Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalureat la matematica, 10 iunie 1999 Profilul real

1. Sa se calculeze

lim_{x→3} (\frac{1}{x − 3} − \frac{27}{x^{3} − 27}) .

(3 puncte)

Solutie. Nedeterminare de tipul ∞ − ∞. Se aduce la numitor comun si se obtine

lim_{x→3} (\frac{1}{x − 3} − \frac{27}{x^{3} − 27}) = lim_{x→3} \frac{x^{2} + 3x + 9 − 27}{x^{3} − 27} = lim_{x→3} \frac{x^{2} + 3x − 18}{(x − 3)(x^{2} + 33x + 9)} =

= lim_{x→3} \frac{(x − 3)(x + 6)}{(x − 3)(x^{2} + 3x + 9)} = lim_{x→3} \frac{x + 6}{x^{2} + 3x + 9} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}.

2. Dati exemplu de o functie definita si continue pe un interval deschis (a, b) dar care nu este marginita pe acest interval. (3 puncte)

Solutie.

f : (a, b) ⟶ R f(x) = \frac{1}{x − a}.

In adevar,

f ∈ C((a, b)) si lim_{x→a+0} f(x) = +∞.

3. Fie z = 1 + i. Sa se determine numerele reale a, b ∈ R, daca se stie ca z^{3} = az + b. (4 puncte)

Solutie. Se utilizeaza definitia egalitatii a doua numere complexe si se obtine:

(1 + i)^{3} = az + b ⇔ 1 + 3i + 3i^{2} + i^{3} = a(1 + i) + b ⇔ 1 + 3i − 3 − i = a + b + ai ⇔

⇔ −2 − 2i = (a + b) + ai ⇔ \{ \begin{matrix}a + b = −2, \\ a = 2, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}a = 2, \\ b = −4. \end{matrix}

4. Calculati integrala

I = ∫_{−1}^{1} |2^{x} − 2^{−x}|dx.

(5 puncte).

Solutie. Se tine seama ca integrantul reprezinta o functie para, deci ∫_{−a}^{a} f(x)dx = 2 ∫_{0}^{a} f(x)dx

si cum pentru x ∈ [0; 1] avem 2^{x} − 2^{−x} ≥ 0 se obtine:

∫_{−1}^{1} |2^{x} − 2^{−x}|dx = 2 ∫_{0}^{1}(2^{x} − 2^{−x})dx = 2 [\frac{2^{x}}{ln 2} + \frac{2^{−x}}{ln 2}] |_{0}^{1} = \frac{1}{ln 2}.

5. Rezolvati ecuatia

3 + 4| cos x| = b cos 2x,

daca una din radacinile ei este \frac{2π}{3} . (6 puncte)

Solutie. Cum x = \frac{2π}{3} verifica ecuatia, rezulta

3 + 4| cos \frac{2π}{3} | = b cos \frac{2π}{3} sau 3 + 4 · \frac{1}{2} = b (−\frac{1}{2}) ,

de unde b = −10. Inlocuind valoarea lui b in ecuatia initiala se obtine

3 + 4| cos x| = −10 cos 2x ⇔ 10(2 cos^{2} x − 1) + 4| cos x| + 3 = 0.

Se efectueaza substitutia t = | cos x|, atunci cos^{2} x = t^{2} si se obtine ecuatia patrata

20t^{2} + 4t − 7 = 0

cu solutiile t_{1} = \frac{1}{2}, t_{2} = \frac{−7}{10}. Cum t ∈ [0; 1], ramane t = \frac{1}{2}. Astfel

| cos x| = \frac{1}{2} ⇔ cos x = ±\frac{1}{2} ⇔ [ \begin{matrix}x = ±\frac{π}{3} + 2πn, \\ x = ±\frac{2π}{3} + 2πk, \end{matrix} n, k ∈ Z.

6. Inaltimea unui con circular drept este egala cu 6cm, iar generatoarea conului formeaza cu planul bazei un unghi de 60^{∘}. In con este asezata o piramida baza careia este un triunghi dreptunghic isoscel inscris in baza conului, iar varful piramidei este mijlocul unei generatoare a conului. Aflati volumul piramidei. (5 puncte)

[figure: A; B; E; O; H; D; C]

Solutie. Se considera triunghiul dreptunghic △COB (CO ⊥ OB). Cum ^{}C̸BO = 60^{∘} (din enunt), si utilizand relatiile metrice in triunghi se obtine: OB = CO · ctg(^{}C̸BO) = 6 ctg 60^{∘} = = 2\sqrt{3}(cm). Astfel ipotenuza triunghiului dreptunghic AEB, AB fiind si diametrul cercului de raza OB, este egala AB = 2OB = 4\sqrt{3}(cm), iar aria △AEB (aria bazei piramidei)

S_{△AEB} = \frac{1}{2}AB · EO = \frac{1}{2}4\sqrt{3} · 2\sqrt{3} = 12(cm^{2}).

Inaltimea piramidei DH este linia mijlocie in △AOC, deci este egala cu o doime din OC,

DH = \frac{1}{2}OC = 3. Astfel,

V = \frac{1}{3}S_{△AEB} · DH = \frac{1}{3} · 12 · 3 = 12(cm^{3}).

7. Dreapta x + y − 4 = 0 este tangenta la elipsa

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,

unde b ∈ (0, 3). Sa se determine valoarea parametrului real b si coordonatele punctului de tangenta. (6 puncte)

Solutie. Ecuatia tangentei la elipsa \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 in punctul (x_{0}, y_{0}) este

\frac{x_{0}x}{a^{2}} + \frac{y_{0}y}{b^{2}} = 1,

sau, in cazul dat,

\frac{x_{0}x}{9} + \frac{y_{0}y}{b^{2}} = 1,

de unde

y = −\frac{x_{0}b^{2}}{9y_{0}} x + \frac{b^{2}}{y_{0}} .

Din enunt (y = −x + 4) rezulta:

\{ \begin{matrix}−\frac{x_{0}}{9} · \frac{b^{2}}{y_{0}} = −1, \\ \frac{b^{2}}{y_{0}} = 4, \end{matrix}

de unde se obtine x_{0} = \frac{9}{4}. Cum y_{0} = 4−x_{0} ⇒ y_{0} = \frac{7}{4}, si utilizand ecuatia elipsei se determina b:

\frac{(\frac{9}{4})2}{9} + \frac{(\frac{7}{4})2}{b^{2}} = 1 ⇒ \frac{9}{16} + \frac{49}{16b^{2}} = 1,

de unde 9b^{2} + 49 = 16b^{2} sau b^{2} = 7, b = ±\sqrt{7} si cum b ∈ (0, 3), ramane

b = \sqrt{7}.

Asadar b = \sqrt{7}, si punctul de tangenta M (\frac{9}{4}, \frac{7}{4}).

8. Sa se determine termenul care il contine pe b^{2} din dezvoltarea binomului (\sqrt{a} + ^{3} \sqrt{b})^{n}, stiind ca n este cel mai mare numar natural ce verifica inegalitatea

log_{\frac{1}{3}} n + log_{\frac{n}{3}} n > 0.

(7 puncte)

Solutie. Scriem inecuatia in n sub forma

− log_{3} n + \frac{log_{3} n}{log_{3} n − 1} > 0.

Notam log_{3}n = t si obtinem

\frac{t(2 − t)}{t − 1} > 0.

Tinand seama ca t > 0 din ultima inecuatie avem

1 < log_{3} x < 2 ⇔ 3 < n < 9.

Cum n ∈ N si cel mai mare din intervalul (3;9), rezulta n = 8. Conform formulei lui Newton (binomiale)

T_{k+1} = C_{8}^{k}a^{\frac{8−k}{2}} b^{\frac{k}{3}} ,

de unde \frac{k}{3} = 2 sau k = 6. Asadar T_{7} = C_{8}^{6}ab^{2} = 28ab^{2}.

9. Se considera functia

f : D ⟶ R, D ⊂ R

astfel incat

f(x) = \frac{ax}{x^{2} + 3x + b^{2}} .

Sa se determine a, b astfel incat valorile in punctele de extrem sunt egale cu −1 si −2. (8 puncte)

Solutie. Se determina punctele critice:

f′(x) = a\frac{(x^{2} + 3x + b^{2}) − x(2x + 3)}{(x^{2} + 3x + b^{2})^{2}} = a\frac{b^{2} − x^{2}}{(x^{2} + 3x + b^{2})^{2}} .

Asadar f′(x) = 0 ⇔ b^{2} − x^{2} = 0 ⇔ x = ±b.

Se observa ca a ≠ 0, b ≠ 0 (astfel se incalca conditiile problemei) si in vecinatatile punctelor x = ±b derivata isi schimba semnul, prin urmare x = −b si x = b sunt punctele de extrem.

Se obtine urmatoarea totalitate de sisteme:

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}f(b) = −1, \\ f(−b) = −2, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}f(b) = −2, \\ f(−b) = −1, \end{matrix} \end{matrix} sau [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}\frac{a}{2b + 3} = −1, \\ \frac{−a}{b2 − 3} = −2, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}\frac{a}{2b + 3} = −2, \\ \frac{−a}{2b − 3} = −1. \end{matrix} \end{matrix}

Din primul sistem se obtine a = −4, b = \frac{1}{2}, iar din al doilea a = −4, b = −\frac{1}{2}, in ambele cazuri functia f fiind

f(x) = \frac{−4x}{x^{2} + 3x + \frac{1}{4}} .

10. Fie △ABC truinghi dreptunghic cu ^{}C̸ = 90^{∘}. Mediana CP este perpendiculara pe mediana BQ si latura BC este a. Calculati lungimea medianei BQ. (8 puncte)

[figure: B; P; A; M; Q; C]

Solutie. Fie ^{}C̸BA = α. Atunci ^{}B̸AC = 90^{∘} − α. Cum CP = \frac{1}{2}AB = BP = P A, rezulta B̸CP = α si ^{}A̸CP = 90^{∘} − α. Din triunghiul dreptunghic CMQ se obtine ^{}C̸QB = α. Asadar △CBQ ∼ △ABC de unde

\frac{BQ}{AB} = \frac{BC}{AC} = \frac{CQ}{BC}.

Cum CQ = \frac{1}{2}AC (BQ-mediana) rezulta

\frac{a}{AC} = \frac{\frac{1}{2}AC}{a} ,

de unde AC = a\sqrt{2}. Utilizand teorema lui Pitagora se obtine AB^{2} = a^{2} + 2a^{2} sau AB = a\sqrt{3}. Asadar

\frac{BQ}{a\sqrt{3}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} ⇒ BQ = a\sqrt{\frac{3}{2}}.