Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, 2000 Profilurile: filologie, istorie, limbi straine, arte

Timp alocat: 180 minute.

1. Calculati valoarea expresiei numerice:

4^{2,5} − (\frac{1}{9})^{−1,5} + (\frac{5}{4})^{3,5} · (0, 8)^{3,5}.

(7 puncte)

2. Determinati domeniul de valori ale functiei f(x) = −x^{2} + 5x − 3. (7 puncte)

3. Determinati o ecuatie de gradul al doilea cu coeficienti reali, daca se stie ca una din radacini este 1 + i. (7 puncte)

4. In triunghiul ABC, punctul M ∈ (BD), (BD) este mediana. Aratati ca aria triunghiului ABM este egala cu aria triunghiului CMD. (10 puncte)

5. Rezolvati sistemul de ecuatii:

\{ \begin{matrix}4x + y + z = 1, \\ x + 4y + z = 2, \\ x + y + 4z = 3. \end{matrix}

(12 puncte)

6. Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei f : R\\{1\} ⟶ R, f(x) = \frac{3x^{2} + 2}{x − 1} in punctul

de intersectie a graficului cu axa ordonatelor. (13 puncte)

7. Rezolvati inecuatia (0, 4)^{1−x} ≥ (2, 5)^{\frac{2}{x}}. (14 puncte)

8. Din mijlocul inaltimii unei piramide patrulatere regulate este coborata o perpendiculara, egala cu a, pe muchia laterala a piramidei. Aflati volumul piramidei, daca se stie ca unghiul format de perpendiculara si inaltimea piramidei este α. (15 puncte)

9. Pentru ce valori reale ale lui a, ecuatia \frac{a(x + 2) + 1}{x − 3} = 5 are radacina mai mare ca 2.

(15 puncte)

Solutii

1. Se utilizeaza proprietatile functiei exponentiale si se obtine

\begin{matrix}4^{2,5} − (\frac{1}{9})^{−1,5} + (\frac{5}{4})^{3,5} · (0, 8)^{3,5} = (2^{2})^{2,5} − (3^{−2})^{−1,5} + (\frac{5}{4})^{3,5} · (\frac{4}{5})^{3,5} = \\ = 2^{5} − 3^{3} + (\frac{5}{4} · \frac{4}{5})^{3,5} = 32 − 27 + 1 = 6. \end{matrix}

2. Se separa un patrat perfect

\begin{matrix}−x^{2} + 5x − 3 = −(x^{2} − 5x) − 3 = − (x^{2} − 2 · \frac{5}{2}x + \frac{25}{4} − \frac{25}{4}) − 3 = \\ = − (x − \frac{5}{2})^{2} + \frac{25}{4} − 3 = \frac{13}{4} − (x − \frac{5}{2})^{2} . \end{matrix}

Cum (x − \frac{5}{2})^{2} ≥ 0, domeniul de valori al functiei date este (−∞, \frac{13}{4}].

Nota: Domeniul de valori a unei functii generate de un trinom patrat poate fi determinat stabilind valoarea functiei in varful parabolei respective, si tinand seama de semnul coeficientului superior.

3. Cum numarul complex z = 1 + i este radacina a ecuatiei

x^{2} + px + q = 0,  {p, q} ⊂ R  (1)

conjugatul lui, z = 1 − i la fel este radacina a ecuatiei (1). Utilizand teorema lui Viette se obtine

\begin{matrix}−p = (1 + i) + 1 − i = 2, \\ q = (1 + i)(1 − i) = 2, \end{matrix}

si ecuatia devine x^{2} − 2x + 2 = 0.

4.

[figure: A; K; N; D; C; B; M]

Fie BK − inaltimea in △ABC, BK ⊥ AC. Atunci (AD = DC)

S_{△ABD} = S_{△BDC} = \frac{1}{2}AD · BK  (2)

Similar,

S_{△AMD} = S_{△CMD} = \frac{1}{2}AD · MN  (3)

(MN − inaltimea in △AMC, MN ⊥ AC).

Cum

\begin{matrix}S_{△ABM} = S_{△ABD} − S_{△AMD}, \\ S_{△BMC} = S_{△BDC} − S_{△MDC}, \end{matrix}

tinand seama de relatiile (2), (3) se obtine S_{△ABM} = S_{△CMB}.

5. Se utilizeaza regula Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare.

Δ = | \begin{matrix}4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix} | = 54 ≠ 0,

prin urmare, sistemul are solutie unica.

Δ_{x} = | \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \end{matrix} | = 0,

Δ_{y} = | \begin{matrix}4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix} | = 18,

Δ_{z} = | \begin{matrix}4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix} | = 36.

Conform regulei Cramer,

x = \frac{Δ_{x}}{Δ} = 0,  y = \frac{Δ_{y}}{Δ} = \frac{1}{3},  z = \frac{Δ_{z}}{Δ} = \frac{2}{3}.

Nota. Sistemul poate fi rezolvat si prin metoda Gauss.

6. Se determina punctul de intersectie a graficului functiei cu axa ordonatelor:

f(0) = \frac{2}{−1} = −2.

Ecuatia tangentei la graficul functiei f(x) in punctul x_{0} se determina prin formula

y = f(x_{0}) + f′(x_{0})(x − x_{0}).  (4)

Cum

\begin{matrix}f(−2) = \frac{3 · (−2)^{2} + 2}{−2 − 1} = −\frac{14}{3}, \\ f′(x) = \frac{6x(x − 1) − (3x^{2} + 2)}{(x − 1)^{2}} = \frac{3x^{2} − 6x − 2}{(x − 1)^{2}}, f′(−2) = \frac{22}{9}, \end{matrix}

rezulta

y = −\frac{14}{3} + \frac{22}{9}(x + 2) = \frac{22}{9}x + \frac{2}{9}.

7. (0, 4)^{1−x} ≥ (2, 5)^{\frac{2}{x}} ⇔ (\frac{2}{5})^{1−x} ≥ (\frac{5}{2})^{\frac{2}{x}} ⇔ (\frac{5}{2})^{x−1} ≥ (\frac{5}{2})^{\frac{2}{x}} ⇔ x − 1 ≥ \frac{2}{x} ⇔

⇔ \frac{x^{2} − x − 2}{x} ≥ 0 ⇔ \frac{(x + 1)(x − 2)}{x} ≥ 0, de unde, utilizand metoda intervalelor, se obtine

x ∈ [−1, 0) ∪ [2, +∞).

8. Fie SABCD − piramida patrulatera regulata (ABCD − patrat), h = SO − inaltimea piramidei, piciorul careia se afla in punctul O − centul patratului ABCD. SK = KO si KN ⊥ SB, ^{}S̸KN = α, KN = a.

[figure: A; B; C; D; O; K; N; α; a; S]

Din triunghiul dreptunghic SKN se obtine \frac{h}{2} = SK = \frac{KN}{cos α} = \frac{a}{cos α}, de unde h = \frac{2a}{cos α}. Din tringhiul dreptunghic SOB (^{}O̸SB = 90^{∘} − α) se obtine

OB = SO tg(90^{∘} − α) = h ctg α = \frac{2a}{cos α} · \frac{cos α}{sin α} = \frac{2a}{sin α}.

Cum S_{△AOB} = \frac{1}{2}OB^{2} si aria bazei piramidei S = 4S_{△AOB} se obtine S = 2OB^{2} = \frac{8a^{2}}{sin α} si

V = \frac{1}{3}S · h = \frac{1}{3} \frac{8a^{2}}{sin^{2} α} · \frac{2a}{cos α} = \frac{16a^{3}}{3 sin^{2} α cos α}(un.cub.)

9. Domeniul valorilor admisibile ale ecuatiei (DVA) este multimea R \ {3}. In DVA ecuatia este echivalenta cu ecuatia

ax + 2a + 1 = 5x − 15

sau

(a − 5)x = −2a − 16.

Daca a = 5, ecuatia devine 0 · x = −26 si, prin urmare, nu are solutii, iar daca a ∈ R \ {5}, se obtine

x = −\frac{2a + 16}{a − 5}.

Se tine seama de DVA

−\frac{2a + 16}{a − 5} ≠ 3,

de unde −2a − 16 ≠ 3a − 15 si a ≠ −\frac{1}{5}.

Pentru a ∈ R \ \{−\frac{1}{5}; 5\} se rezolva inecuatia

−\frac{2a + 16}{a − 5} > 2.

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 5

Se utilizeaza metoda intervalelor

2 + \frac{2a + 16}{a − 5} < 0 ⇔ \frac{4a + 6}{a − 5} < 0 ⇔ a ∈ (−\frac{3}{2}; 5) .

Se tine seama ca a ≠ −\frac{1}{5} si se obtine raspunsul

a ∈ (−\frac{3}{2}; −\frac{1}{5}) ∪ (−\frac{1}{5}; 5) .