Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2008 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 13 iunie 2008 Profilul real

Timp alocat: 180 minute.

I. In itemii 1-3 completati spatiile rezervate astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

1. In desen este schitat graficul functiei f : ℝ \ {3} → ℝ

lim_{x→3−0} f(x) =

lim_{x→3+0} f(x) =

[figure: x; y; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; −5; −4; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 4; 5; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .}; ^{.. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; . ^{...................} ^{...................} ^{....................} ^{.......................} ^{..........................} ^{............................} ^{...............................} ^{.................................} ^{....................................} ^{......................................} ^{.........................................} ^{............................................}]

2. In dreptunghiul MNP Q punctul F este mijlocul segmentului MQ. Daca aria trapezului

NP QF este egala cu A_{1}, iar aria triunghiului MNF este egala cu A_{2}, atunci \frac{A_{1}}{A_{2}} = .

M  F  Q P N  A_{1} A_{2}

3. Expresia E = \sqrt{1 − sin x} are sens pentru x ∈ .

II. In itemii 4-8 raspundeti la intrebari, scriind argumentarile si raspunsurile in spatiile rezervate.

4. Determinati valoarea de adevar a propozitiei si incercuiti litera A, daca propozitia este adevarata sau litera F, daca propozitia este falsa.

”Daca z_{1} = 2 (cos \frac{5π}{6} + i sin \frac{5π}{6} ), z_{2} = \frac{4}{\sqrt{3} − i}, atunci (z_{1} + z_{2}) ∈ ℝ.”

Argumentati raspunsul.

5. Dintre cei 50 pepeni verzi, pe care ii vinde la piata un realizator, 40 sunt copti. Care este probabilitatea ca cumparand de la acest vanzator orice doi pepeni, acestea sa fie copti?

6. Rezolvati in ℝ inecuatia log_{\frac{1}{3}} (x^{2} − 6x + 9) > −2.

7. Completati caseta cu unul dintre semnele ”>”, ”<”, ”=”, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata.

”Daca A = ∫_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{2x + 1}, B = ∫_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} ctgxdx, atunci A B.”

Argumentati raspunsul.

8. Determinati coordonatele piciorului perpendicularei, duse din punctul A(−1; 2) pe dreapta l : 3x − 5y − 21 = 0.

III. In itemii 9-12 scrieti pe foaia de test rezolvarile complete.

9. Determinati valorile reale ale parametrului m, pentru care solutiile ecuatiei x^{3} + 4x^{2} + m = 0 verifica conditia x_{3} = x_{1} + x_{2}.

10. Rezolvati in ℝ ecuatia |3^{x} − 3| + 3^{2x} = 3.

11. Sectiunea axiala a unui con circular drept este un triunghi echilateral. Determinati raportul dintre volumul conului circular drept si volumul corpului sferic inscris in acest con.

12. Pentru constructia edificiului unui spital, fundamentul caruia are forma unui dreptunghi MNKL cu aria 400 m^{2}, este necesar un lot de forma dreptunghiulara ABCD, astfel incat edificiul spitalului sa fie situat la distantele de 36 m si 16 m de la marginile lotului (vezi desenul). Determinati lungimea si latimea fundamentului edificiului spitalului astfel incat aria lotului ABCD sa fie minima.

[figure: A; D; B; C; M; L; N; K; 36 m; 36 m; 16 m; 16 m]

Solutii

1. lim_{x→3−0} f(x) = +∞; lim_{x→3−0} f(x) = 1.

2. \frac{A_{1}}{A_{2}} = 3.

3. x ∈ ℝ.

4. F, deoarece z_{1} = 2 (cos \frac{5π}{6} + i sin \frac{5π}{6} ) = 2 (−\frac{\sqrt{3}}{2} + i · \frac{1}{2}) = −\sqrt{3} + i;

z_{2} = \frac{4}{\sqrt{3} − i} = \frac{4(\sqrt{3} + i)}{3 + 1} = \sqrt{3} + i; z_{1} + z_{2} = −\sqrt{3} + i + \sqrt{3} + i = 2i ∉ ℝ.

5. Folosim formula probabilitatii clasice p = \frac{m}{n}, unde m – numarul cazurilor favorabile, n – numarul total de cazuri.

n = C_{50}^{2} = \frac{50!}{2!48!} = \frac{50 · 49}{2}; m = C_{40}^{2} · C_{10}^{0} = \frac{40!}{2!38!} · 1 = \frac{40 · 39}{2}; p = \frac{\frac{40 · 39}{2}}{\frac{50 · 49}{2}} = \frac{4}{5} · \frac{39}{49} = \frac{156}{245}.

Raspuns: \frac{156}{245}.

6. log_{\frac{1}{3}} (x^{2} − 6x + 9) > −2 ⇔ log_{\frac{1}{3}} (x − 3)^{2} > −2 ⇔ −2log_{3}|x − 3| > −2 ⇔

⇔ log_{3}|x − 3| < 1 ⇔ \{ \begin{matrix}|x − 3| < 3, \\ |x − 3| > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}−3 < x − 3 < 3, \\ x ≠ 3, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}0 < x < 6, \\ x ≠ 3, \end{matrix} ⇔

⇔ x ∈ (0; 3) ∪ (3; 6).

Raspuns: S = (0; 3) ∪ (3; 6).

7. A = ∫_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{2x + 1} = \frac{1}{2} ln |2x + 1||0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (ln 2 − ln 1) = \frac{1}{2} (ln 2 − 0) = \frac{1}{2} ln 2,

B = ∫_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} ctgxdx = ∫_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{cos x}{sin x}dx = \frac{1}{2} ln | sin x||\frac{π}{2} ; \frac{π}{4} = ln 1 − ln \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 − ln 2^{− \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln 2, rezulta A = B.

8. Panta dreptei l : 3x − 5y − 21 = 0 este m_{1} = \frac{3}{5}. Panta perpendicularei m_{2} = −\frac{5}{3} (din conditia de perpendicularitate a dreptelor m_{1} · m_{2} = −1).

Ecuatia perpendicularei y − 2 = −\frac{5}{3}(x + 1) sau 3y − 6 = −5x − 5, 5x + 3y − 1 = 0. Aflam coordonatele piciorului perpendicularei, rezolvand sistemul:

\{ \begin{matrix}3x − 5y − 21 = 0, \\ 5x + 3y − 1 = 0. \end{matrix}

Inmultind prima ecuatie a sistemului cu 5, iar a doua ecuatie cu (−3), si adunand, obtinem:

−34y − 102 = 0, de unde y = −3.

Atunci 5x + 3 · (−3) − 1 = 0, 5x = 10 si x = 2.

Asadar, coordonatele piciorului perpendicularei sunt (2; −3). Raspuns: (2; −3).

9. Conform teoremei Viete:

\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} = −4, \\ x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} = 0, \\ x_{1}x_{2}x_{3} = −m, \end{matrix}

in plus, x_{1} + x_{2} = x_{3}. Din aceasta conditie si prima relatie avem

\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} = −4, \\ x_{1} + x_{2} = x_{3}, \end{matrix}

de unde 2x_{3} = −4 si x_{3} = −2.

Cum x_{3} = −2 este solutie a acestei ecuatii:

(−2)^{3} + 4 · (−2)^{2} + m = 0,
−8 + 16 + m = 0,
m + 8 = 0,
m = −8.

Raspuns: m = −8.

10. |3^{x} − 3| + 3^{2x} = 3 ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ∈ (−∞; 1] \\ −3^{x} + 3 + 3^{2x} = 3 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (1; +∞) \\ 3^{x} − 3 + 3^{2x} = 3 \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ∈ (−∞; 1] \\ 3^{2x} − 3^{x} = 0 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (1; +∞) \\ 3^{2x} + 3^{x} − 6 = 0 \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ∈ (−∞; 1] \\ 3^{x}(3^{x} − 1) = 0 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (1; +∞) \\ (3^{x} − 2)(3^{x} + 3) = 0 \end{matrix} \end{matrix}  ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ∈ (−∞; 1] \\ 3^{x} = 1 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (1; +∞) \\ [ & \begin{matrix}3^{x} − 2 = 0 \\ 3^{x} + 3 = 0 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}  ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ∈ (−∞; 1] \\ x = 0 \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (1; +∞) \\ [ & \begin{matrix}3^{x} = 2 \\ 3^{x} = −3 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}  ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x = 0 \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (1; +∞) \\ x = log_{3}2 < 1 \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x = 0.

Raspuns: S = {0}.

11. Fie a – latura triunghiului echilateral din sectiunea axiala a conului, R_{c} – raza bazei conului, H_{c} – inaltimea conului, r – raza corpului sferic. Atunci

R_{c} = \frac{a}{2}; H_{c} = \frac{a}{2}tg60^{o} = \frac{a}{2}\sqrt{3}; r = \frac{a}{2}tg30^{o} = \frac{a}{2\sqrt{3}}.

Aflam volumul conului:

V_{c} = \frac{1}{3}πR_{c}^{2}H_{c} = \frac{1}{3}π \frac{a^{2}}{4} · \frac{a}{2}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}πa^{3}}{24} .

Aflam volumul sferei:

V_{s} = \frac{4}{3}πr^{3} = \frac{4}{3}π · \frac{a^{3}}{8 · 3 · \sqrt{3}} = \frac{πa^{3}}{18\sqrt{3}}.

Aflam raportul:

\frac{V_{c}}{V_{s}} = \frac{\sqrt{3}πa^{3}}{24} · \frac{18\sqrt{3}}{πa^{3}} = \frac{3 · 3}{4} = \frac{9}{4}.

Raspuns: \frac{9}{4}.

12. Fie a = |MN|, b = |ML|. Atunci conform conditiilor A=400 m^{2}, adica ab = 400. Aria dreptunghiului ABCD va fi

S = (36 + 36 + b)(16 + 16 + a) = (72 + b)(32 + a).

Avem a = \frac{400}{b} si S = (72 + b) (32 + \frac{400}{b}). Cercetam functia S la minim:

S′ = 32 + \frac{400}{b} + (72 + b) (−\frac{400}{b^{2}}) = 32 − \frac{72 · 400}{b^{2}} = 32 (1 − \frac{18 · 50}{b^{2}}) = 32 (1 − \frac{900}{b^{2}});

S′ = 0 ⇒ 32 (1 − \frac{900}{b^{2}}) = 0 ⇔ \frac{b^{2} − 900}{b^{2}} = 0, de unde b = ±30.

30^{0} −  + ↘  ↗  \overline{}b

Avem b_{min} = 30 si a = \frac{400}{30} = \frac{40}{3}.

Raspuns: latimea \frac{40}{3} m, lungimea 30 m.

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 2 puncte Nr. 2 — 2 puncte Nr. 3 — 2 puncte Nr. 4 — 4 puncte Nr. 5 — 5 puncte Nr. 6 — 5 puncte Nr. 7 — 6 puncte Nr. 8 — 7 puncte Nr. 9 — 7 puncte Nr. 10 — 8 puncte Nr. 11 — 8 puncte Nr. 12 — 8 puncte total: 64 puncte

Nota ”10” — 62-64 puncte ”9” — 57-61 puncte ”8” — 50-56 puncte ”7” — 39-49 puncte ”6” — 30-38 puncte ”5” — 17-29 puncte ”4” — 14-16 puncte ”3” — 9-13 puncte ”2” — 5-8 puncte ”1” — 0-4 puncte