{2}} − 3 · \sqrt[5]{32} este egal cu .

2. Modulul numarului complex z = 3 + 4i este egal cu .

3. Polinoamele P (X) = 1 + 6X − X^{2} si Q(X) = a − (X + b)^{2} sunt egale, daca a = si b = .

4. Numarul C_{4}^{3} − A_{5}^{1} este egal cu .

II. In itemii 5-8 raspunde la intrebari, scriind argumentarile si raspunsurile in spatiile rezervate.

5. Diagrama alaturata reprezinta rezultatul unui examen. Determina nota medie obtinuta de elevi la acest examen si dominanta acestei serii statistice.

[figure: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; Numarul de elevi; Note]

6. Determina media aritmetica a solutiilor ecuatiei

x^{3} − 2x^{2} − x − 4 = | \begin{matrix}1 & 0 & −2 \\ 3 & −1 & −2 \\ −2 & 2 & 2 \end{matrix} | .

7. Calculeaza lim_{x→a} \frac{x^{2} + 3x − 4}{1 − x^{2}}, daca a = 5i^{21} − (1 + i)^{3} − 3i − 1.

8. Tangenta la graficul functiei f : ℝ → ℝ, f(x) = \frac{3^{x+1}}{ln 27} in punctul A(x_{0}; y_{0}) formeaza cu directia pozitiva a axei absciselor un unghi de 45^{o}. Determina coordonatele punctului A.

III. Rezolva problemele 9-12 si scrie pe foaia de test rezolvarile complete.

9. Intr-un triunghi dreptunghic isoscel este inscris un patrat, astfel incat doua varfuri se afla pe ipotenuza, iar celelalte doua se afla pe catete. Determina perimetrul patratului, daca aria triunghiului este de 36 cm^{2}.

[figure: A; M; K; B; N; P; C]

10. Determina cel mai mare numar natural n pentru care este adevarata inegalitatea log_{0,2} n + log_{\frac{n}{5}} n > 0.

11. Determina numarul c pentru care ariile figurilor A si B din desenul alaturat sunt egale.

[figure: x; y; y = 2 − x^{2}; c; A; B; .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .^{..........}^{...........}^{............}^{..............}^{.................}^{....................}^{.......................}^{...........................}^{..............................}^{.................................}^{....................................}^{.......................................}^{..........................................}^{.............................................}]

12. Un vas fara capac are forma unui cilindru. Inaltimea vasului este de 1,5 m; iar diametrul bazei reprezinta 40% din inaltime. Determina daca este suficient 1 kg de vopsea pentru a vopsi integral vasul, in interior si exterior, daca se stie ca pentru 1 m^{2} de suprafata se consuma 150 g de vopsea.

Solutii

1. 5 · \sqrt{5} · 5^{\frac{1}{2}} − 3 · \sqrt[5]{32} = 5^{1} · 5^{\frac{1}{2}} · 5^{\frac{1}{2}} − 3\sqrt[5]{2^{5}} = 5^{1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} − 3 · 2 = 5^{2} − 6 = 25 − 6 = 19.

2. Cum modulul |z| numarului complex z = a + bi este egal cu \sqrt{a^{2} + b^{2}}, se obtine

|z| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5.

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 3

3. Utilizand definitia egalitatii a doua polinoame se obtine:

1 + 6X − X^{2} = a − X^{2} − 2bX − b^{2} ⇔ 1 + 6X − X^{2} = a − b^{2} − 2bX − X^{2} ⇔ \{ \begin{matrix}1 = a − b^{2}, \\ 6 = −2b, \\ −1 = −1 \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}1 = a − 9, \\ b = −3, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}a = 10, \\ b = −3. \end{matrix}

4. C_{4}^{3} − A_{5}^{1} = \frac{4!}{3!1!} − \frac{5!}{4!} = \frac{4}{1} − \frac{5}{1} = −1.

5. Utilizand definitia mediei aritmetica ponderate, se obtine:

m = \frac{4 · 1 + 5 · 3 + 6 · 5 + 7 · 10 + 8 · 6 + 9 · 4 + 10 · 1}{1 + 3 + 5 + 10 + 6 + 4 + 1} = \frac{213}{30} = \frac{71}{10} = 7, 1.

Cum dominanta reprezinta valoarea caracteristicii cu frecventa cea mai mare, rezulta Mo = 7. 6. Cum membrul din partea dreapta a ecuatiei este egal cu

| \begin{matrix}1 & 0 & −2 \\ 3 & −1 & −2 \\ −2 & 2 & 2 \end{matrix} | = −2 − 12 + 4 + 4 = −6,

se obtine ecuatia

x^{3} − 2x^{2} − x − 4 = −6

echivalenta succesiv cu x^{3}−2x^{2}−x+2 = 0 ⇔ x^{2}(x−2)−(x−2) = 0 ⇔ (x−2)(x^{2}−1) = 0 ⇔ (x−2)(x−1)(x+1) = 0 ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x − 2 = 0, \\ x − 1 = 0, \\ x + 1 = 0, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = 2, \\ x = 1, \\ x = −1, \end{matrix}

de unde pentru media aritmetica a solutiilor se obtine \frac{2 + 1 + (−1)}{3} = \frac{2}{3}.

7. Determinam numarul a, tinand seama ca i^{21} = i, i^{3} = −i, i^{4} = 1,

a = 5i^{21} − (1 + 3i + 3i^{2} + i^{3}) − 3i − 1 = 5i − 1 − 3i + 3 + i − 3i − 1 = 1.

Atunci

lim_{x→1} \frac{x^{2} + 3x − 4}{1 − x^{2}} = lim_{x→1} \frac{(x − 1)(x + 4)}{(1 − x)(1 + x)} = lim_{x→1} \frac{−(x + 4)}{(1 + x)} = −\frac{5}{2}.

8. Fie A(x_{0}, y_{0}) – punctul de tangenta; α = 45^{o} – unghiul format de tangenta cu directia pozitiva a axei OX.

Cum f′(x_{0}) =tgα =tg45^{o} = 1 si

f′(x) = (\frac{3^{x+1}}{ln 27})′ = \frac{1}{ln 27} · 3^{x+1} · ln 3 = \frac{1}{ln 3^{3}} · 3 · 3^{x} · ln 3 = \frac{1}{3 ln 3} · 3 · 3^{x} · ln 3 = 3^{x},

se obtine f′(x_{0}) = 3^{x_{0}} si 3^{x_{0}} = 1, de unde x_{0} = 0. Atunci y_{0} = f(x_{0}) = \frac{3^{0+1}}{ln 27} = \frac{3}{3 ln 3} = \frac{1}{ln 3}.

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 4

Asadar, coordonatele punctului de tangenta sunt x_{0} = 0, y_{0} = \frac{1}{ln 3}.

9. Fie AB = c. Atunci, conform teoremei Pitagora si enuntului AB = AC = \frac{c}{\sqrt{2}}, si cum S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB · AC, se obtine \frac{1}{2} · \frac{c^{2}}{2} = 36, de unde c = 12 (cm).

Fie latura patratului MK = x. Cum x = MK = KP = NP = NM si x = AM = KB (din egalitatea triunghiurilor dreptunghice △AMN si △BKP) se obtine

AM = MK = KB = \frac{c}{3},

asadar, P_{MNP K} = 4 · \frac{c}{3} = 4 · \frac{12}{3} = 16 (cm).

10. log_{0,2} n + log_{\frac{n}{5}} n > 0 ⇔ − log_{5} n + \frac{log_{5} n}{log_{5} n − 1} > 0 ⇔ \{ \begin{matrix}−t + \frac{t}{t − 1} > 0 \\ t = log_{5} n \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}\frac{−t(t − 1) + t}{t − 1} > 0 \\ t = log_{5} n \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}\frac{t(2 − t)}{t − 1} > 0 \\ t = log_{5} n \end{matrix} . Se utilizeaza metoda intervalelor

[figure: 0; 1; 2; +; −; +; −]

si se obtine

\{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}t < 0 \\ 1 < t < 2 \end{matrix} \\ t = log_{5} n \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}log_{5} n < 0 \\ 1 < log_{5} n < 2 \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}0 < n < 1 \\ 5 < n < 25 \end{matrix} .

Asadar, multimea solutiilor inecuatiei este reuniunea intervalelor (0; 1) si (5; 25). Cel mai mare numar natural din aceasta multime este n = 24.

11. Aflam aria figurii A, utilizand integrala Riemann. 2 − x^{2} = 0, x = ±\sqrt{2}, prin urmare, limitele de integrare sunt a = −\sqrt{2}, b = \sqrt{2} si

S_{A} = ∫_{−\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(2 − x^{2})dx = (2x − \frac{x^{3}}{3} )|_{−\sqrt{2}}^{√\overline{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3}.

Aria figurii B (triunghi) este egala cu:

S_{B} = \frac{1}{2} · LM · OC = \frac{1}{2} · 2\sqrt{2} · |c| = \sqrt{2} · |c|.

Conform enuntului S_{A} = S_{B}, de unde \sqrt{2} · |c| = \frac{8\sqrt{2}}{3}, |c| = \frac{8}{3}, c = ±\frac{8}{3}. Cum c < 0,

ramane c = −\frac{8}{3}.

12.

A C  B D O .^{......}^{......}^{.......}^{.........}^{..........}^{............}^{...................}^{.....................}^{......................}^{.......................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . ... . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{.......................}^{......................}^{.....................}^{...................}^{............}^{..........}^{.........}^{.......}^{......}^{......}.^{......}^{......}^{.......}^{.........}^{..........}^{............}^{...................}^{.....................}^{......................}^{.......................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{.......}^{.............} .^{..............}^{.............} .^{..........}^{.........} ..^{.....}^{....}^{....}^{....}.

Fie ABCD – sectiunea axiala a cilindrului. Fie AB = CD = x, BD = 1, 5 (m). Din proportia

1, 5 − 100%
x − 40%

se obtine x = \frac{40 · 1, 5}{100} = \frac{3}{5} (m). Atunci raza bazei cilindrului r = OD = \frac{CD}{2} = \frac{3}{10} (m) si suprafata ce urmeaza a fi vopsita, este

A = 2(A_{baz}+A_{lat}) = 2(π·r^{2}+2πr·BD) = 2π (\frac{9}{100} + 2 · \frac{3}{10} · \frac{3}{2}) = 2π (\frac{9}{100} + \frac{9}{10}) = \frac{99π}{50} (m)^{2}.

Din proportia 1, 5 m^{2} − 150 gr

\frac{99π}{50} m^{2} − y gr

rezulta y = \frac{99π · 150}{50} = 297π ≈ 932, 58 (gr). Cum 932, 58 < 1000, rezulta ca 1 kg de vopsea va fi suficient.

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 2 puncte Nr. 2 — 2 puncte Nr. 3 — 2 puncte Nr. 4 — 2 puncte Nr. 5 — 3 puncte Nr. 6 — 4 puncte Nr. 7 — 5 puncte Nr. 8 — 5 puncte Nr. 9 — 6 puncte Nr. 10 — 6 puncte Nr. 11 — 6 puncte Nr. 12 — 6 puncte total: 49 puncte