Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2002 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Ministerul Invatamantului al Republicii Moldova Examenul de bacalaureat la matematica, 2002 Profilul umanist

Timp alocat: 180 minute.

1. Calculati log_{3} 5 · log_{5} 4 − log_{3} 12.

2. Determinati coordonatele punctului simetric punctului A(−1, 2) in raport cu originea de coordonate.

3. Calculati lim_{x→∞} \frac{x^{2} − 4x + 5}{6 − 3x − 2x^{2}} .

4. Pentru ce valori ale lui n are sens expresia ”(5 − n)!” ?

5. Calculati valoarea expresiei 3^{2x} + 3^{−2x}, daca 3^{x} − 3^{−x} = 4.

6. Determinati numerele reale x si y astfel incat sa avem egalitatea da matrici

( \begin{matrix}x + 1 & x + y \\ 0 & x − 2y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 & −x − 1 \\ 0 & 9 − 2x \end{matrix} ) .

7. Se da triunghiul ABC dreptunghic in B. Din varful unghiului drept este dusa mediana BK. Aflati aria triunghiului BCK, daca AB = 4cm si m(∠A) = 30^{o}.

8. Determinati primitiva functiei f : ℝ ⟶ ℝ, f(x) = 4x^{3} + 2x − 3x^{2} − 1, a carei grafic trece prin punctul A(1, −1).

9. O piesa de fonta in forma trunchiului de con cu razele bazelor de 4cm si 22cm a fost topita si turnata intr-un cilindru echivalent de aceeasi inaltime. Determinati raza bazei cilindrului.

10. Rezolvati ecuatia log_{0,5}^{2}(4x) + log_{2} \frac{x^{2}}{8} = 8.

Solutii

1. Se utilizeaza proprietatile logaritmului si se obtine:

log_{3} 5 log_{5} 4 − log_{3} 12 = log_{3} 5 · \frac{log_{3} 4}{log_{3} 5} − log_{3}(3 · 4) = log_{3} 4 − (log_{3} 3 + log_{3} 4) = −1.

2. Fie punctul B, simetric punctului A(−1, 2) in raport cu originea de coordonate, are coordonatele (x_{0}, y_{0}). Atunci, cum O(0, 0) este mijlocul segmentului AB, se obtine

\{ \begin{matrix}\frac{x_{0} + (−1)}{2} = 0, \\ \frac{y_{0} + 2}{2} = 0, \end{matrix}

de unde x_{0} = 1; y_{0} = −2.

3. lim_{x→∞} \frac{x^{2} − 4x + 5}{6 − 3x − 2x^{2}} = lim_{x→∞} \frac{x^{2} (1 − \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}} )}{x^{2} (\frac{6}{x^{2}} − \frac{3}{x} − 2)} = lim_{x→∞} \frac{1 − \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{6}{x^{2}} − \frac{3}{x} − 2} =

= \frac{lim_{x→∞} 1 − 4 lim_{x→∞} \frac{1}{x} + 5 lim_{x→∞} \frac{1}{x^{2}}}{6 lim_{x→∞} \frac{1}{x^{2}} − 3 lim_{x→∞} \frac{1}{x} − lim_{x→∞} 2} = \frac{1 − 4 · 0 + 5 · 0}{6 · 0 − 3 · 0 − 2} = −\frac{1}{2}.

4. Expresia (5 − n)! are sens daca si numai daca 5 − n ∈ ℕ, adica \{ \begin{matrix}5 − n ≥ 0, \\ n ∈ ℤ, \end{matrix} de unde

n ≤ 5, n ∈ ℤ.

5. Cum 3^{x}−3^{−x} = 4, implica 3^{2x}−2·3^{x}·3^{−x}+3^{−2x} = 16, rezulta 3^{2x}+3^{−2x} = 16+2·3^{x+(−x)} sau 3^{2x} + 3^{−2x} = 16 + 2 · 3^{0} = 16 + 2 = 18.

Asadar, 3^{2x} + 3^{−2x} = 18.

6. Se tine seama de definitia egalitatii a doua matrici si se obtine sistemul:

\{ \begin{matrix}x + 1 = 2, \\ x + y = −x − 1, \\ 0 = 0, \\ x − 2y = 9 − 2x, \end{matrix} de unde \{ \begin{matrix}x = 1, \\ y = −3. \end{matrix}

7.

[figure: C; B; A; K]

Fie △ABC — dreptunghic in B, AK = KC, ∠BAC = 30^{o}, AB = 4cm. Atunci

BC = AB tg 30^{o}, BC = 4 · \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}. Se calculeaza aria △ABC:

S_{△ABC} = \frac{1}{2} · AB · BC = \frac{1}{2} · 4 · \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}.

Cum mediana BK imparte triunghiul ABC in doua triunghiuri de arie egala, rezulta

S_{△BKC} = \frac{1}{2}S_{△ABC} = \frac{1}{2} · \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}.

8. Fie F (x) o primitiva functiei f(x). Atunci

F (x) = ∫ f(x)dx = ∫ (4x^{3} + 2x − 3x^{2} − 1)dx = x^{4} + x^{2} − x^{3} − x + C.

Cum F (1) = −1, rezulta 1 + 1 − 1 − 1 + C = −1 sau C = −1. Prin urmare, F (x) = x^{4} + x^{2} − x^{3} − x − 1.

9. Se afla volumul trunchiului de con

V_{1} = \frac{π}{3} (4^{2} + 22^{2} + 4 · 22) · h = \frac{πh}{3} · 588 = 196πh,

unde h — inaltimea conului.

Volumul cilindrului de aceeasi inaltime si raza R:

V_{2} = πR^{2}h.

Cum V_{1} = V_{2}, rezulta 196πh = πR^{2}h, de unde R^{2} = 196 si R = 14(cm).

10. DVA: x > 0. Se utilizeaza proprietatile functiei logaritmice si se obtine

log_{0,5}^{2}(4x) + log_{2} \frac{x^{2}}{8} = 8 ⇔ [log_{0,5}(4x)]^{2} + log_{2} x^{2} − log_{2} 8 = 8 ⇔

⇔ [− log_{2}(4x)]^{2} + 2 log_{2} x − 3 − 8 = 0 ⇔ (log_{2} 4 + log_{2} x)^{2} + 2 log_{2} x − 11 = 0 ⇔

⇔ 4+4 log_{2} x+log_{2}^{2} x+2 log_{2} x−11 = 0 ⇔ log_{2}^{2} x+6 log_{2} x−7 = 0 ⇔ [ \begin{matrix}log_{2} x = −7, \\ log_{2} x = 1, \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x = 2^{−7}, \\ x = 1. \end{matrix}

Ambele solutii verifica DVA.

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 4 puncte Nr. 2 — 2 puncte Nr. 3 — 3 puncte Nr. 4 — 4 puncte Nr. 5 — 4 puncte Nr. 6 — 5 puncte Nr. 7 — 5 puncte Nr. 8 — 5 puncte Nr. 9 — 6 puncte Nr. 10 — 8 puncte total: 46 puncte

Nota ”10” — 45-46 puncte ”9” — 41-44 puncte ”8” — 34-40 puncte ”7” — 27-33 puncte ”6” — 21-26 puncte ”5” — 15-20 puncte ”4” — 10-14 puncte ”3” — 6-9 puncte ”2” — 2-5 puncte ”1” — 1 punct