Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2005 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1

Ministerul Educatiei, Tineretului si Sportului Examenul de bacalaureat la matematica, iunie 2005 Profilul real

Timp alocat: 180 minute.

I. In itemii 1-4 scrieti raspunsurile in spatiile rezervate.

1. Valoarea produsului numerelor \sqrt[3]{4} si \sqrt[4]{8} este .

2. Valoarea expresiei \sqrt{−(x + 1)^{2}} este un numar real pentru x = .

3. Daca sin x + cos x = a, atunci sin 2x se exprima prin a astfel: sin 2x = .

4. In sistemul de axe ortogonale alaturat sunt reprezentate graficele functiilor f si g derivabile si continue pe ℝ. Folosind desenul, scrieti in caseta unul din semnele <, >, =, astfel incat sa obtineti o propozitie adevarata:

∫_{0}^{4} f(x)dx  ∫_{0}^{4} g(x)dx.

[figure: x; y; O; 1; 4; f; ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .^{.........}^{..........}^{...........}^{.............}^{................}; .^{...............}^{..............}^{.............}^{............} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .^{.......}^{........}^{.........}^{............}; g; .^{.....................}^{..................}^{...................}^{...................}^{...................} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{............................}^{.............................}^{..............................}^{................................}^{.................................}^{..................................}]

II. In itemii 5-10 scrieti in spatiile rezervate raspunsurile si argumentarile necesare.

5. Venitul saptamanal al omului de afaceri Moraru este variabil. In diagrama este indicat numarul de saptamani in care el a castigat suma respectiva. Folosind diagrama, determinati care este venitul mediu saptamanal al domnului Moraru.

[figure: 5; 10; 15; 20; Venitul in lei; Numarul de saptamani; 2000; 3000; 4000; 5000; 6000]

6. Scrieti o ecuatie de gradul II, forma redusa, cu coeficienti reali, stiind ca una din solutiile ei este 2 − \sqrt{5}i. Argumentati raspunsul.

7. Determinati valorile reale ale lui x pentru care \frac{\sqrt{(1 − x^{2})^{2}}}{1 − x} = 1 + x.

8. Termenul al treilea in dezvoltarea la putere a binomului (1 − i)^{n} este egal cu −28. Determinati A_{n}^{3}.

9. Determinati valorile reale ale lui x pentru care log_{3} log_{\frac{1}{2}} (4 − x) < 1.

10. In desen, laturile triunghiului OAB au dreptele suport y = x, y = 0 si 2x + y = 12. Determinati aria maxima pe care o poate avea dreptunghiul inscris in acest triunghi si care are o latura situata pe axa Ox.

[figure: x; y; O; C; H; P; (6, 0); B; y = x; 2x + y = 12; N; M; K; A]

III. Rezolvati problemele 11-14 si scrieti rezolvarile complete.

11. O bila din metal cu raza de 8 cm a fost retopita sub forma de con circular drept. Stiind ca aria suprafetei laterale a conului obtinut este de trei ori mai mare decat aria bazei lui, determinati inaltimea conului.

R  R h G  3R

12. Determinati valorile parametrului real n pentru care sistemul \{ \begin{matrix}nx + y = 1 \\ ny + z = 1 \\ x + nz = 1 \end{matrix} este

incompatibil.

13. Determinati valorile parametrilor reali a si b pentru care graficul functiei

f : M → ℝ (M ⊂ ℝ), f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + ax + b}, are asimptota verticala x = 1 si admite un extrem local in punctul de abscisa x_{0} = 3.

14. In sistemul de axe ortogonale xOy, dreapta verticala l imparte triunghiul ABC, cu varfurile B(0, 0), A(1, 1), C(9, 1), in doua figuri de arii egale. Folosind desenul, scrieti ecuatia dreptei l.

[figure: x; y; 1; B; 1; K; 9; A; M; C; N; l]

Solutii

1. \sqrt[3]{4} · \sqrt[4]{8} = 4^{\frac{1}{3}} · 8^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{3}} · 2^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{3}{4}} = 2^{\frac{17}{12}} = 2^{1 \frac{5}{12}} = 2 · \sqrt[12]{2^{5}}.

2. Daca x ∈ ℝ, atunci, cum din domeniul de definitie al expresiei avem −(x + 1)^{2} ≥ 0 sau (x + 1)^{2} ≤ 0, de unde x = −1.

Daca x ∈ ℂ, atunci avem o infinitate de solutii: de exemplu, orice numar complex de forma −1 + αi, α ∈ ℝ, transforma expresia intr-un numar real.

Observatie! Evident, formularea imprecisa a itemului este vina autorilor testului. Asa probe conduc la pierderi considerabile de timp pretios (timp alocat 180 minute), ceea ce in final micsoreaza nota liceistului.

3. Cum sin x + cos x = a implica sin^{2} x + cos^{2} x + 2 sin x cos x = a^{2} sau 1 + sin 2x = a^{2}, se obtine sin 2x = a^{2} − 1.

4. Cum pentru orice x ∈ [0; 4], f(x) < g(x) din proprietatile integralei Riemann se obtine

∫_{0}^{4} f(x)dx < ∫_{0}^{4} g(x)dx.

5. Utilizand formula pentru media aritmetica ponderata, se obtine:

x̄ = \frac{2000 · 4 + 3000 · 18 + 4000 · 14 + 5000 · 9 + 6000 · 5}{4 + 18 + 14 + 9 + 5} = \frac{1000(8 + 54 + 56 + 45 + 30)}{50} =

= 20 · 193 = 3860(lei).

6. Cum una din radacinile ecuatiei cu coeficienti reali este z = 2 − \sqrt{5}i, atunci z̄ = 2 + \sqrt{5}i la fel va fi radacina a ecuatiei date (a se vedea tema ”Radacinile polinoamelor cu coeficienti reali”). Conform teoremei inverse Viete, ecuatia data va fi:

x^{2} − (z + z̄)x + z · z̄ = 0

sau

x^{2} − 4x + 9 = 0.

7. \frac{\sqrt{(1 − x^{2})^{2}}}{1 − x} = 1+x ⇔ \frac{|1 − x^{2}|}{1 − x} = 1+x ⇔ \{ \begin{matrix}|1 − x^{2}| = 1 − x^{2} \\ 1 − x ≠ 0 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}1 − x^{2} ≥ 0 \\ x ≠ 1 \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x ∈ [−1; 1] \\ x ≠ 1 \end{matrix} ⇔ x ∈ [−1; 1).

8. Utilizand formula pentru termenul de rang k se obtine:

T_{3} = T_{2+1} = C_{n}^{2} 1^{2}(−i)^{n−2} = C_{n}^{2}(−1)^{n−2} i^{n−2} = \frac{n(n − 1)}{2} i^{2(n−2)+n−2} = \frac{n(n − 1)}{2} i^{3n−6}.

Cum T_{3} = −28, rezulta \{ \begin{matrix}\frac{n(n − 1)}{2} = 28 \\ 3n − 6 = 4s + 2, s ∈ ℕ \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}n^{2} − n − 56 = 0 \\ 3n − 6 = 4s + 2, s ∈ ℕ \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}n = 8 \\ n = −7 \end{matrix} \\ 3n − 6 = 4s + 2, s ∈ ℕ \end{matrix} ⇔ n = 8.

Atunci A_{n}^{3} = A_{8}^{3} = \frac{8!}{5!} = 6 · 7 · 8 = 336.

9. log_{3} log_{\frac{1}{2}} (4 − x) < 1 ⇔ log_{3} log_{\frac{1}{2}} (4 − x) < log_{3} 3 ⇔ \{ \begin{matrix}log_{\frac{1}{2}} (4 − x) < 3 \\ log_{\frac{1}{2}} (4 − x) > 0 \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}log_{\frac{1}{2}} (4 − x) < log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} \\ log_{\frac{1}{2}} (4 − x) > log_{\frac{1}{2}} 1 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}4 − x > \frac{1}{8} \\ 4 − x < 1 \\ 4 − x > 0 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x < 3\frac{7}{8} \\ x > 3 \end{matrix} ⇔ x ∈ (3; 3\frac{7}{8}) .

10. Avem: M(x, x); N (\frac{12 − x}{2}, x); P (\frac{12 − x}{2}, 0).

Atunci MC = x, CP = \frac{12 − x}{2} − x = \frac{12 − 3x}{2} si aria dreptunghiului MNCP:

S_{MNCP} = MC · CP = x (\frac{12 − 3x}{2}) = \frac{1}{2}(12x − 3x^{2}).

Studiem functia S la maxim:

S′ = \frac{1}{2}(12 − 6x) = 6 − 3x,

de unde 6 − 3x = 0 si x = 2. Cum S′′(2) = −3 < 0, rezulta x = 2 punct de maxim. Atunci

S_{max} = S(2) = \frac{1}{2}(12 · 2 − 3 · 2^{2}) = \frac{1}{2}(24 − 12) = 6 (un. p.).

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2005 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 5

11. Volumul bilei V_{bila} = \frac{4}{3}πr^{3} = \frac{4}{3}π8^{3} = \frac{2048π}{3} (cm^{3}). Din relatia S_{lat} = 3S_{baz} se obtine

πRG = 3πR^{2}, G = 3R,

unde R – raza bazei conului, G – generatoarea lui.

Atunci

h = \sqrt{G^{2} − R^{2}} = \sqrt{9R^{2} − R^{2}} = \sqrt{8R^{2}} = 2\sqrt{2}R,

iar volumul conului

V_{con} = \frac{1}{3}πR^{2}h = \frac{1}{3}πR^{2} · 2\sqrt{2}R = \frac{2\sqrt{2}π}{3} R^{3}.

Din V_{bila} = V_{con} se obtine

\frac{2048π}{3} = \frac{2\sqrt{2}π}{3} R^{3},

de unde R^{3} = \frac{2048}{2\sqrt{2}} = \frac{1024}{\sqrt{2}} = 512\sqrt{2} si R = 8\sqrt[6]{2}.

Atunci

h = 2\sqrt{2}R = 16\sqrt[6]{2}\sqrt{2} = 16 · 2^{\frac{1}{6} + \frac{1}{2}} = 16 · 2^{\frac{4}{6}} = 16 · 2^{\frac{2}{3}} = 16\sqrt[3]{4} (cm).

12. Conform regulei Cramer, sistemul este incompatibil, daca determinantul principal Δ = 0 si cel putin unul din determinantii auxiliari Δ_{x}, Δ_{y}, Δ_{z} este diferit de zero.

Δ = | \begin{matrix}n & 1 & 0 \\ 0 & n & 1 \\ 1 & 0 & n \end{matrix} | = n^{3} + 1, Δ = 0 ⇒ n^{3} + 1 = 0, n = −1.

Cum Δ_{x} = | \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & n & 1 \\ 1 & 0 & n \end{matrix} | = n^{2} − n + 1 ≠ 0 pentru orice n, deoarece D = 1 − 4 < 0. Deci, daca n = −1 sistemul este incompatibil.

13. Cum x = 1 asimptota verticala, rezulta 1 + a + b = 0, adica a + b = −1. Cum f′(3) = 0 se obtine

\frac{x^{2} + ax + b − (x + 1)(2x + a)}{(x^{2} + ax + b)^{2}} = 0

sau 9 + 3a + b − 4(6 + a) = 0, adica −a + b = 15.

Din \{ \begin{matrix}a + b = −1 \\ −a + b = 15 \end{matrix} rezulta a = −8, b = 7.

14. Determinam aria △ABC:

S_{△ABC} = \frac{1}{2}mod | \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 9 & 1 & 1 \end{matrix} | = \frac{1}{2}|9 − 1| = 4 (un. p.).

Ecuatia dreptei BC: \frac{x − 0}{9 − 0} = \frac{y − 0}{1 − 0} sau y = \frac{x}{9}.

Fie M(l, 1). Atunci cum N ∈ [BC], N (l, \frac{l}{9}).

Aria S_{△CMK} = \frac{1}{2}S_{△ABC} = \frac{1}{2} · 4 = 2 si, in plus,

S_{△CMK} = \frac{1}{2}mod | \begin{matrix}l & 1 & 1 \\ l & \frac{l}{9} & 1 \\ 9 & 1 & 1 \end{matrix} | = \frac{1}{2} |\frac{l^{2}}{9} + 9 + l − l − l − l| = \frac{1}{18}|l^{2}−18l+81| = \frac{1}{18}|(l−9)^{2}| = \frac{(l − 9)^{2}}{18} .

Prin urmare, \frac{(l − 9)^{2}}{18} = 2, de unde

(l − 9)^{2} = 36 ⇔ |l − 9| = 6 ⇔ l − 9 = ±6 ⇔ [ \begin{matrix}l = 15 \\ l = 3 \end{matrix} .

Cum 0 < l < 9, ramane l = 3.

Raspuns: x = 3.

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 2 puncte Nr. 2 — 2 puncte Nr. 3 — 2 puncte Nr. 4 — 2 puncte Nr. 5 — 3 puncte Nr. 6 — 5 puncte Nr. 7 — 5 puncte Nr. 8 — 5 puncte Nr. 9 — 6 puncte Nr. 10 — 7 puncte Nr. 11 — 6 puncte Nr. 12 — 6 puncte Nr. 13 — 6 puncte Nr. 14 — 9 puncte total: 66 puncte