Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2006 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Ministerul Educatiei, Tineretului si Sportului Directia Evaluare Invatamant Preuniversitar Examenul de bacalaureat la matematica, 13 iunie 2006 Profilul umanist

Timp alocat: 180 minute.

I. In itemii 1-5 scrie pe foaia de test in spatiu indicat numai rezultatele. Poti folosi Maculatorul pentru efectuari de calcule.

1. In rezultatul efectuarii operatiilor in expresia y^{−2}y^{8}y^{−6} se obtine numarul .

2. Valoarea lui x ∈ ℝ pentru care x log_{2} 3 = log_{10} 3 este egala cu .

3. Scrie in casetele libere numerele: lg 1; π; \sqrt{−i^{2}} astfel incat sa obtii o afirmatie adevarata

< < .

4. Daca cercul de raza R si centrul in punctul (−3; 4) este tangent la axa OX, atunci R = .

5. Daca parabola cu varful in punctual (2;0) si axa de simetrie paralela cu axa OY trece prin punctele (3;1) si (−3; t), atunci valoarea lui t este egala cu .

II. In itemii 6-9 raspunde la intrebari, scriind argumentarile si raspunsurile in spatiile rezervate.

6. In tabel sunt reprezentate datele cu referinta la timpul si costurile pentru utilizarea Internetului in ziua de duminica intr-o cafenea.

Perioada de timp Costul 1 ora (lei)
0.00-10.00  3,50
10.00-20.00  6,00
20.00-24.00  3,50

Intr-o duminica Ana a utilizat internetul in aceasta cafenea de la orele 8.00 pana la 8.30 si de la orele 9.30 pana la 14.15.

Determina cat a platit Ana in total pentru serviciile de internet in aceasta zi.

7. Rezolva inecuatia ∫_{0}^{1}(2a^{3}x − a^{2})dx ≥ 0.

8. In desenul alaturat este reprezentat un cilindru circular drept. Utilizand datele din desen, determina de cate ori este mai mare aria suprafetei laterale a cilindrului fata de aria sectiunii axiale.

[figure: .^{......}^{......}^{.......}^{.........}^{..........}^{............}^{...................}^{.....................}^{......................}^{.......................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .; .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{.......................}^{......................}^{.....................}^{...................}^{............}^{..........}^{.........}^{.......}^{......}^{......}; .^{......}^{......}^{.......}^{.........}^{..........}^{............}^{...................}^{.....................}^{......................}^{.......................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .; .. . . .. . . . . . . . .... . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{................}^{..........} .^{.......} ..^{.....................}^{..........} .^{............}^{.......} .^{...}..^{.....}^{....}^{....}^{....}^{....}.]

9. Determina pentru care valori ale lui a ∈ ℝ ecuatia ax^{2} + 2ax − 1 = 0 nu are solutii reale. III. Rezolva problemele 10-12 si scrie pe foaia de test rezolvarile complete.

10. Trei drepte de ecuatie d_{1} : y − x − 2 = 0, d_{2} : y − 3x + 2 = 0, d_{3} : 3y − kx − 4 = 0 se intersecteaza in acelasi punct Q. Determina valoarea reala a lui k.

11. Pe desen este reprezentat triunghiul ABC. M este mijlocul laturii BC, AN este bisectoarea unghiului BAC, BN ⊥ AN, AB=14 si AC=19. Utilizand datele problemei si desenul, determina lungimea segmentului MN.

[figure: . ^{.....} ^{......} ^{......} ^{.....} ^{.....} ^{.....}; . ^{..........} ^{..........} ^{.........} ^{..........}; A; B; C; N; M]

12. Se da functia f : ℝ → ℝ, f(x) = x^{3}. Dreapta de ecuatie y = 3x + b este tangenta la graficul functiei f. Determina valorile lui b, unde b ∈ ℝ.

Solutii

1. Pentru y ∈ ℝ \ {0} se obtine y^{−2}y^{8}y^{−6} = y^{−2+8−6} = y^{0} = 1.

2. Cum log_{2} 3 = \frac{lg 3}{lg 2} se obtine x log_{2} 3 = lg 3 ⇔ x\frac{lg 3}{lg 2} = lg 3 ⇔ x = lg 2.

3. Cum lg 1 = 0, π ≈ 3, 14, \sqrt{−i^{2}} = \sqrt{−(−1)} = \sqrt{1} = 1 se obtine lg 1 < \sqrt{−i^{2}} < π.

4. Daca cercul O(x_{0}, y_{0}) este tangent la axa OX, atunci R = |y_{0}|. Rezulta R = 4.

5. Ecuatia parabolei cu varful in (2; 0) si axa de simetrie paralela cu axa OY este y = a(x − 2)^{2}.

Punctul (3; 1) apartine parabolei, prin urmare 1 = a(3 − 2)^{2}, de unde a = 1 si ecuatia parabolei date: y = (x − 2)^{2}. Cum punctul (−3; t) apartine parabolei, rezulta t = (−3 − 2)^{2}, adica t = 25.

6. S-au folosit a) (8\frac{1}{2} − 8) + (10 − 9\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 (ora) a cate 3,50 lei si

b) 14\frac{1}{4} − 10 = 4\frac{1}{4} (ora) a cate 6 lei. Prin urmare costul total:

c = 1 · 3, 5 + 4\frac{1}{4} · 6 = \frac{7}{2} + \frac{51}{2} = 29 lei.

Raspuns: 29 lei.

7. Cum ∫_{0}^{1}(2a^{3}x − a^{2})dx = (2a^{3} \frac{x^{2}}{2} − a^{2}x)|_{0}^{1} = (a^{3} · 1 − a^{2} · 1) − 0 = a^{3} − a^{2}, inecuatia

devine

a^{3} − a^{2} ≥ 0 ⇔ a^{2}(a − 1) ≥ 0.

Se rezolva utilizand metoda intervalelor si se obtine a ∈ {0} ∪ [1; +∞). Raspuns: a ∈ {0} ∪ [1; +∞).

8. Fie R – raza bazei cilindrului, H – inaltimea lui. Atunci aria suprafetei laterale S_{1} = 2πRH, aria sectiunii axiale S_{2} = 2RH, de unde

\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2πRH}{2RH} = π.

Raspuns: de π ori.

9. Fie a ≠ 0. Atinci ecuatia patratica ax^{2} + 2ax − 1 = 0 nu are solutii reale daca Δ = 4a^{2} + 4a < 0. Se rezolva inecuatia si se obtine a ∈ (−1; 0).

Daca a = 0 se obtine ecuatia 0 · x^{2} + 0 · x − 1 = 0, ce nu are solutii. Prin urmare ecuatia initiala nu are solutii reale pentru a ∈ (−1; 0].

Raspuns: a ∈ (−1; 0].

10. Rezolvand sistemul de ecuatii

\{ \begin{matrix}y − x − 2 = 0 \\ y − 3x + 2 = 0 \end{matrix}

se obtine punctul de intersectie Q(2; 4) a dreptelor d_{1} si d_{2}. Cum dreapta d_{3} trece la fel prin punctul Q, se obtine:

3 · 4 − k · 2 − 4 = 0 ⇔ 2k = 8 ⇔ k = 4.

Prin urmare, pentru k = 4 dreptele d_{1}, d_{2}, d_{3} se intersecteaza in punctul Q. Raspuns: k = 4.

11. Prelungind dreapta BN pana la intersectie cu latura AC si notand punctul de intersectie cu D se obtine triunghiul ABD.

Cum AN ⊥ BD si AN – bisectoare, rezulta triunghiul ABD – isoscel si AB = BD = 14. Atunci CD = AC − AD = 19 − 14 = 5.

Cum MN – linie medie in ΔBDC(BM = MC, BN = ND) se obtine

MN = \frac{1}{2}CD = \frac{5}{2} = 2, 5.

Raspuns: MN = 2, 5.

12. Cum dreapta de ecuatie y = 3x + b este tangenta la graficul functiei f(x) = x^{3}, rezulta

f′(x_{0}) = 3,

unde x_{0} este abscisa punctului de tangenta. Asadar, 3x_{0}^{2} = 3, de unde x_{0} = ±1 si y_{0} = ±1 (ordonata punctului de tangenta).

Pentru x_{0} = −1 se obtine −1 = 3 · (−1) + b, b = 2. Pentru x_{0} = 1 se obtine 1 = 3 · 1 + b, b = −2. Asadar b ∈ {−2; 2}. Raspuns: b ∈ {−2; 2}.

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 2 puncte Nr. 2 — 2 puncte Nr. 3 — 2 puncte Nr. 4 — 2 puncte Nr. 5 — 2 puncte Nr. 6 — 3 puncte Nr. 7 — 6 puncte Nr. 8 — 5 puncte Nr. 9 — 6 puncte Nr. 10 — 6 puncte Nr. 11 — 7 puncte Nr. 12 — 7 puncte total: 50 puncte

Nota ”10” — 49-50 puncte ”9” — 47-48 puncte ”8” — 44-46 puncte ”7” — 38-43 puncte ”6” — 30-37 puncte ”5” — 18-29 puncte ”4” — 14-17 puncte ”3” — 10-13 puncte ”2” — 5-9 puncte ”1” — 0-4 puncte