Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2005 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 2005 Profilul umanist

Timp alocat: 180 minute.

I. In itemii 1-4 scrie pe foaia de test in spatiul indicat numai rezultatele. Poti folosi Maculatorul pentru efectuari de calcule.

1. Scrie in caseta libera unul dintre semnele <, >, =, astfel incat sa obtii o afirmatie adevarata

sin \frac{π}{6} lg 1.

2. Egalitatea \frac{1}{36} = 6^{n} este adevarata pentru n = .

3. Valoarea expresiei (1 + i)^{2} este egala cu .

4. Dreapta l_{1} paralela cu dreapta de ecuatie l_{2} : y = \frac{1}{3}x + 2 are panta egala cu m_{1} = .

II. In itemii 5-8 raspunde la intrebari, scriind argumentarile si raspunsurile in spatiile rezervate.

5. Tabelul de mai jos contine date despre inaltimea elevilor unei clase. Se stie ca inaltimea medie a elevilor din clasa constituie 171 cm. Utilizand datele din tabel determina valoarea lui x.

Inaltimea (cm) 165 168 170 175 177
Numarul de elevi 2 6 x 5 3

6. Fie polinomul P (x) = 2x^{3} − 5x^{2} − 11x + m.

a) Determina valorile parametrului real m, daca se stie ca una dintre radacinile polinomului P (x) este egala cu (−1).

b) Determina celelalte radacini ale polinomului pentru m determinat anterior.

7. Determina valorile reale ale lui x pentru care determinantul | \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ x & 2 & 2 \\ x^{2} & 4 & 2 \end{matrix} | ia valori pozitive.

8. Determina valoarea expresiei x + y, daca se stie ca 2^{x} = 8^{y+1} si 9^{y} = 3^{x−9}.

III. Rezolva problemele 9-12 si scrie pe foaia de test rezolvarile complete.

9. Determina pentru care valori ale parametrului p este adevarata egalitatea:

∫_{−p}^{p} \frac{1 + x}{2} dx = 1.

10. O piesa turnata din metal are forma unui cub cu o gaura de forma cilindrica (vezi desenul). Aria bazei piesei este de 16 cm^{2}, iar diametrul gaurii este egal cu jumatate din diagonala bazei. Determina cati cm^{3} de metal sunt necesari pentru turnarea acestei piese.

[figure: ^{.. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .}; . ^{.......} ^{.......} ^{.......}; ^{.. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .}; . ^{.......} ^{.......} ^{.......}; ^{.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .}; ^{.. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; ^{.⋮. . . . . .. . . . . .... . . . .. . . . . ... . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ... . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ... . . . .. . . . .}; ^{.. . . . . . . . . . . . . . .. . . ... . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . .⋮.. . . . . . . . . . . . ... . . . . . . .. . . . . . . . ... . . . . . . . .⋮}]

11. Tangenta la curba y = x^{2} − 2x + 3 este perpendiculara pe dreapta de ecuatie x + 3y + 3 = 0. Determina abscisa punctului de tangenta.

12. In desenul alaturat triunghiul ACB este dreptunghic in C. Un cerc este tangent la latura AB in punctul D si intersecteaza celelalte doua laturi in punctele P si Q respectiv. CD este un diametru al cercului. AB = 10 cm, AC = 8 cm si BC = 6 cm. Utilizand datele problemei si desenul, determina lungimea segmentului P Q.

[figure: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{...................}^{...................}^{...................}^{..................}^{..................}^{...................}^{...................}^{...................}^{...................}^{...................}^{...................}^{..................}^{..................}^{...................}^{...................}^{...................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .; C; A; Q; B; D; P]

Solutii

1. Cum sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}, lg 1 = 0, rezulta sin \frac{π}{6} > lg 1.

2. \frac{1}{36} = 6^{n} ⇔ 6^{−2} = 6^{n} ⇔ n = −2.

3. (1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i − 1 = 2i.

4. Dreptele paralele au pante egale, rezulta m_{1} = \frac{1}{3}.

5. Din conditii rezulta ecuatia

\frac{165 · 2 + 168 · 6 + 170 · x + 175 · 5 + 177 · 3}{2 + 6 + x + 5 + 3} = 171

sau 2744 + 170x = 171(16 + x), de unde x = 8.

Raspuns: x = 8.

6. a) Cum P (−1) = 0, rezulta −2 · 1 − 5 · 1 + 11 · 1 + m = 0, de unde m = −4.

b) 2x^{3} − 5x^{2} − 11x − 4 = 0 ⇔ (x + 1)(2x^{2} − 7x − 4) = 0 ⇔ (x + 1)(x − 4)(2x + 1) = 0,

de unde x ∈ \{−1; 4; −\frac{1}{2}\}.

Raspuns: m = −4; x ∈ \{4; −\frac{1}{2}\}.

7. Cum | \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ x & 2 & 2 \\ x^{2} & 4 & 2 \end{matrix} | = 4 + 2x^{2} + 8x − 4x^{2} − 8 − 2x = −2x^{2} + 6x − 4, rezulta inecuatia

−2x^{2} + 6x − 4 > 0 sau x^{2} − 3x + 2 < 0, de unde 1 < x < 2.

Raspuns: x ∈ (1; 2).

8. \{ \begin{matrix}2^{x} = 8^{y+1} \\ 9^{y} = 3^{x−9} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}2^{x} = 2^{3(y+1)} \\ 3^{2y} = 3^{x−9} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x = 3(y + 1) \\ 2y = x − 9 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x = 3(y + 1) \\ 2y = 3y + 3 − 9 \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x = 3(y + 1) \\ y = 6 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x = 21 \\ y = 6 \end{matrix} , de unde x + y = 27.

Raspuns: x + y = 27.

9. Cum ∫_{−p}^{p} \frac{1 + x}{2} dx = \frac{1}{2} (x + \frac{x^{2}}{2} )|_{−p}^{p} = \frac{1}{2} (p + \frac{p^{2}}{2} + p − \frac{p^{2}}{2} ) = p, rezulta p = 1.

Raspuns: p = 1.

10. Fie latura cubului a, raza gaurii R. Din conditii rezulta a^{2} = 16, de unde a = 4 si

2R = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} + a^{2}} sau 2R = \frac{1}{2}4\sqrt{2}, de unde R = \sqrt{2} (cm).

Fie V_{1} – volumul cubului, V_{1} = 4^{3} = 64 (cm^{3}), V_{2} – volumul gaurii (cilindrului de raza R\sqrt{2} si inaltimea h = a = 4).

V_{2} = π(\sqrt{2})^{2} · 4 = 8π(cm^{3}).

Rezulta V = V_{1} − V_{2} = 64 − 8π. Raspuns: (64 − 8π) cm^{3}.

11. Panta dreptei m_{1} = −\frac{1}{3}. Panta tangentei m_{2} = f′(x_{0}) = 2x_{0} − 2.

Cum dreapta si tangenta sunt perpendiculare, avem m_{1}m_{2} = −1 sau (2x_{0}−2)·(−\frac{1}{3}) = −1,

de unde 2x_{0} − 2 = 3 si x_{0} = \frac{5}{2}.

Raspuns: x_{0} = \frac{5}{2}.

12. S_{ΔABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · 8 · 6 = 24 cm^{2}, S_{ΔABC} = \frac{1}{2} · AB · CD = 5 · CD, rezulta

CD = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4, 8.

Consideram patrulaterul P CQD. Cum ∠CP D = ∠CQD = 90^{o} (unghiuri ce se sprijina pe diametrul CD). ∠D = 90^{o}, rezulta patrulaterul P CQD – dreptunghi si deci P Q = CD (diagonalele dreptunghiului sunt egale). Asadar, P Q = 4, 8 cm.

Raspuns: P Q = 4, 8 cm.

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 2 puncte Nr. 2 — 2 puncte Nr. 3 — 2 puncte Nr. 4 — 2 puncte Nr. 5 — 3 puncte Nr. 6 — 5 puncte Nr. 7 — 5 puncte Nr. 8 — 5 puncte Nr. 9 — 5 puncte Nr. 10 — 8 puncte Nr. 11 — 5 puncte Nr. 12 — 7 puncte total: 51 puncte

Nota ”10” — 51 puncte ”9” — 49-50 puncte ”8” — 45-48 puncte ”7” — 35-44 puncte ”6” — 26-34 puncte ”5” — 17-25 puncte ”4” — 10-16 puncte ”3” — 6-9 puncte ”2” — 3-5 puncte ”1” — 0-2 puncte