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Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Directia Generala Invatamant Preuniversitar Examenul de bacalaureat la matematica, iunie 2004 Profilul umanist

Timp alocat: 180 minute.

In itemii 1-4 incercuiti litera corespunzatoare variantei corecte de raspuns.

1. Carui interval de numere apartine numarul e?

a) (0;1)  b) (1;2)  c) (2;3)  d) (3;4).

2. Care dintre desene reprezinta graficul functiei f : (−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2} ) → ℝ, f(x) = tg x.

[figure: y; x; . ^{.................................} ^{................................} ^{..............................} ^{.............................} ^{...........................} ^{.........................} ^{........................} ^{......................} ^{....................} ^{...................}; . ^{...................} ^{....................} ^{......................} ^{........................} ^{..........................} ^{............................} ^{.............................} ^{...............................} ^{.................................} ...................................; − \frac{π}{2}; O; \frac{π}{2}; a; y; x; .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; − \frac{π}{2}; O; \frac{π}{2}; b; y; x; .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; O; \frac{π}{2}; π; c; y; x; . ^{.................................} ^{................................} ^{..............................} ^{.............................} ^{...........................} ^{.........................} ^{........................} ^{......................} ^{....................} ^{...................}; . ^{...................} ^{....................} ^{......................} ^{........................} ^{..........................} ^{............................} ^{.............................} ^{...............................} ^{.................................} ...................................; O; \frac{π}{2}; π; d]

3. Un cerc se poate circumscrie oricarui

a) romb  b) paralelogram  c) trapez  d) dreptunghi.

4. Care dinre propozitiile scrise mai jos este adevarata?

a) A_{n}^{k} = C_{n}^{k} · P_{n}  b) A_{n}^{k} = C_{n}^{k} · P_{k}  c) C_{n}^{k} = A_{n}^{k} · P_{k}  d) P_{k} = C_{n}^{k} · A_{n}^{k}.

5. Utilizand graficul functiei f : [−4; 6] → ℝ, completati spatiul liber astfel incat sa obtineti propozitii adevarate.

[figure: y; x; −4; −2; 0; 1; 3; 5; 6; −2; 2; 3; 4; .^{............................}^{.........................}^{......................}^{...................}^{.................}^{................}^{...............}^{..............} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; . ^{.........} ^{..........} ^{...........} ^{.............} ^{................} ^{...................}; .^{...................}^{................}^{.............}^{...........}^{..........}^{.........}. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .]

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a) f(x) > 0 pentru x ∈ .

b) f(x) < 0 pentru x ∈ .

c) f(x) = 0 pentru x_{1} = , x_{2} = .

d) max_{x∈[−4;6]} f(x) = f( ) = .

e) min_{x∈[−4;6]} f(x) = f( ) = .

6. Completati caseta cu unul dintre semnele <, =, >, astfel incat sa obtineti propozitie adevarata.

log_{2} 16 − \sqrt{25} tg\frac{π}{4} − 2 (sin \frac{π}{3} − cos \frac{π}{3} ) .

Argumentati raspunsul.

7. Calculati perimetrul triunghilui ABC, daca A(−1; 5), B(−3; 3), C(1; 7).

8. Rezolvati in ℝ ecuatia 4^{1+x} − 4^{1−x} − 15 = 0.

9. Incercuiti litera A, daca propozitia este adevarata, sau litera F, daca propozitia este falsa:

∫_{1}^{16} \frac{3}{\sqrt[4]{x}}dx = 2^{3 log_{8} 28}. A F

Argumentati raspunsul.

10. Fie A = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ), I_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) si f : M_{2} → M_{2}, f(x) = x^{2} − I_{2}. Calculati

f(2A).

11. Pentru ce valori ale lui a, a ∈ ℝ, ecuatia cos \frac{x}{2} = a^{2} − a − 1 admite solutii reale?

12. Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei f : ℝ → ℝ, f(x) = \frac{x − 2}{x^{2} + 1} in punctul de intersectie a graficului functiei cu axa ordonatelor.

13. Fie D(x) = | \begin{matrix}1 & x & −1 \\ 2 & 1 & 2x \\ 3 & x & 4 \end{matrix} |. Rezolvati in ℝ inecuatia \frac{D(x)}{x + 1} ≥ 1.

14. Aria laterala a unei piramide patrulaterale regulate este egala cu 48 cm^{2}. Unghiul format de fata laterala si planul bazei piramidei este egal cu 60^{o}. Calculati volumul piramidei.

Solutii

1. Cum e ≈ 2, 718, e ∈ (2; 3).

2. [figure: y; x; .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; − \frac{π}{2}; O; \frac{π}{2}; b]

3. d) dreptunghi.

4. b) A_{n}^{k} = C_{n}^{k} · P_{k}.

5. a) f(x) > 0 pentru x ∈ (0; 6].

b) f(x) < 0 pentru x ∈ (−4; 0).

c) f(x) = 0 pentru x_{1} = −4, x_{2} = 0.

d) max_{x∈[−4;6]} f(x) = f(3) = 4.

e) min_{x∈[−4;6]} f(x) = f(−2) = −2.

6. log_{2} 16 − \sqrt{25} = log_{2} 2^{4} − 5 = 4 log_{2} 2 − 5 = 4 · 1 − 5 = −1 < 0;

tg\frac{π}{4} − 2 (sin \frac{π}{3} − cos \frac{π}{3} ) = 1 − 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{1}{2}) = 1 − \sqrt{3} + 1 = 2 − \sqrt{3} > 0.

Rezulta, log_{2} 16 − \sqrt{25} < tg\frac{π}{4} − 2 (sin \frac{π}{3} − cos \frac{π}{3} ).

7. Utilizand formula distantei dintre doua puncte date M_{1}(x_{1}; y_{1}) si M_{2}(x_{2}; y_{2}), d = \sqrt{(x_{2} − x_{1})^{2} + (y_{2} − y_{1})^{2}}, calculam lungimile laturilor triunghiului.

AB = \sqrt{(−3 + 1)^{2} + (3 − 5)^{2}} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2};

AC = \sqrt{(1 + 1)^{2} + (7 − 5)^{2}} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2};
BC = \sqrt{(1 + 3)^{2} + (7 − 3)^{2}} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}.

Cum AB + BC = AC ⇒ punctele A, B, C sunt colineare si asa triunghi nu exista. Raspuns: nu exista triunghi cu asa coordonate.

8. 4^{1+x} − 4^{1−x} − 15 = 0 ⇔ 4 · 4^{x} − \frac{4}{4^{x}} − 15 = 0 ⇔ 4 · 4^{2x} − 15 · 4^{x} − 4 = 0 ⇔

⇔ [ \begin{matrix}4^{x} = 4; \\ 4^{x} = −\frac{1}{4}; \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = 1; \\ x ∈ ∅; \end{matrix} ⇔ x = 1.

Raspuns: x = 1.

9. ∫_{1}^{16} \frac{3}{\sqrt[4]{x}}dx = 3 ∫_{1}^{16}x^{− \frac{1}{4}} dx = 3\frac{x^{− \frac{1}{4} +1}}{−\frac{1}{4} + 1}|_{1}^{16} = 3\frac{x^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}} |_{1}^{16} = 4\sqrt[4]{x^{3}}|_{1}^{16} = 4(8 − 1) = 4 · 7 = 28;

2^{3 log_{8} 28} = 8^{log_{8} 28} = 28. Rezulta ca propozitia este adevarata.

10. f(2A) = (2A)^{2} − I_{2} = 4A^{2} − I_{2}.

Cum A^{2} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 + 1 & −1 − 1 \\ −1 − 1 & 1 + 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 & −2 \\ −2 & 2 \end{matrix} ) ,

4A^{2} = ( \begin{matrix}8 & −8 \\ −8 & 8 \end{matrix} ) ,

se obtine

f(2A) = ( \begin{matrix}8 & −8 \\ −8 & 8 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}7 & −8 \\ −8 & 7 \end{matrix} ) .

Raspuns: f(2A) = ( \begin{matrix}7 & −8 \\ −8 & 7 \end{matrix} ).

11. Cum |cos \frac{x}{2}| ≤ 1, rezulta |a^{2} − a − 1| ≤ 1, de unde

\{ \begin{matrix}a^{2} − a − 1 ≤ 1, \\ a^{2} − a − 1 ≥ −1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}a^{2} − a − 2 ≤ 0, \\ a^{2} − a ≥ 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}−1 ≤ a ≤ 2, \\ [ & \begin{matrix}a ≤ 0, \\ a ≥ 1, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ a ∈ [−1; 0] ∪ [1; 2].

Raspuns: a ∈ [−1; 0] ∪ [1; 2].

12. Determinam coordonatele punctului de intersectie M a graficului functiei f cu axa Oy: pentru x_{0} = 0 se obtine y_{0} = −2. Asadar, M(0; −2).

Ecuatia tangentei la graficul functiei f in punctul M este y − y_{0} = f′(x_{0})(x − x_{0}). Cum

f′(x) = (\frac{x − 2}{x^{2} + 1})′ = \frac{x^{2} + 1 − 2x(x − 2)}{(x^{2} + 1)^{2}}, rezulta f′(0) = 1 si se obtine ecuatia

y − (−2) = 1(x − 0) sau y = x − 2.

Raspuns: y = x − 2.

13. Determinam D(x):

D(x) = | \begin{matrix}1 & x & −1 \\ 2 & 1 & 2x \\ 3 & x & 4 \end{matrix} | = 4 + 6x^{2} − 2x + 3 − 2x^{2} − 8x = 4x^{2} − 10x + 7.

Rezolvam inecuatia, utilizand metoda intervalelor:

\frac{4x^{2} − 10x + 7}{x + 1} ≥ 1 ⇔ \frac{4x^{2} − 10x + 7 − x − 1}{x + 1} ≥ 0 ⇔ \frac{4x^{2} − 11x + 6}{x + 1} ≥ 0 ⇔

⇔ \frac{4(x − 2)(x − \frac{3}{4})}{x + 1} ≥ 0 ⇔ x ∈ (−1; \frac{3}{4}] ∪ [2; +∞).

Raspuns: x ∈ (−1; \frac{3}{4}] ∪ [2; +∞).

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14.

[figure: S; A; B; D; C; O; E]

Fie latura patratului din baza piramidei regulate a, SO = h – inaltimea piramidei, SE = b – apotema, SE⊥BC, OE = \frac{a}{2}, OE⊥BC si ∠SEO = 60^{o}. Din conditii

4 · \frac{ab}{2} = 48, de unde ab = 24.

In △SOE (dreptunghic in O) cateta OE este opusa unghiului de 30^{o} (∠OSE = 90^{o} − ∠SEO = 30^{o}), prin urmare, \frac{a}{2} = \frac{1}{2}b, de unde a = b, iar

h = OE · tg60^{o} = \frac{a}{2}\sqrt{3}.

Cum

\{ \begin{matrix}ab = 24, \\ a = b, \end{matrix} ⇒ a = b = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}, h = \frac{a}{2}\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{6}}{2}\sqrt{3} = 3\sqrt{2},

V_{SABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD} · SO = \frac{1}{3}a^{2} · h = \frac{1}{3} · 24 · 3\sqrt{2} = 24\sqrt{2} (un. vol.).

Raspuns: V = 24\sqrt{2} (un. vol.).