Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2006 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Ministerul Educatiei, Tineretului si Sportului Directia Evaluare Invatamant Preuniversitar Examenul de bacalaureat la matematica, 9 iunie 2006 Profilul real

Timp alocat: 180 minute.

I. In itemii 1-4 scrie pe foaia de test in spatiul indicat numai rezultatele. Poti folosi Maculatorul pentru efectuari de calcule.

1. Daca x^{−3} = 64, atunci valoarea numerica a expresiei x^{\frac{1}{2}} este egala cu .

2. Functia definita prin formula f(x) = sin(x + π) este crescatoare in cadranele .

3. Tangenta la curba de ecuatie y = xe^{−x} este orizontala cand x = .

4. Multimea punctelor z = a + bi din planul complex pentru care |z − i| = 1 este cercul de ecuatie: .

II. In itemii 5-11 raspunde la intrebari, scriind argumentarile si raspunsurile in spatiile rezervate.

5. Pe o strada dintr-un oras, la recensamantul numarul de copii din fiecare familie, s-au obtinut urmatoarele rezultate:

Nr. copii (x_{i})  0 1 2 3 4 5
Nr. familii (n_{i})  6 16 16 6 4 2

Frecvente relative (f_{i}) Frecvente procentuale

a) Completeaza casetele libere din tabel;

b) Calculeaza numarul mediu de copii dintr-o familie (aproximare prin rotunjire).

6. In sistemul cartezian de coordonate este reprezentat graficul functiei f : ℝ → ℝ, f(x) = cx^{2} + dx + e. Utilizand desenul determina semnul fiecarui dintre coeficientii c, d, e. Argumenteaza raspunsul.

[figure: y; x; . ^{..........................................} ^{........................................} ^{.......................................} ^{.....................................} ^{...................................} ^{..................................} ^{................................} ^{..............................} ^{.............................} ^{..............................} ^{...............................} ^{................................} ^{..................................} ^{...................................} ^{....................................} ^{.....................................}; f(x); O]

7. Determina pentru care valori pozitive ale lui x termenul al patrulea in dezvoltarea binomului (\sqrt{x} + \sqrt[3]{x})^{7} este egal cu 280.

8. Determina multimea solutiilor intregi ale inecuatiei \begin{matrix}log & 2 & (\frac{x}{3} − 2) \\ √ & \overline{x − 7} \end{matrix} ≤ 0.

9. Fie date matricile A = ( \begin{matrix}4 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix} ) si B = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ −2 & 3 \end{matrix} ). Determina matricea C, astfel incat

2A^{−1} + C = B.

10. In desenul alaturat bisectoarea AD imparte cateta BC a triunghiului dreptunghic ABC in segmentele de lungime 5 cm si 3 cm. Utilizand datele problemei si desenul determina lungimea catetei AC.

[figure: A; C; B; D; 3; 5; ^{.. . . . . . .. . . . . . .}; ^{.. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .}]

11. Un fermier are 160 m de gard pentru a ingradi un lot din patru parti. Pentru a face suprafata lotului cat e posibil de mare, el poate sa utilizeze si un perete, sau o parte din peretele hambarului (vezi desenul). Determina aria maximala posibila a lotului obtinut, daca lungimea hambarului este de 100 m.

[figure: HAMBAR; 100]

III. Rezolva problemele 12-14 si scrie pe foaia de test rezolvarile complete.

12. Un rezervor de forma cilindrica cu diametrul de 60 cm si lungimea de 50 cm (vezi desenul) a fost umplut partial cu apa. In desen segmental hasurat arata sectiunea transversala a apei. Inaltimea apei este de 15 cm. Determina cati cm^{3} de apa e necesar de adaugat pentru a umplea pe jumatate rezervorul. (Volumul apei care se afla initial in rezervor este egal cu produsul dintre aria segmentului de cerc si lungimea rezervorului).

[figure: 50; . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{................}^{................}^{................}^{................}^{...............}^{...............}^{...............}^{...............}^{................}^{................}^{................}^{................}^{................}^{................}^{................}^{................}^{...............}^{...............}^{...............}^{...............}^{................}^{................}^{................}^{................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .; ^{.. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; . ^{................} ^{................} ^{................} ^{................} ^{...............} ^{...............} ^{...............} ^{...............} ^{................} ^{................} ^{................} ^{................}; O; Q; P; A; B]

13. In sistemul cartezian de coordonate este reprezentat o parte a graficului functiei f(x), ce trece prin punctele (2; 3,5) si (5; 1,4). Derivata functiei date intr-un punct oarecare (x; y)

este f′(x) = −\frac{20}{x^{3}}. Dreapta x = p imparte domeniul hasurat in doua figure congruente A si B. Utilizand datele problemei si desenul determina valoarea lui p.

[figure: y; x; 2; p; 5; O; A; B; . ^{.................................} ^{...............................} ^{.............................} ^{...........................} ^{............................} ^{.............................} ^{..............................} ^{...............................} ^{.................................} ^{..................................}; (2;3,5); (5;1,4)]

14. Determina pentru care valori reale ale lui p din punctul B(p; −1) pot fi trasate la graficul functiei f : ℝ → ℝ, f(x) = x^{3} − 3x^{2} + 3 trei tangente diferite.

Solutii

1. x^{−3} = 64 ⇔ x^{3} = \frac{1}{64} ⇔ x = \frac{1}{4} ⇔ x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (x > 0).

2. Din reprezentarea grafica a functiei f(x) = sin(x + π) se obtine, ca functia f este crescatoare in cadranele II si III.

3. Se utilizeaza interpretarea geometrica a teoremei Fermat (tangenta la graficul functiei f in punctele de extrem este paralela cu axa OX) si se obtine:

f′(x) = 0 ⇒ e^{−x} − xe^{−x} = 0 ⇔ e^{−x}(x − 1) = 0 ⇔ x = 1.

Se verifica ca x = 1 este punctul de minim. Prin urmare, pentru x = 1 tangenta la graficul functiei f(x) = xe^{−x} este orizontala (paralela cu axa OX).

4. |z − i| = 1 ⇔ |a + bi − i| = 1 ⇔ \sqrt{a^{2} + (b − 1)^{2}} = 1 ⇔ a^{2} + (b − 1)^{2} = 1.

Rezulta multimea punctelor din planul complex, ce verifica relatia data este cercul de ecuatie x^{2} + (y − 1)^{2} = 1.

5. a) Aflam volumul seriei statistice n = ∑_{i=1}^{6} n_{i} = 6 + 16 + 16 + 6 + 4 + 2 = 50 si frecventele

relative: ω_{i} = \frac{n_{i}}{n} , i = \overline{1, 6}; ω_{1} = \frac{6}{50}; ω_{2} = ω_{3} = \frac{16}{50}; ω_{4} = \frac{6}{50}; ω_{5} = \frac{4}{50}; ω_{6} = \frac{5}{50}.

Frecventele procentuale (definitia lipseste din manualele existente) sunt egale respectiv cu

ω_{1} = \frac{6}{50} · 100% = 12%; ω_{2} = ω_{3} = 32%; ω_{4} = 12%; ω_{5} = 8%; ω_{6} = 10%.

b) Numarul mediu de copii dintr-o familie:

m = \frac{0 · 6 + 1 · 16 + 2 · 16 + 3 · 6 + 4 · 4 + 5 · 2}{50} = \frac{92}{50} = 1, 84 ≈ 2.

6. Cum f(0) = e, rezulta e > 0. Ramurile parabolei sunt indreptate in jos, prin urmare

c < 0. Varful parabolei se afla in punctul de abscisa −\frac{d}{2c} < 0, de unde d < 0. Asadar, c < 0, d < 0, e > 0.

Raspuns: c < 0, d < 0, e > 0.

7. Utilizand formula termenului de rang k T_{k+1} = C_{n}^{k}a^{n−k}b^{k} se obtine

T_{4} = C_{7}^{3}(\sqrt{x})^{4}(\sqrt[3]{x})^{3} = \frac{7!}{3!4!} · x^{\frac{4}{2}} · x^{\frac{3}{3}} = 35x^{2+1} = 35x^{3}.

Cum T_{4} = 280, rezulta ecuatia 35x^{3} = 280 echivalenta cu x^{3} = 8, de unde x = 2. Raspuns: x = 2.

8. \begin{matrix}log & 2 & (\frac{x}{3} − 2) \\ √ & \overline{x − 7} \end{matrix} ≤ 0 ⇔ \{ \begin{matrix}log_{2} (\frac{x}{3} − 2) ≤ 0 \\ x − 7 > 0 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}0 < \frac{x}{3} − 2 ≤ 1 \\ x > 7 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}2 < \frac{x}{3} ≤ 3 \\ x > 7 \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}6 < x ≤ 9 \\ x > 7 \end{matrix} ⇔ 7 < x ≤ 9.

Cum x ∈ ℤ, ramane x ∈ {8; 9}. Raspuns: x ∈ {8; 9}.

9. 2A^{−1} + C = B ⇔ C = B − 2A^{−1}. Se determina matricea inversa matricei A:

det A = | \begin{matrix}4 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix} | = 4 − 6 = −2 ≠ 0 (A^{−1} exista) si A^{−1} = \frac{1}{−2} ( \begin{matrix}1 & −2 \\ −3 & 4 \end{matrix} ). Asadar,

C = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ −2 & 3 \end{matrix} ) − 2 · (−\frac{1}{2}) ( \begin{matrix}1 & −2 \\ −3 & 4 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ −2 & 3 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 & −2 \\ −3 & 4 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 & −1 \\ −5 & 7 \end{matrix} ) .

Raspuns: C = ( \begin{matrix}3 & −1 \\ −5 & 7 \end{matrix} ).

10. Se utilizeaza proprietatea bisectoarei \frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}, si se obtine AB = \frac{5}{3}AC. Din teorema Pitagora rezulta

AC^{2} = AB^{2} − BC^{2}.

Cum BC = BD + DC = 5 + 3 = 8, AB = \frac{5}{3}AC, avem AC^{2} = \frac{25}{9}AC^{2} − 64, de unde

\frac{16}{9}AC^{2} = 64 si AC^{2} = 36, AC = 6 (cm).

Raspuns: AC = 6 cm.

11. Fie dimensiunile lotului a si b. Atunci lungimea gardului ce ingradeste lotul va fi l = 2a + b. Cum a > 0, b > 0, utilizand inegalitatea dintre media aritmetica si cea geometrica (egalitatea se obtine pentru 2a = b) se obtine

\frac{2a + b}{2} ≥ \sqrt{2a · b} sau 2a + b ≥ 2\sqrt{2ab}.

Conform ipotezei 2a + b = 160 (m), deci

160 ≥ 2\sqrt{2ab} ⇔ 80 ≥ \sqrt{2ab} ⇔ 6400 ≥ 2ab,

de unde ab = S ≤ 3200. Rezulta aria maxima a lotului este 3200 (m^{2}) si se obtine pentru 2a = b. Prin urmare, 2a + b = 2b = 160, de unde b = 80 m si a = 40 m.

Raspuns: S = 3200 m^{2}.

12. Fie R – raza bazei cilindrului, R = \frac{60}{2} = 30 (cm). Consideram ΔAOB. Cum OP = OQ − QP = 30 − 15 = 15 (cm), AO = 30 cm, rezulta

(din ΔAP O, dreptunghic in P) ca ∠OAP = 30^{o} si, prin urmare,

∠AOB = 180^{o} − (30^{o} + 30^{o}) = 120^{o}

si

S_{ΔAOB} = \frac{1}{2} · AO · OB · sin(∠AOB) = \frac{1}{2} · 30 · 30 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 225\sqrt{3}(cm^{2}).

Aflam aria segmentului de cerc AOB:

A = \frac{1}{2}R^{2}α − S_{ΔAOB} = \frac{1}{2} · 30^{2} · \frac{2π}{3} − 225\sqrt{3} = (300π − 225\sqrt{3})(cm^{2}).

Determinam volumul cilindrului V_{1}:

V_{1} = πR^{2}H = π · 30^{2} · 50 = 45000π(cm^{3}),

volumul corpului format de apa ce se afla initial in rezervor V_{2}:

V_{2} = A · H = (300π − 225\sqrt{3}) · 50 = (15000π − 11250\sqrt{3}) cm^{3}

si volumul apei necesar de adaugat in rezervor pentru a-l umplea pe jumatate:

V = \frac{1}{2}V_{1} − V_{2} = 22500π − (15000π − 11250\sqrt{3}) = (7500π + 11250\sqrt{3}) cm^{3}.

Raspuns: (7500π + 11250\sqrt{3}) cm^{3}.

13. Nota: figurile A si B nu sunt congruente, ci echivalente, adica au arii egale, in conditiile enuntate problema este lipsita de sens.

Determinam functia f(x):

f(x) = ∫ f′(x)dx = ∫ (−\frac{20}{x^{3}}) dx = −20\frac{x^{−2}}{−2} + C = \frac{10}{x^{2}} + C.

Cum f(2) = 3, 5, rezulta 3, 5 = \frac{10}{4} + C, de unde C = 1 si f(x) = \frac{10}{x^{2}} + 1. Ariile figurilor A si B:

S_{A} = ∫_{2}^{p} (\frac{10}{x^{2}} + 1) dx = (−\frac{10}{x} + x)|_{2}^{p} = −\frac{10}{p} + p + 5 − 2 = −\frac{10}{p} + p + 3;

S_{B} = ∫_{p}^{5} (\frac{10}{x^{2}} + 1) dx = (−\frac{10}{x} + x)|_{p}^{5} = −2 + 5 + \frac{10}{p} − p = \frac{10}{p} − p + 3.

Din echivalenta figurilor A si B, rezulta

−\frac{10}{p} + p + 3 = \frac{10}{p} − p + 3, sau \frac{10}{p} − p = 0,

de unde p = ±\sqrt{10}. Cum p ∈ (2; 5), ramane p = \sqrt{10}.

Raspuns: p = \sqrt{10}.

14. Utilizand ecuatia tangentei la graficul functiei f(x) in punctul x_{0}

y − f(x_{0}) = f′(x_{0})(x − x_{0}),

se obtine:

y − (x_{0}^{3} − 3x_{0}^{2} + 3) = (3x_{0}^{2} − 6x_{0})(x − x_{0}).

Cum punctul B(p; −1) apartine tangentei,

−1 − (x_{0}^{3} − 3x_{0}^{2} + 3) = (3x_{0}^{2} − 6x_{0})(p − x_{0}),
−x_{0}^{3} + 3x_{0}^{2} − 4 = 3x_{0}(x_{0} − 2)(p − x_{0}),
−(x_{0} − 2)^{2}(x_{0} + 1) = 3x_{0}(x_{0} − 2)(p − x_{0}),

de unde rezulta in x_{0} = 2 poate fi trasata o tangenta la graficul functiei f oricare ar fi p ∈ ℝ. Asadar, fie x_{0} ≠ 2, atunci

−(x_{0} − 2)(x_{0} + 1) = 3x_{0}(p − x_{0}),
3x_{0}^{2} − 3x_{0}p − x_{0}^{2} + x_{0} + 2 = 0,
2x_{0}^{2} − x_{0}(3p − 1) + 2 = 0.

Pentru verificarea conditiilor problemei este necesar ca determinantul ultimei ecuatiei sa fie strict pozitiv: Δ = (3p − 1)^{2} − 16 > 0 sau

(3p − 1 − 4)(3p − 1 + 4) > 0,
(3p − 5)(3p + 3) > 0,

de unde p ∈ (−∞; −1) ∪ (\frac{5}{3}; +∞).

Cum p ≠ 2, rezulta p ∈ (−∞; −1) ∪ (\frac{5}{3}; 2) ∪ (2; +∞).

Raspuns: p ∈ (−∞; −1) ∪ (\frac{5}{3}; 2) ∪ (2; +∞).

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 2 puncte Nr. 2 — 2 puncte Nr. 3 — 2 puncte Nr. 4 — 2 puncte Nr. 5 — 6 puncte Nr. 6 — 6 puncte Nr. 7 — 5 puncte Nr. 8 — 5 puncte Nr. 9 — 4 puncte Nr. 10 — 6 puncte Nr. 11 — 6 puncte Nr. 12 — 7 puncte Nr. 13 — 8 puncte Nr. 14 — 9 puncte total: 70 puncte

Nota ”10” — 64-70 puncte ”9” — 57-63 puncte ”8” — 49-56 puncte ”7” — 40-48 puncte ”6” — 32-39 puncte ”5” — 21-31 puncte ”4” — 15-20 puncte ”3” — 9-14 puncte ”2” — 4-8 puncte ”1” — 0-3 puncte