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Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Examenul de bacalaureat la matematica, 16 iunie 2003 Profilul umanist

Timp alocat: 180 minute.

1. Determinati semnul valorii expresiei numerice \sqrt[5]{3} − \sqrt[4]{2}.

2. Pentru ce valori reale ale lui a punctul M(a; 1) apartine elipsei de ecuatie \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1?

3. Folosind reprezentarea grafica a functiei f(x) in acelasi plan cartezian de coordonate, reprezentati graficul functiei |f(x)|.

[figure: y; x; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{.........................}; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; f(x); 0; 1; 1]

4. Explicati multimea [−\sqrt{3}; e) ⋂ ℤ.

5. Rezolvati sistemul de ecuatii \{ \begin{matrix}2x + y = 1 \\ 3^{x+y} = 9. \end{matrix}

6. Rombul ABCD are latura AB = 6 cm si m(∠ABC) = 120^{o}. Daca MA⊥(ABC) si MA = 3 cm, determinati distanta de la punctul M la dreapta BD.

7. Rezolvati sistemul de ecuatii matriciale \{ \begin{matrix}X + Y = ( \begin{matrix}4 & 5 \\ 5 & 4 \end{matrix} ) \\ X − Y = ( \begin{matrix}−3 & 0 \\ 0 & −3 \end{matrix} ) \end{matrix} .

8. Fie functia f : ℝ\\{−1\} ⟶ ℝ, f(x) = \frac{mx^{2} + (m − 1)x}{x + 1}. Determinati valorile parametrului real m, astfel incat functia f sa admita un extrem in punctul x = −2.

9. In triunghiul ABC, AB = 6 cm, BC = 7 cm, AC = 5 cm. Bisectoarea unghiului C intersecteaza latura AB in punctul D. Determinati aria triunghiului ADC.

10. Rezolvati ecuatia \frac{log_{3} x − 1}{log_{3} \frac{x}{3}} + 2 log_{3} \sqrt{x} + log_{3}^{2} x = 3.

Solutii

1. Cum \sqrt[5]{3} = \sqrt[20]{81}, \sqrt[4]{2} = \sqrt[20]{32} si cum \sqrt[20]{81} > \sqrt[20]{32}, rezulta \sqrt[5]{3} > \sqrt[4]{2} si \sqrt[5]{3}−\sqrt[4]{2} > 0. Raspuns: \sqrt[5]{3} − \sqrt[4]{2} > 0.

2. Punctul M(a; 1) apartine elipsei de ecuatie \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1, daca si numai daca coordonatele lui verifica ecuatia elipsei. Prin urmare,

\frac{a^{2}}{9} + \frac{1}{4} = 1, de unde a^{2} = \frac{27}{4} si a = ±\frac{3\sqrt{3}}{2}.

Raspuns: a ∈ \{±\frac{3\sqrt{3}}{2}\}.

3. Pentru a construi graficul functiei y = |f(x)|, este suficient ca toate portiunile graficului y = f(x), pentru care y ≥ 0 de lasat neschimbate, iar acele portiuni, pentru care y < 0 de reflectat simetric fata de axa OX.

[figure: y; x; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{.........................}; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; y = f(x); 0; 1; 1; y; x; . ^{..................................} ^{...............................} ^{............................} ^{.........................} ^{......................} ^{....................} ^{...................} ^{..................} ^{.................} ^{................}; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{.........................}; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; y = |f(x)|; 0; 1; 1]

4. Cum −\sqrt{3} < −1 si e < 3, rezulta [−\sqrt{3}, e) ⋂ ℤ = \{−1; 0; 1; 2\}. Raspuns: {−1; 0; 1; 2}.

5. \{ \begin{matrix}2x + y = 1, \\ 3^{x+y} = 9, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}2x + y = 1, \\ 3^{x+y} = 3^{2}, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}2x + y = 1, \\ x + y = 2, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x = −1, \\ y = 3. \end{matrix}

Raspuns: (−1; 3).

6.

[figure: A; M; O; B; C; D]

Fie O – punctul de intersectie al diagonalelor rombului. Cum MA⊥AO, AO⊥BD (diagonalele rombului sunt perpendiculare), rezulta, conform teoremei celor trei perpendiculare MO⊥BD si, prin urmare, distanta de la punctul M la dreapta BD este lungimea segmentului MO.

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Cum ∠BAD = 180^{o} − ∠ABC = 60^{o}, AB = AD = 6 cm, rezulta triunghiul ABD – echilateral si BD = 6 cm. Atunci BO = \frac{1}{2}BD, BO = 3 cm (inaltimea AO in △ABD este si mediana). Din △ABO – dreptunghic in O se determina conform teoremei Pitagora AO:

AO = \sqrt{AB^{2} − BO^{2}} = \sqrt{6^{2} − 3^{2}} = \sqrt{27},

iar din △MAO, dreptunghic in A, se determina conform teoremei Pitagora MO:

MO = \sqrt{MA^{2} + AO^{2}} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6(cm).

Raspuns: 6 cm.

7. \{ \begin{matrix}X + Y = ( \begin{matrix}4 & 5 \\ 5 & 4 \end{matrix} ) \\ X − Y = ( \begin{matrix}−3 & 0 \\ 0 & −3 \end{matrix} ) \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}2X = ( \begin{matrix}4 & 5 \\ 5 & 4 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}−3 & 0 \\ 0 & −3 \end{matrix} ) \\ 2Y = ( \begin{matrix}4 & 5 \\ 5 & 4 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}−3 & 0 \\ 0 & −3 \end{matrix} ) \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}2X = ( \begin{matrix}1 & 5 \\ 5 & 1 \end{matrix} ) \\ 2Y = ( \begin{matrix}7 & 5 \\ 5 & 7 \end{matrix} ) \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}X = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 5 \\ 5 & 1 \end{matrix} ) \\ Y = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}7 & 5 \\ 5 & 7 \end{matrix} ) \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}X = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ) \\ Y = ( \begin{matrix}\frac{7}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{7}{2} \end{matrix} ) \end{matrix}

Raspuns: \{ \begin{matrix}X = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ) , \\ Y = ( \begin{matrix}\frac{7}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{7}{2} \end{matrix} ) . \end{matrix}

8. Se determina derivata functiei f: f′(x) = (\frac{mx^{2} + (m − 1)x}{x + 1})′ =

= \frac{[2mx + (m − 1)](x + 1) − [mx^{2} + (m − 1)x] · 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{mx^{2} + 2mx + m − 1}{(x + 1)^{2}},

f′(−2) = \frac{4m − 4m + m − 1}{(−2 + 1)^{2}} = m − 1.

Conditia necesara ca x = −2 sa fie punct de extrem: f′(−2) = 0, de unde m = 1. Pentru m = 1, f′′(x) = \frac{2}{(x + 1)^{3}} , f′′(−2) = −2 < 0, adica x = −2 este punct de maxim.

Raspuns: x = −2 este punct de extrem al functiei f pentru m = 1. 9. Fie CE⊥AB, CE = h – inaltime in △ABC (si in acelasi timp, in △ACD).

S_{△ACD} = \frac{1}{2}AD · CE.

[figure: A; B; C; D; E; .^{...........}^{...........}^{..........}. . . . . . . . . . .; ^{.. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .}]

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Utilizand proprietatea bisectoarei \frac{AD}{AC} = \frac{DB}{BC}, determinam AD: AD = \frac{DB · AC}{BC}. Notam AD = x, atunci DB = 6 − x si se obtine ecuatia:

x = \frac{(6 − x) · 5}{7},

de unde x = \frac{5}{2}. Asadar, AD = \frac{5}{2} (cm).

Utilizand formula Heron, S = \sqrt{p(p − a)(p − b)(p − c)}, unde p – semiperimetru, a, b, c – laturile triunghiului, se determina aria △ABC:

S_{△ABC} = \sqrt{\frac{5 + 6 + 7}{2} · \frac{5 + 6 − 7}{2} · \frac{5 + 7 − 6}{2} · \frac{6 + 7 − 5}{2}} = \sqrt{9 · 2 · 3 · 4} = 6\sqrt{6} (cm^{2}).

Cum S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB · CE, rezulta CE = \frac{2S_{△ABC}}{AB} = \frac{2 · 6\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6} (cm).

Prin urmare, S_{△ADC} = \frac{1}{2}AD · CE = \frac{1}{2} · \frac{5}{2} · 2\sqrt{6} = \frac{5\sqrt{6}}{2} (cm^{2}).

Raspuns: S = \frac{5\sqrt{6}}{2} cm^{2}.

10. Domeniul valorilor admisibile (concis DVA) se determina din relatiile:

\{ \begin{matrix}x > 0, \\ \sqrt{x} > 0, \\ \frac{x}{3} > 0, \\ log_{3} \frac{x}{3} ≠ 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > 0, \\ \frac{x}{3} ≠ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > 0, \\ x ≠ 3, \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; 3) ∪ (3; +∞).

In DVA avem \frac{log_{3} x − 1}{log_{3} \frac{x}{3}} + 2 log_{3} \sqrt{x} + log_{3}^{2} x = 3 ⇔ \frac{log_{3} x − 1}{log_{3} x − 1} + 2 · \frac{1}{2} log_{3} x + log_{3}^{2} x = 3 ⇔

⇔ log_{3}^{2} x + log_{3} x − 2 = 0 ⇔ [ \begin{matrix}log_{3} x = −2, \\ log_{3} x = 1, \end{matrix}

de unde x = 3^{−2} ∈ DV A si x = 3^{1} ∉ DV A.

Raspuns: x = \frac{1}{9}.

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 3 puncte Nr. 2 — 4 puncte Nr. 3 — 2 puncte Nr. 4 — 2 puncte Nr. 5 — 4 puncte Nr. 6 — 5 puncte Nr. 7 — 4 puncte Nr. 8 — 5 puncte Nr. 9 — 5 puncte Nr. 10 — 6 puncte total: 40 puncte

Nota ”10” — 39-40 puncte ”9” — 36-38 puncte ”8” — 31-35 puncte ”7” — 24-30 puncte ”6” — 18-23 puncte ”5” — 13-17 puncte ”4” — 9-12 puncte ”3” — 5-8 puncte ”2” — 2-4 puncte ”1” — 0-1 punct