Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2003 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Examenul de bacalaureat la matematica, 2 iunie 2003 Profilul real

Timp alocat: 180 minute.

1. Scrieti in forma algebrica numarul complex z, a carui reprezentare geometrica este punctul B.

[figure: y; x; O; 1; 1; B]

2. Pe desen este reprezentat graficul functiei f : [−6; 4] ⟶ ℝ. Pentru ce valori ale lui a ecuatia f(x) = a admite 3 radacini reale distincte?

[figure: y; x; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{............}^{............}^{.............}^{...............}^{.................}^{....................}^{.......................}^{..........................}; .^{..........................}^{........................}^{.....................}^{..................}^{...............}^{.............}^{............}^{............} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; f(x); −6; 0; 1; 4; −2; 1; 2]

3. Scrieti ecuatia cercului cu diametrul AB, daca A(3; 2), B(−1; 6).

4. Se arunca o moneda de 3 ori. Care este probabilitatea ca pajura sa cada de 2 ori?

5. Termenul al noualea al dezvoltarii binomului (\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{n} nu contine x. Calculati A_{n}^{2}.

6. Calculati ∫_{0}^{1} \frac{xdx}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

7. Rezolvati inecuatia (sin 2)^{x^{2}−x} ≥ sin^{2} 2.

8. Aria sectiunii axiale a unui cilindru este Q. Determinati aria suprafetei laterale a cilindrului.

9. Determinati radacinile polinomului P (X) = X^{3} + 2aX^{2} − 5X − a − 9, a ∈ ℝ, daca se stie ca restul impartirii lui P (X) la binomul (X − 2) este egal cu restul impartirii lui P (X) la binomul X + 1.

10. Determinati aria triunghiului format de bisectoarele unghiurilor de coordonate si tangenta la graficul functiei f : [\sqrt{5}; ∞) ⟶ ℝ, f(x) = \sqrt{x^{2} − 5} in punctul M(3; 2).

11. Rezolvati ecuatia log_{2}(x^{2} − x + b) = log_{2}(−3x + b) pentru orice parametrul real b.

12. In triunghiul ABC mediana AM (M ∈ (BC)) este perpendiculara pe mediana BN (N ∈ (AC)). Deternimati aria triunghiului, daca se stie ca AM = a, BN = b.

Solutii

1. Cum reprezentarea geometrica a numarului complex z = a + bi este punctul B(a; b) si cum punctul B are coordonate (−2; −3), rezulta z = −2 − 3i.

Raspuns: z = −2 − 3i.

2. Ecuatia f(x) = a, a ∈ ℝ admite trei radacini reale distincte pentru a ∈ (−2; 2), deoarece numai pentru aceste valori ale lui a dreapta y = a intersecteaza graficul functiei f(x) in trei puncte distincte.

Raspuns: a ∈ (−2; 2).

3. Cum segmentul AB este diametru, coordonatele mijlocului acestui segment sunt coordonatele centrului cercului. Utilizand formulele pentru determinarea coordonatelor (x_{0}; y_{0}) mijlocului segmentului cu extremitatile A(x_{1}; y_{1}) si B(x_{2}; y_{2})

x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} ; y_{0} = \frac{y_{1} + y_{2}}{2} ,

se obtine x_{0} = 1 si y_{0} = 4.

Aplicand formula distantei dintre doua puncte date A(x_{1}; y_{1}) si B(x_{2}; y_{2}),

d(AB) = \sqrt{(x_{2} − x_{1})^{2} + (y_{2} − y_{1})^{2}},

se obtine lungimea diametrului AB:

d = \sqrt{(−3 − 1)^{2} + (6 − 2)^{2}} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}.

Cum raza cercului R este egala cu jumatate din diametru, rezulta R = 2\sqrt{2}. Ecuatia cercului de raza R cu centrul in punctul O(x_{0}; y_{0}) este

(x − x_{0})^{2} + (y − y_{0})^{2} = R^{2}.

Substituind x_{0} = 1, y_{0} = 4 si R = 2\sqrt{2}, se obtine (x − 1)^{2} + (y − 4)^{2} = 8.

Raspuns: (x − 1)^{2} + (y − 4)^{2} = 8.

4. Se aplica schema binomiala (Bernoulli):

p_{n}(k) = C_{n}^{k}p^{k}q^{n−k},

unde n – numarul de experiente independente; k – numarul de realizari a evenimentului A (0 ≤ k ≤ n); p – probabilitatea realizarii evenimentului A intr-o experienta aparte (aceeasi la fiecare

experienta); q = 1 − p; p_{n}(k) – probabilitatea realizarii evenimentului A de k ori in n experiente independente.

Probabilitatea aparitiei pajurei p in fiecare din cele trei (n = 3) aruncari (evenimente

independente) este aceeasi si egala cu \frac{1}{2}. Prin urmare,

p_{3}(2) = C_{3}^{2}p^{2}q^{3−1} = \frac{3!}{2!1!} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8}.

Raspuns: p_{3}(2) = \frac{3}{8}.

5. Utilizand formula pentru al (k + 1)-lea termen al dezvoltarii binomului la putere T_{k+1} = C_{n}^{k}a^{n−k}b^{k} se obtine:

T_{9} = T_{8+1} = C_{n}^{8} (\sqrt[3]{x})^{n−8} (\frac{1}{\sqrt{x}})^{8} = C_{n}^{8} x^{\frac{n−8}{3}} x^{−4} = C_{n}^{8} x^{\frac{n−20}{3}} .

Cum termenul al noualea nu contine x, rezulta \frac{n − 20}{3} = 0, de unde n = 20. Prin urmare,

A_{n}^{2} = A_{20}^{2} = \frac{20!}{(20 − 2)!} = \frac{20!}{18!} = 19 · 20 = 380.

Raspuns: A_{20}^{2} = 380.

6. Se observa ca \frac{xdx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = d(\sqrt{1 + x^{2}}) si, utilizand formula Newton-Leibnitz, se obtine:

∫_{0}^{1} \frac{xdx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = ∫_{0}^{1} d(\sqrt{1 + x^{2}}) = \sqrt{1 + x^{2}} |_{0}^{1}= \sqrt{2} − 1.

Raspuns: ∫_{0}^{1} \frac{xdx}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \sqrt{2} − 1.

7. Cum 0 < sin 2 < 1, functia (sin 2)^{x} este o functie descrescatoare. Prin urmare,

(sin 2)^{x^{2}−x} ≥ sin^{2} 2 ⇔ x^{2} − x ≤ 2 ⇔ x^{2} − x − 2 ≤ 0 ⇔ (x + 1)(x − 2) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 2 .

Raspuns: x ∈ [−1; 2].

8. Fie h – inaltimea si d – diametrul bazei cilindrului. Cum sectiunea axiala a unui cilindru este un dreptunghi cu laturile h si d avem Q = πdh. Cum aria suprafetei laterale a cilindrului S_{lat.} = dh si dh = Q, se obtine S_{lat.} = πQ.

Raspuns: S_{lat.} = πQ.

9. Utilizand teorema lui Bézout, se obtine relatia P (2) = P (−1), adica

8 + 8a − 10 − a − 9 = −1 + 2a + 5 − a − 9,

de unde a = 1. Prin urmare, P (X) = X^{3} + 2X^{2} − 5X − 10. Radacinile polinomului P (X) se determina rezolvand ecuatia P (X) = 0. X^{3} +2X^{2} −5X −10 = 0 ⇔ (X^{3} −5X)+(2X^{2} −10) = 0 ⇔ X(X^{2} −5)+2(X^{2} −5) = 0 ⇔ ⇔ (X^{2} − 5)(X + 2) = 0 ⇔ (X − \sqrt{5})(X + \sqrt{5})(X + 2) = 0, de unde X_{1} = \sqrt{5}, X_{2} = −\sqrt{5}, X_{3} = −2.

Raspuns: radacinile polinomului sunt P (X) sunt −\sqrt{5}, −2, \sqrt{5}.

10. Ecuatia tangentei la graficul functiei f(x) in punctul (x_{0}; f(x_{0})) este

y = f′(x_{0})(x − x_{0}) + f(x_{0}).

In cazul dat f′(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} − 5}}, f′(3) = \frac{3}{2} si ecuatia tangentei la graficul functiei f in punctul

M(3; 2) este

y = \frac{3}{2}(x − 3) + 2 sau y = \frac{3}{2}x − \frac{5}{2}.

Determinam coordonatele varfurilor triunghiului format de bisectoarele unghiurilor de coordonate (y = x si y = −x) si tangenta la graficul functiei f, rezolvand sistemele de ecuatii liniare:

\{ \begin{matrix}y = \frac{3}{2}x − \frac{5}{2}, \\ y = x, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x = 5, \\ y = 5, \end{matrix}

\{ \begin{matrix}y = \frac{3}{2}x − \frac{5}{2}, \\ y = −x, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x = 1, \\ y = −1, \end{matrix}

\{ \begin{matrix}y = x, \\ y = −x, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x = 0, \\ y = 0. \end{matrix}

Aplicand formula pentru aria triunghiului cu varfurile date A(x_{1}; y_{1}), B(x_{2}; y_{2}), C(x_{3}; y_{3}):

S = \frac{1}{2} | | \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{matrix} | |

se obtine

S = \frac{1}{2} | | \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 5 & −1 & 0 \end{matrix} | | = \frac{1}{2} | −5 − 5 |= \frac{1}{2} | −10 |= \frac{1}{2} · 10 = 5.

Raspuns: S = 5 (un.p.).

11. log_{2}(x^{2} − x + b) = log_{2}(−3x + b) ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − x + b = −3x + b, \\ −3x + b > 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} + 2x = 0, \\ x < \frac{b}{3}, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = 0, \\ x = −2, \end{matrix} \\ x < \frac{b}{3}, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x = 0, \\ x < \frac{b}{3}, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x = −2, \\ x < \frac{b}{3}, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x = 0, \\ b > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x = −2, \\ b > −6, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x ∈ ∅, \\ b ∈ (−∞; −6], \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x = −2, \\ b ∈ (−6; 0], \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = 0, \\ x = −2, \end{matrix} \\ b ∈ (0; +∞). \end{matrix} \end{matrix}

Raspuns: S = \{ \begin{matrix}∅, & daca b ∈ (−∞; −6]; \\ \{−2\}, & daca b ∈ (−6; 0]; \\ \{−2; 0\}, & daca b ∈ (0; +∞). \end{matrix}

12.

[figure: A; M; B; N; O; C]

Fie \{AM\} ⋂\{BN\} = \{O\}. Cum BN⊥AM si AO = \frac{2}{3}a (medianele triunghiului in punctul

de intersectie se impart in raportul 2:1 socotind de la varf), S_{△ABN} = \frac{1}{2}BN ·AO = \frac{1}{2}b· \frac{2}{3}a = \frac{ab}{3}. Cum S_{△ABC} = 2S_{△ABN} (proprietatea medianei), rezulta

S_{△ABC} = 2 · \frac{ab}{3} = \frac{2ab}{3}(un. p.)

Raspuns: S = \frac{2ab}{3} (un.p.).

Schema de notare

Scor maxim Nr. 1 — 3 puncte Nr. 2 — 3 puncte Nr. 3 — 3 puncte Nr. 4 — 4 puncte Nr. 5 — 5 puncte Nr. 6 — 5 puncte Nr. 7 — 5 puncte Nr. 8 — 4 puncte Nr. 9 — 7 puncte Nr. 10 — 8 puncte Nr. 11 — 8 puncte Nr. 12 — 6 puncte total: 61 puncte

Nota ”10” — 60-61 puncte ”9” — 55-59 puncte ”8” — 48-54 puncte ”7” — 39-47 puncte ”6” — 30-38 puncte ”5” — 21-29 puncte ”4” — 13-20 puncte ”3” — 6-12 puncte ”2” — 2-5 puncte ”1” — 0-1 puncte