Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, 2001 Profilul real

Timp alocat: 180 minute.

1. Intre care numere intregi consecutive se afla numarul log_{\frac{1}{7}} 143?

2. Dati exemplu de o functie care nu este definita in punctul de abcisa x = 3, dar are limita finita in acest punct.

3. Determinati termenul al patrulea al dezvoltarii binomului (\sqrt{2x} − \frac{x}{2})^{6}.

4. Cercurile de ecuatii x^{2} + y^{2} = −4x si x^{2} + y^{2} = 4y au o coarda comuna. Scrieti ecuatia dreptei ce contine aceasta coarda.

5. Fie polinomul P (x) = x^{3} − 2x^{2} − 7x − 3. Calculati restul impartirii polinomului P (x) la binomul x − a, daca α = 3 − i.

6. Rezolvati inecuatia \frac{\sqrt{3x^{2} − 3}}{3x^{2} − 4} ≥ 0.

7. Calculati volumul corpului de rotatie determinat de functia f(x) = −x^{2} + 4x, daca x ∈ [0; 2].

8. Determinati raza cercului circumscris triunghiului dreptunghic cu lungimea unei catete egale cu 5cm si raza cercului inscris egala cu 2cm.

9. Rezolvati ecuatia

2 − 3 log_{125}(x + 3)^{2} = 4 log_{25} \frac{x − 5}{x − 3}.

10. Pentru ce valori ale parametrului real m functia f : R ⟶ R, f(x) = 2(m^{2}x + 3) − x(21 − mx) admite un minim de abcisa x = 0, 5.

11. Rezolvati sistemul de ecuatii in multimea numerelor reale

sin x + \sqrt{y} + z^{2} = 14,
2 sin x + \sqrt{y} − z^{2} = −3,
3 sin x + \sqrt{y} − 2z^{2} = −11.

12. Aria sectiunii diagonale a unei piramide patrulaterale regulate este egala cu aria bazei. Determinati volumul piramidei, daca lungimea muchiei laterale a piramidei este egala cu 5cm.

Solutii

1. Cum 49 < 143 < 343, rezulta log_{\frac{1}{7}} 343 < log_{\frac{1}{7}} 143 < log_{\frac{1}{7}} 49 (functia logaritmica f(x) = log_{a} x pentru a ∈ (0; 1) este strict descrescatoare) sau

−3 < log_{\frac{1}{7}} 143 < −2

adica numarul log_{\frac{1}{7}} 143 se afla intre numerele consecutive intregi −3 si −2.

2. De exemplu, f : R \ \{3\} ⟶ R, f(x) = \frac{x^{2} − 9}{x − 3}. In adevar,

lim_{x→3} f(x) = lim_{x→3} \frac{(x − 3)(x + 3)}{(x − 3)} = lim_{x→3}(x + 3) = 6.

3. Se aplica formula termenii de rangul (k + 1) in dezvoltarea binomului (a + b)^{n}

T_{k+1} = C_{n}^{k}a^{n−k}b^{k},

unde n = 6, k + 1 = 4, de unde k = 3, a = (2x)^{\frac{1}{2}} si b = −\frac{x}{2}. Rezulta T_{4} = C_{6}^{3}(2x)^{\frac{3}{2}} (−\frac{x}{2})^{3} = = −5\sqrt{2}x^{4}\sqrt{x}.

4. Se rezolva sistemul de ecuatii

\{ \begin{matrix}x^{2} + y^{2} = −4x, \\ x^{2} + y^{2} = 4y, \end{matrix}

si se obtin punctele de intersectie ale cercurilor date: A(0; 0) si B(−2; 2). Se scrie ecuatia dreptei ce trece prin aceste puncte:

\frac{x − 0}{−2 − 0} = \frac{y − 0}{2 − 0}

de unde y = −x. Asadar ecuatia dreptei ce contine coarda data este y = −x.

5. Cum P (3−i) = (3−i)^{3}−2(3−i)−7(3−i)−3 = 27−27i+9i^{2}−i^{3}−18+12i−2i^{2}−21+7i−3 = = −22 − 7i, rezulta ca restul impartirii polinomului data la x − α, unde α = 3 − i este egal cu −22 − 7i.

6.

\begin{matrix}\frac{\sqrt{3x^{2} − 3}}{3x^{2} − 4} ≥ 0 ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}3x^{2} − 3 = 0, \\ 3x^{2} − 4 ≠ 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}3x^{2} − 3 > 0, \\ 3x^{2} − 4 > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = 1, x = −1, \\ x ∈ (−∞; −\frac{2}{\sqrt{3}}) ∪ (\frac{2}{\sqrt{3}}; +∞) , \end{matrix} ⇔ \\ ⇔ x ∈ (−∞; −\frac{2}{\sqrt{3}}) ∪ \{−1\} ∪ \{1\} ∪ (\frac{2}{\sqrt{3}}; +∞) . \end{matrix}

7. Se aplica formula pentru determinarea volumului corpului de rotatie generat de rotatia in jurul axei Ox a subgraficului functiei f : [a, b] ⟶ R

V = π ∫_{a}^{b} f^{2}(x)dx,

si se obtine

\begin{aligned}V & = π ∫_{0}^{2}(−x^{2} + 4x)^{2}dx = π ∫_{0}^{2}(x^{2} − 8x^{3} + 16x^{2})dx = \\ & = π (\frac{x^{5}}{5} − 2x^{4} + \frac{16}{3}x^{3})|_{0}^{2} = π (\frac{32}{5} − 32 + \frac{128}{3}) = \frac{256}{15}π(un.vol.) \end{aligned}

[figure: C; D; B; E; A; F; O]

Fie ABC - triunghi dreptunghic (AC ⊥ BC) cu AC = 5cm si OD = OE = OF = = r = 2cm. (O - centrul cercului inscris in triunghiul ABC). Fie BF = x. Atunci BD = x si cum CE = 2cm, (OECD - patrat) rezulta AE = AF = 3cm si AB = 3 + x. Se aplica teorema lui Pitagora

5^{2} + (2 + x)^{2} = (3 + x)^{2},

si se obtine x = 10cm. Prin urmare ipotenuza AB = 3 + 10 = 13(cm), iar raza cercului circumscris acestui triunghi R = \frac{c}{2} = 6, 5(cm) (centrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic se afla in mijlocul ipotenuzei).

9. Domeniul valorilor admisibile (DVA) se determina din sistemul de inecuatii

\{ \begin{matrix}\frac{x − 5}{x − 3} > 0, \\ (x + 3)^{2} > 0 \end{matrix}

de unde x ∈ (−∞; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (5; +∞).

In DVA ecuatia este echivalenta cu

2 − 3 · \frac{1}{3} · 2 log_{5} |x + 3| = 4 · \frac{1}{2} log_{5} \frac{x − 5}{x − 3}

sau

1 − log_{5} |x + 3| = log_{5} \frac{x − 5}{x − 3},

1 = log_{5} (\frac{x − 5}{x − 3} · |x + 3|)

de unde se obtine ecuatia

5 = \frac{x − 5}{x − 3}|x + 3|.

Se tine seama de DVA si se considera doua cazuri:

1. x ∈ (−∞; −3). Atunci |x + 3| = −(x + 3) si ecuatia devine 5(x − 3) = −(x − 5)(x + 3).

Se rezolva ecuatia patrata obtinuta x^{2} + 3x − 30 = 0 si se obtine x_{1} = \frac{−3 − \sqrt{129}}{2} si

x_{2} = \frac{−3 + \sqrt{129}}{2} (nu verifica conditia x < −3).

2. x ∈ (−3; 3) ∪ (5; +∞). Atunci |x + 3| = x + 3 si ecuatia devine

5(x − 3) = (x − 5)(x + 3)

sau x^{2} − 7x = 0, de unde x_{1} = 0 si x_{2} = 7.

Asadar, multimea solutiilor ecuatiei date este \{\frac{−3−\sqrt{129}}{2}; 0; 7\}.

10. Functia data, f(x) = mx^{2} +(2m^{2} −21)x+6 pentru m ≠ 0, reprezinta un trinom patrat, ce admite minim in x = \frac{1}{2}, daca

\{ \begin{matrix}m > 0, \\ −\frac{2m^{2} − 21}{2m} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

(parabola este cu ramurile in sus si varful ei se afla in x = \frac{1}{2}). Se rezolva sistemul si se obtine m = 3.

Pentru m = 0 functia f devine liniara si nu poate admite minim. Asadar m = 3.

11. Se aduna primele doua ecuatii si se obtine 3 sin x + 2\sqrt{y} = 11. Se multiplica prima ecuatie cu 2 si se aduna cu a treia ecuatie: 5 sin x + 3\sqrt{y} = 17. Din sistemul obtinut rezulta \sqrt{y} = 4 sau y = 16. In plus, sin x = 1 sau x = \frac{π}{2} + 2πk, k ∈ Z. Se substituie x si y in prima ecuatie (de exemplu) si se obtine z^{2} = 9, de unde z = ±3. Asadar:

x = \frac{π}{2} + 2πk, k ∈ Z,  y = 16,  z = ±3.

12.

[figure: A; B; C; D; O; S]

Fie SABCD - piramida patrulatera regulata cu SB = SC = SD = SA = 5cm, AB = a (latura patratului din baza), SO ⊥ AC (h = SO - inaltimea piramidei). Atunci AC = a\sqrt{2},

S_{△SAC} = \frac{1}{2}AC · SO = \frac{1}{2}\sqrt{2}ah = \frac{1}{\sqrt{2}}ah. S_{ABCD} = a^{2}. Conform ipotezei a^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}ah, de unde

h = \sqrt{2}a. Se considera triunghiul dreptunghic SOC si se obtine

OC^{2} + SO^{2} = SC^{2}, adica (\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2} + (\sqrt{2}a)^{2} = 5^{2}

sau \frac{a^{2}}{2} + 2a^{2} = 25, de unde a^{2} = 10 si a = \sqrt{10}(cm).

Asadar,

V = \frac{1}{3}a^{2}h = \frac{1}{3}10\sqrt{2}\sqrt{10} = \frac{20\sqrt{5}}{3}(cm^{3})