Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2010 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare

Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 2010 Profilul real

Timp alocat: 180 minute.

In itemii 1-4 completati spatiile rezervate, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata.

10^{2−lg 4} = .

2. In desenul alaturat este reprezentat graficul functiei derivabile f : ℝ → ℝ. Scrieti in fiecare dintre casete cate unul dintre semnele ”>”, ”<” sau ”=”, astfel incat propozitiile sa fie adevarate.

f′(−1) 0,
f′(1) 0,
f′(2) 0.

[figure: x; y; −1; 0; 1; 2; 1; 2; . ^{..................................................} ^{..............................................} ^{...........................................} ^{.......................................} ^{....................................} ^{.................................} ^{.............................} ^{..........................} ^{......................} ^{...................} ^{...............} ^{.............}; .^{.......}. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; ^{.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . . .}; . ^{.......} ^{........} ^{...........} ^{..............} ^{................} ^{...................}; .^{..................}^{..............}^{...........}^{.........}^{........}. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .⋮.}]

3. Incercuiti DA, daca rezultatul obtinut este corect si NU, daca rezultatul obtinut este incorect. Un elev a utilizat teorema sinusurilor in triunghiul ABC cu laturile AB = 3 cm si AC = 5 cm

si a obtinut \frac{sin(∠ABC)}{sin(∠ACB)} = \frac{3}{5}.

DA  NU

[figure: A; C; B; 3; 5]

4. In tabel sunt prezentate datele privind numarul de apartamente intr-o casa recent construita in dependenta de numarul de odai in apartamente:

Nr. de odai in apartament x_{i} 1 2 3 4 5 6
Nr. de apartamente in casa n_{i} 15 32 28 24 6 3

Aflati moda M_{o} si mediana M_{e} ale acestei serii statistice.

M_{o} = ; M_{e} = .

5. Scrieti numarul z = (1 − i)^{2} + 4i in forma trigonometrica.

1) (1 − i)^{2} + 4i =

2) r = |z| =

3) φ = argz =

4) z = r(cos φ + i sin φ) =

6. Fanul a fost depozitat intr-un stog de forma reprezentata in desen (figura este compusa din doua prisme drepte). Utilizand datele din desen, calculati masa fanului din stog, daca masa 1 m^{3} de fan este egala cu 85 kg.

[figure: 20; 6; 3; 2]

7. Rezolvati in ℝ inecuatia \frac{log_{\frac{1}{2}} x^{2} + 2}{\sqrt{2x + 1}} ≥ 0.

8. Incercuiti litera A, daca propozitia este adevarata sau litera F, daca propozitia este falsa. Argumentati raspunsul.

∫_{0}^{\frac{1}{2} ln 3}\frac{e^{x}}{e^{2x} + 1}dx > \frac{1}{4}  A  F

9. Punctele A(1; 3) si B(−3; 1) apartin unui cerc. Calculati raza cercului daca se stie ca centrul acestuia apartine dreptei l : 4x + y − 8 = 0.

10. Scrieti in caseta numarul, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata. ”Dezvoltarea binomului (\sqrt[4]{2} + \sqrt[7]{7})^{15} admite termeni rationali”. Argumentati raspunsul.

11. Determinati punctele critice ale functiei

f : (−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2} ) → ℝ, f(x) = 2 sin 2x − 2\sqrt{3} cos 2x + 7.

12. Determinati valorile reale ale parametrului m, pentru care polinomul P (X) = mX^{3} − (m + 1)X^{2} − (m + 1)X + m admite trei radacini reale simple.

Solutii

1. 10^{2−lg 4} = \frac{10^{2}}{10^{lg 4}} = \frac{100}{4} = 25.

Raspuns: 25.

2. f′(−1) < 0 (in vecinatatea punctului x = −1 functia f este strict descrescatoare), f′(1) = 0 (in punctul x = 1 functia f poseda un maxim local), f′(2) > 0 (in vecinatatea punctului x = 2 functia f este strict crescatoare).

3. Cum, conform teoremei sinusurilor

\frac{AC}{sin(∠ABC)} = \frac{AB}{sin(∠ACB)} ⇒ \frac{5}{sin(∠ABC)} = \frac{3}{sin(∠ACB)} ⇒ \frac{sin(∠ABC)}{sin(∠ACB)} = \frac{5}{3},

elevul a obtinut un rezultat incorect.

Raspuns: NU.

4. M_{o} = 2; M_{e} = 3.

5. 1) (1 − i)^{2} + 4i = 1 − 2i + i^{2} + 4i = 1 − 2i − 1 + 4i = 2i.

2) r = |z| = \sqrt{0^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4} = 2.

3) φ = argz = \frac{π}{2} .

4) z = r(cos φ + i sin φ) = 2 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2} ).

6. Calculam volumul paralelipipedului dreptunghic de dimensiunile 6 × 3 × 20:

V_{1} = 6 · 3 · 20 = 360 (m^{3}).

Calculam volumul prismei triunghiulare drepte:

V_{2} = A_{b} · h = \frac{1}{2} · 6 · 2 · 20 = 120 (m^{3}).

Calculam volumul stogului:

V = V_{1} + V 2 = 360 + 120 = 480 (m^{3}).

Calculam masa fanului:

m = 85 · 480 = 40800 (kg).

Raspuns: 40800 kg.

7. \frac{log_{\frac{1}{2}} x^{2} + 2}{\sqrt{2x + 1}} ≥ 0 ⇔ \{ \begin{matrix}log_{\frac{1}{2}} x^{2} + 2 ≥ 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}2 log_{\frac{1}{2}} |x| ≥ −2 \\ x > −\frac{1}{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}log_{\frac{1}{2}} |x| ≥ −1 \\ x > −\frac{1}{2} \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}log_{\frac{1}{2}} |x| ≥ log_{\frac{1}{2}} 2 \\ x > −\frac{1}{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}|x| ≤ 2 \\ |x| > 0 \\ x > −\frac{1}{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}−2 ≤ x ≤ 2 \\ x ≠ 0 \\ x > −\frac{1}{2} \end{matrix} ⇔ x ∈ (−\frac{1}{2}; 0) ∪ (0; 2].

Raspuns: S = (−\frac{1}{2}; 0) ∪ (0; 2].

8. ∫_{0}^{\frac{1}{2} ln 3}\frac{e^{x}}{e^{2x} + 1}dx > \frac{1}{4} ⇔  ∫_{0}^{\frac{1}{2} ln 3}\frac{d(e^{x})}{e^{2x} + 1} > \frac{1}{4} ⇔ arctge^{x}|_{0}^{\frac{1}{2} ln 3} > \frac{1}{4} ⇔

⇔ arctg\sqrt{3} − arctg0 > \frac{1}{4} ⇔ \frac{π}{3} > \frac{1}{4} ⇔ π > \frac{3}{4} – inegalitate justa.

Raspuns: A.

9. Fie ecuatia cercului C(a, b):

(x − a)^{2} + (y − b)^{2} = R^{2},

unde (a, b) – centrul cercului, R – raza lui.

Din enunt rezulta sistemul:

\{ \begin{matrix}(1 − a)^{2} + (3 − b)^{2} = R^{2} (A ∈ C(a, b)), \\ (−3 − a)^{2} + (1 − b)^{2} = R^{2} (B ∈ C(a, b)), \\ 4a + b − 8 = 0 ((a, b) ∈ l). \end{matrix}

Rezolvand sistemul se obtine:

\{ \begin{matrix}1 − 2a + a^{2} + 9 − 6b + b^{2} = R^{2} \\ 9 + 6a + a^{2} + 1 − 2b + b^{2} = R^{2} \\ 4a + b = 8 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}−8a − 4b = 0 \\ (3 + a)^{2} + (1 − b)^{2} = R^{2} \\ 4a + b = 8 \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}−8a − 4b = 0 \\ 8a + 2b = 16 \\ (3 + a)^{2} + (1 − b)^{2} = R^{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}a = 4 \\ b = −8 \\ 7^{2} + 9^{2} = R^{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}a = 4 \\ b = −8 \\ R^{2} = 130 \end{matrix} , de unde R = \sqrt{130}.

Raspuns: \sqrt{130}.

10. Avem T_{k+1} = C_{n}^{k}a^{n−k}b^{k} sau T_{k+1} = C_{15}^{k}2^{\frac{1}{4} (15−k)}7^{\frac{1}{7} k}. Pentru ca T_{k+1} ∈ ℚ este necesar si suficient ca

\{ \begin{matrix}0 ≤ k ≤ 15, \\ \frac{15 − k}{4} ⋮ 4, \\ k ⋮ 7, \\ k ∈ ℕ. \end{matrix}

Rezolvam sistemul:

\{ \begin{matrix}0 ≤ k ≤ 15 \\ k ∈ \{3; 7; 11; 15\} \\ k ∈ \{0; 7; 14\} \\ k ∈ ℕ \end{matrix} ⇔ k = 7.

Asadar, dezvoltarea binomului contine un singur termen rational.

Raspuns: 1.

11. Calculam derivata functiei:

f′(x) = 2 cos 2x · (2x)′ − 2\sqrt{3}(− sin 2x) · (2x)′ + 0 = 4 cos 2x + 4\sqrt{3} sin 2x.

Aflam punctele critice, rezolvand ecuatia f′(x) = 0 ⇒ 4 cos 2x + 4\sqrt{3} sin 2x = 0 ⇔

⇔ \sqrt{3} sin 2x + cos 2x = 0 (ecuatie omogena de gradul I) ⇔ \sqrt{3}tg2x + 1 = 0 ⇔ tg2x = −\frac{1}{\sqrt{3}} ⇔

⇔ 2x = arctg (−\frac{1}{\sqrt{3}}) + πn, n ∈ ℤ ⇔ 2x = −\frac{π}{6} + πn, n ∈ ℤ ⇔ x = −\frac{π}{12} + \frac{πn}{2}, n ∈ ℤ.

Cum x ∈ (−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2} ) avem:

−\frac{π}{2} ≤ −\frac{π}{12} + \frac{πn}{2} ≤ \frac{π}{2} , n ∈ ℤ,

−\frac{1}{2} ≤ −\frac{1}{12} + \frac{n}{2} ≤ \frac{1}{2}, n ∈ ℤ,

−\frac{15}{12} ≤ \frac{n}{2} ≤ \frac{7}{12}, n ∈ ℤ,

de unde n_{1} = 0 si n_{2} = 1. Asadar, avem 2 puncte critice: x_{1} = −\frac{π}{12}; x_{2} = \frac{5π}{12} .

Raspuns: x_{1} = −\frac{π}{12}; x_{2} = \frac{5π}{12} .

12. Daca m = 0, gradP = 2 si polinomul nu poate avea trei radacini.

Fie m ≠ 0. mX^{3} − (m + 1)X^{2} − (m + 1)X + m = m(X^{3} + 1) − (m + 1)(X^{2} + X) = = m(X + 1)(X^{2} − X + 1) − (m + 1)X(X + 1) = (X + 1)[mX^{2} − mX + m − mX − X] = = (X + 1)[mX^{2} − X(2m + 1) + m]. Asadar,

P (X) = 0 ⇔ (X + 1) [mX^{2} − X(2m + 1) + m] = 0.

Avem x_{1} = −1.

Verificam daca x = −1 este radacina a polinomului Q(x) = mx^{2} − (2m + 1)x + m:

Q(−1) = m(−1)^{2} − (2m + 1)(−1) + m = m + (2m + 1) + m = 4m + 1,

Q(−1) = 0 ⇒ 4m + 1 = 0 ⇔ m = −\frac{1}{4}.

Asadar, m = −\frac{1}{4} nu verifica conditiilor problemei.

Alte 2 radacini reale, distincte, simple se obtin daca

Δ = (2m + 1)^{2} − 4m^{2} > 0

sau

(2m + 1 − 2m)(2m + 1 + 2m) > 0 ⇔ 4m + 1 > 0 ⇔ m > −\frac{1}{4}.

Asadar, daca m ∈ (−\frac{1}{4}; 0) ∪ (0; +∞) polinomul P (X) admite trei radacini reale simple.

Raspuns: m ∈ (−\frac{1}{4}; 0) ∪ (0; +∞).

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 2 puncte Nr. 2 — 3 puncte Nr. 3 — 2 puncte Nr. 4 — 4 puncte Nr. 5 — 4 puncte Nr. 6 — 5 puncte Nr. 7 — 7 puncte Nr. 8 — 6 puncte Nr. 9 — 8 puncte Nr. 10 — 8 puncte Nr. 11 — 7 puncte Nr. 12 — 7 puncte total: 63 puncte