Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 12 iunie 2009 Profilul real

Timp alocat: 180 minute.

In itemii 1-3 completati casetele astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

1. Valoarea expresiei arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + arccos (−\frac{\sqrt{2}}{2}) este egala cu .

2. Pe desen sunt reprezentate graficele functiilor f : ℝ → ℝ, f(x) = (\frac{1}{2})^{x} si

g : ℝ^{∗} → ℝ, g(x) = −\frac{2}{x}. Scrieti in caseta toate valorile lui x pentru care f(x) ≥ g(x).

x ∈

[figure: x; y; −5; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; .^{.....................................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; ^{.. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; ^{.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; G_{g}; G_{f}; . ^{..............................................} ^{...........................................} ^{........................................} ^{.....................................} ^{..................................} ^{................................} ^{.............................} ^{..........................} ^{.......................} ^{....................} ^{.................} ^{..............}; . ^{............................} ^{........................} ^{.......................} ^{......................} ^{.....................} ^{....................}; . ^{........................} ^{...........................} ^{..............................} ^{.................................} ^{.....................................} ^{........................................} ^{...........................................} ^{..............................................}]

3. In triunghiul ΔABC, reprezentat pe desen, punctul N este mijlocul segmentului [AB], iar punctul M este mijlocul segmentului [NB]. Pe desen este hasurat % din aria △ABC.

[figure: A; C; N; M; B]

4. In cutia de bomboane ”Lapte de pasare”, 6 bomboane sunt cu umplutura de culoare alba, 6 – cu umplutura de culoare galbena si 8 – cu umplutura de culoare cafenie. Care este probabilitatea ca luand la intamplare 2 bomboane din aceasta cutie sa fie cu umplutura cafenie?

5. Calculati |z_{1} − z_{2}|, daca se stie ca numerele z_{1} si z_{2} – sunt solutiile ecuatiei z^{2} − (5 − 2i) · z + 5 · (1, 5 − i) = 0.

6. Punctele A(0; −2), B(2; 0) sunt varfurile triunghiului △ABC. Aria triunghiului △ABC este egala cu 8 un. p. Aflati coordonatele varfului C, daca se stie ca punctul C apartine bisectoarei cadranelor II si IV.

7. Rezolvati in ℝ inecuatia \frac{log2_{\frac{1}{3}} (4 − x)}{x^{2} − 2x} ≤ 0.

8. Fie functia f : D → ℝ, D ⊆ ℝ, f(x) = \sqrt{7x − 6}. Determinati coordonatele punctului graficului functiei f astfel incat tangenta la grafic dusa in acest punct este perpendiculara pe dreapta l : 12x + 7y − 21 = 0.

9. Determinati extremele globale ale functiei f : [−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2} ] → ℝ, f(x) = sin 2x − 2x.

10. Cilindrul circular drept si conul circular drept au baza comuna si inaltime comuna. Ariile suprafetelor laterale ale lor se raporta ca 4 : 3. Calculati masura unghiului format de generatoarea conului si planul bazei conului.

[figure: .^{......}^{.......}^{.......}^{.........}^{...........}^{.............}^{.....................}^{.......................}^{.........................}^{.........................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .; .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{.........................}^{.........................}^{.......................}^{.....................}^{.............}^{...........}^{.........}^{.......}^{.......}^{......}; .^{......}^{.......}^{.......}^{.........}^{...........}^{.............}^{.....................}^{.......................}^{.........................}^{.........................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .; .. . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .⋮ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..^{......................} .^{...................} ..^{.................} .^{..................} . .^{.....}^{...........}^{.........} ..^{....} .^{....}^{......}.; P; O]

11. Fie functia f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x^{2} + 8x − 1. Unul dintre punctele comune ale graficul derivatei functiei f si graficul unei primitive a functiei f are abscisa x_{1} = −1. Determinati abscisele celorlalte puncte comune ale acestor doua grafice.

12. Determinati toate valorile reale ale parametrului m, pentru care ecuatia 5 · 3^{x+1} − m = 10 · (2 − m · 3^{x}) nu admite solutii reale.

Solutii

1. arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + arccos (−\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{π}{4} + \frac{3π}{4} = π.

Raspuns: π.

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 3

2. Raspuns: x ∈ (−∞; −1] ∪ (0; +∞).

3. Se utilizeaza proprietatea medianei: S_{△ANC} = \frac{1}{2}S_{△ABC}, S_{△CNM} = \frac{1}{2}S_{△CNB} = \frac{1}{4}S_{△ABC}.

Prin urmare, S_{△AMC} = S_{△ANC} + S_{△CNM} = \frac{1}{2}S_{△ABC} + \frac{1}{4}S_{△ABC} = \frac{3}{4}S_{△ABC} si pe desen este

hasurata \frac{3}{4} din aria △ABC, adica 75% din aria △ABC.

Raspuns: 75%.

4. Se utilizeaza formula probabilitatii clasice (evenimentele sunt echiprobabile): p = \frac{m}{n}, unde m – numarul cazurilor favorabile evenimentului ”s-au extras doua bomboane cu umplutura cafenie”, n – numarul total de cazuri. Avem 6 + 6 + 8 = 20 bomboane in cutie si, prin urmare,

n = C_{20}^{2} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{19 · 20}{2} = 190,

m = C_{8}^{2} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{7 · 8}{2} = 28,

p = \frac{28}{190} = \frac{14}{95}.

Raspuns: p = \frac{14}{95}.

5. Rezolvam ecuatia patratica: Δ = (5 − 2i)^{2} − 4 · 5 · (1, 5 − i) = 25 − 20i + 4i^{2} − 30 + 20i = 25 − 4 − 30 = −9 = 9i^{2} = (3i)^{2}.

z_{1} = \frac{5 − 2i − 3i}{2} = \frac{5 − 5i}{2} = \frac{5}{2} − \frac{5}{2}i;

z_{2} = \frac{5 − 2i + 3i}{2} = \frac{5 + i}{2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i.

Calculam z_{1} − z_{2} = \frac{5}{2} − \frac{5}{2}i − \frac{5}{2} − \frac{1}{2}i = −3i. Prin urmare,

|z_{1} − z_{2}| = | − 3i| = \sqrt{0^{2} + (−3)^{2}} = \sqrt{9} = 3.

Raspuns: |z_{1} − z_{2}| = 3.

6. Fie C(x_{0}, y_{0}). Cum C apartine bisectoarei cadranelor II si IV (y = −x), rezulta y_{0} = −x_{0}. Aflam aria △ABC:

S_{△ABC} = \frac{1}{2} |Δ| , Δ = | \begin{matrix}0 & −2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ x_{0} & −x_{0} & 1 \end{matrix} | = −2x_{0} − 2x_{0} + 4 = −4x_{0} + 4.

Cum S_{△ABC} = 8 (un. p.), rezulta \frac{1}{2}| − 4x_{0} + 4| = 8 sau |x_{0} − 1| = 4, de unde [ \begin{matrix}x_{0} − 1 = 4 \\ x_{0} − 1 = −4 \end{matrix} sau [ \begin{matrix}x_{0}^{(1)} = 5 \\ x_{0}^{(2)} = −3 \end{matrix} , rezulta [ \begin{matrix}y_{0}^{(1)} = −5 \\ y_{0}^{(2)} = 3 \end{matrix} . Asadar, exista doua puncte C_{1}(5; −5) si C_{2}(−3; 3) ce verifica conditiile problemei.

Raspuns: C(5; −5) sau C(−3; 3).

7. \frac{log2_{\frac{1}{3}} (4 − x)}{x^{2} − 2x} ≤ 0 ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}log2_{\frac{1}{3}} (4 − x) = 0 \\ x^{2} − 2x ≠ 0 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x^{2} − 2x < 0 \\ 4 − x > 0 \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}4 − x = 1 \\ x ∈ ℝ \ \{0; 2\} \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (0; 2) \\ x < 4 \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = 3 \\ x ∈ (0; 2) \end{matrix} .

Prin urmare, S = (0; 2) ∪ {3}.

8. Aflam panta dreptei l: 12x+7y −21 = 0, 7y = −12x+21, y = −\frac{12}{7}x+3 ⇒ m_{l} = −\frac{12}{7}. Cum tangenta se cere perpendiculara pe dreapta l, utilizand conditia de perpendicularitate, se obtine:

m_{t} · m_{l} = −1 ⇒ m_{t} = −\frac{1}{m_{l}} = \frac{7}{12}.

Dar m_{t} = f′(x_{0}), unde x_{0} – punctul de tangenta. Cum

f′(x) = (\sqrt{7x − 6})′ = \frac{1}{2\sqrt{7x − 6}} · (7x − 6)′ = \frac{7}{2\sqrt{7x − 6}},

rezulta \frac{7}{2\sqrt{7x_{0} − 6}} = \frac{7}{12}, de unde \sqrt{7x_{0} − 6} = 6 si x_{0} = 6 (apartine D_{f} = [\frac{6}{7}; +∞)). Aflam

f(x_{0}) = \sqrt{7x_{0} − 6} = \sqrt{7 · 6 − 6} = \sqrt{36} = 6.

Asadar punctul de tangenta are coordonate (6; 6).

Raspuns: (6; 6).

9. Aflam derivata funciei f:

f′(x) = (sin 2x − 2x)′ = cos 2x · (2x)′ − 2 = 2 cos 2x − 2.

Determinam punctele critice:

f′(x) = 0 ⇒ 2 cos 2x − 2 = 0 ⇔ cos 2x = 1 ⇔ 2x = 2πk, k ∈ ℤ ⇔ x = πk, k ∈ ℤ.

Selectam punctele critice ce intra in domeniul de definitie:

−\frac{π}{2} ≤ πk ≤ \frac{π}{2} ⇔ −\frac{1}{2} ≤ k ≤ \frac{1}{2}.

Si cum k ∈ ℤ, rezulta k = 0 si unicul punct critic ce apartine [−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2} ] este x = 0.

Calculam f (−\frac{π}{2} ) , f(0), f (\frac{π}{2} ):

f (−\frac{π}{2} ) = sin(−π) − 2 · (−\frac{π}{2} ) = 0 + π = π,

f(0) = sin 0 − 2 · 0 = 0,

f (\frac{π}{2} ) = sin π − 2 · \frac{π}{2} = 0 − π = −π.

Cum −π < 0 < π, rezulta

sup_{[− \frac{π}{2} ; \frac{π}{2}]} f = f (−\frac{π}{2} ) = π,

inf_{[− \frac{π}{2} ; \frac{π}{2}]} f = f (\frac{π}{2} ) = −π.

10. Notam unghiul dintre generatoarea conului si planul bazei cu α, r – raza bazei conului (cilindrului), h – inaltimea conului (cilindrului).

Deoarece

S_{lat.cil.} = 2πrh, S_{lat.con.} = πrG,

unde G – generatoarea conului, se obtine

\frac{2πrh}{πrG} = \frac{4}{3} sau \frac{h}{G} = \frac{2}{3}.

Cum sin α = \frac{h}{G}, avem sin α = \frac{2}{3} si α = arcsin \frac{2}{3} (α ∈ (0; \frac{π}{2} )).

Raspuns: α = arcsin \frac{2}{3}.

11. Aflam derivata functiei f:

f′(x) = (3x^{2} + 8x − 1)′ = 6x + 8.

Aflam primitivele functiei f:

F (x) = ∫ (3x^{2} + 8x − 1)dx = x^{3} + 4x^{2} − x + C.

Cum F (−1) = f(−1), avem

(−1)^{3} + 4 · (−1)^{2} − (−1) + C = 6 · (−1) + 8,
4 + C = 2,

de unde C = −2 si F (x) = x^{3} + 4x^{2} − x − 2.

Determinam punctele comune, rezolvand ecuatia

x^{3} + 4x^{2} − x − 2 = 6x + 8 sau x^{3} + 4x^{2} − 7x − 10 = 0.

Cum x = −1 este solutie, x^{3} + 4x^{2} − 7x − 10 = (x + 1)(x^{2} + 3x − 10) = (x + 1)(x + 5)(x − 2). Prin urmare,

x^{3} + 4x^{2} − 7x − 10 = 0 ⇔ [ \begin{matrix}x + 1 = 0 \\ x + 5 = 0 \\ x − 2 = 0 \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = −1 \\ x = −5 \\ x = 2 \end{matrix} .

Asadar, abscisele celorlalte puncte sunt x = −5 si x = 2.

Raspuns: x_{2} = −5 si x_{3} = 2.

12. 5 · 3^{x+1} − m = 10 · (2 − m · 3^{x}) ⇔ 15 · 3^{x} − m = 20 − 10m · 3^{x} ⇔ ⇔ 15 · 3^{x} + 10m · 3^{x} = 20 + m ⇔ 3^{x}(15 + 10m) = 20 + m.

Ecuatia data nu are solutii reale pentru

1. \{ \begin{matrix}15 + 10m = 0 \\ 20 + m ≠ 0 \end{matrix} ⇔ m = −\frac{3}{2},

2. \frac{20 + m}{15 + 10m} ≤ 0 (3^{x} > 0, ∀x ∈ ℝ), de unde m ∈ [−20; −\frac{3}{2}).

Asadar, ecuatia nu are solutii reale pentru m ∈ [−20; −\frac{3}{2}].

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 2 puncte Nr. 2 — 2 puncte Nr. 3 — 2 puncte Nr. 4 — 5 puncte Nr. 5 — 5 puncte Nr. 6 — 8 puncte Nr. 7 — 6 puncte Nr. 8 — 8 puncte Nr. 9 — 8 puncte Nr. 10 — 6 puncte Nr. 11 — 8 puncte Nr. 12 — 7 puncte total: 67 puncte