Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, 2000 Profilurile: fizica-matematica, economie, informatica-matematica

Timp alocat: 180 minute.

1. Stabiliti carei multimi de numere ii apartine valoarea expresiei \frac{\sqrt{9 − 4\sqrt{5}} + 1}{\sqrt{5} − 1}. (5 puncte)

2. Fie functiile f : R ⟶ R, f(x) = x^{2} − 3x + 2; g : R ⟶ R, g(x) = 2x − 3. Determinati f(g(x)). (4 puncte)

3. Determinati valorile parametrului real a pentru care ecuatia \sqrt{3} cos x + sin x = a admite radacini. (6 puncte)

4. Determinati lungimea liniei definita de ecuatia x^{2} + 5x + y^{2} = 0. (7 puncte)

5. Rezolvati inecuatia D(x) ≥ 0, unde

D(x) = | \begin{matrix}−1 & x & x \\ x & −1 & x \\ x & x & −1 \end{matrix} |

(8 puncte)

6. Determinati exponentul puterii la care trebuie ridicat \sqrt{2} + \sqrt{3}, folosind formula bino-

mului, astfel incat \frac{T_{3}}{T_{4}} = \frac{\sqrt{6}}{4}. (8 puncte)

7. Calculati integrala

∫_{0}^{1} \frac{−7x − 4}{3x^{2} + 5x + 2}dx.

(9 puncte)

8. Centrul cercului inscris intr-un triunghi isoscel imparte inaltimea lui in segmente de lungime, respectiv de, 5 cm si 3 cm. Aflati lungimile laturilor triunghiului. (9 puncte)

9. Sa se determine pentru ce valori ale parametrului real m functia f : R ⟶ R, f(x) = e^{x}(m − 3x − x^{2}) este monoton descrescatoare pe R. (10 puncte)

10. Descompuneti in factori ireductibili polinomul P (X) = X^{4} + 13X^{2} + 36 peste multimea C. (9 puncte)

11. Aria sectiunii diagonale a unei piramide patrulatere regulate este S. O muchie laterala a ei formeaza cu planul bazei piramidei un unghi de masura β. Aflati volumul piramidei. (12 puncte)

12. Determinati toate valorile parametrului real a, pentru care sistemul:

\{ \begin{matrix}y + ln \frac{|y|}{y} = x \\ y + 2(x + a)^{2} = x + 2a + 4 \end{matrix}

admite o singura solutie. (13 puncte)

Solutii

1. Se observa ca \sqrt{9 − 4\sqrt{5}} = \sqrt{4 + 5 − 2 · 2\sqrt{5}} = \sqrt{(2 − \sqrt{5})^{2}} = |2 − \sqrt{5}| = \sqrt{5} − 2 si se obtine

\frac{\sqrt{9 − 4\sqrt{5}} + 1}{\sqrt{5} − 1} = \frac{\sqrt{5} − 2 + 1}{\sqrt{5} − 1} = \frac{\sqrt{5} − 1}{\sqrt{5} − 1} = 1.

Asadar, valoarea expresiei date este un numar natural.

Nota: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C … (a se vedea si sesiunea 1999).

2. Se utilizeaza definitia functiei compuse si se obtine

f(g(x)) = (2x − 3)^{2} − 3(2x − 3) + 2 = 4x^{2} − 12x + 9 − 6x + 9 + 2 = 4x^{2} − 18x + 20.

3. Ecuatia a sin x + b cos x = c are solutii daca si numai daca |\frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} | ≤ 1 (a se vedea

Ecuatii trigonimetrice, metoda unghiului auxiliar). Prin urmare, ecuatia data are solutii doar pentru |\frac{a}{2}| ≤ 1, de unde a ∈ [−2, 2].

4. Cum x^{2} + 5x + y^{2} = 0 ⇔ x^{2} + 2 · \frac{5}{2}x + \frac{25}{4} − \frac{25}{4} + y^{2} = 0 ⇔ (x + \frac{5}{2})^{2} + y^{2} = (\frac{5}{2})^{2},

rezulta ca linia data este o circumferinta de raza R = \frac{5}{2} cu centrul in punctul M (−\frac{5}{2}; 0). Se aplica formula pentru determinarea lungimii circumferintei si se obtine

l = 2πR = 2π \frac{5}{2} = 5π(un.lungime).

5. Se utilizeaza proprietatile determinantilor si se obtine

\begin{matrix}D(x) = | \begin{matrix}−1 & x & x \\ x & −1 & x \\ x & x & −1 \end{matrix} | = | \begin{matrix}2x − 1 & 2x − 1 & 2x − 1 \\ x & −1 & x \\ x & x & −1 \end{matrix} | = (2x − 1) | \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x & −1 & x \\ x & x & −1 \end{matrix} | = \\ = (2x − 1) | \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x + 1 & 0 & x + 1 \\ x + 1 & x + 1 & 0 \end{matrix} | = (2x − 1)(x + 1)^{2} | \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} | = (2x − 1)(x + 1)^{2} \end{matrix}

Inecuatia D(x) ≥ 0 devine (2x − 1)(x + 1)^{2} ≥ 0. Se rezolva utilizand metoda intervalelor

[figure: −; −; +; −1; \frac{1}{2}]

si se obtine x ∈ \{−1\} ∪ [\frac{1}{2}; +∞).

6. Se utilizeaza formula pentru termenul de rang k din dezvoltarea binomului lui Newton (a + b)^{n}:

T_{k+1} = C_{n}^{k}a^{n−k}b^{k}, (k = \overline{0, n} )

si se obtine

\frac{T_{3}}{T_{4}} = \frac{C_{n}^{2}(\sqrt{2})^{n−2}(\sqrt{3})^{2}}{C_{n}^{3}(\sqrt{2})^{n−3}(\sqrt{3})^{3}} = \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{3}} \sqrt{2} · \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{4}

sau, tinand seama ca C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n − k)!},

\frac{\frac{n(n − 1)}{2}}{\frac{n(n − 1)(n − 2)}{2 · 3}} = \frac{3}{4},

de unde rezulta n − 2 = 4 si n = 6.

7. Cum integrantul reprezinta o functie rationala, il descompunem in fractii simple (tinand seama ca radacinile trinomului din numitor sunt reale si de multiplicitatea unu):

\frac{−7x − 4}{3x^{2} + 5x + 2} = \frac{−7x − 4}{3 (x + \frac{2}{3}) (x + 1)} = \frac{A}{3x + 2} + \frac{B}{x + 1} = \frac{A(x + 1) + B(3x + 2)}{(3x + 2)(x + 1)}.

Utilizand metoda coeficientilor nedeterminati se obtine A = 2 si B = −3. Asadar

\begin{matrix}∫ \frac{−7x − 4}{3x^{2} + 5x + 2}dx = ∫ (\frac{2}{3x + 2} − \frac{3}{x + 1}) dx = 2 ∫ \frac{dx}{3x + 2} − 3 ∫ \frac{dx}{x + 1} = \\ = \frac{2}{3} ln |3x + 2| − 3 ln |x + 1| + C. \end{matrix}

Conform formulei Newton-Leibniz

∫_{0}^{1} \frac{−7x − 4}{3x^{2} + 5x + 2}dx = (\frac{3}{2} ln |3x + 2| − 3 ln |x + 1|)|_{0}^{1} =

= \frac{2}{3}(ln 5 − ln 2) − 3 ln 2 = \frac{2}{3} ln 5 − \frac{11}{3} ln 2.

8. Fie ABC − tringhiul isoscel (AB = BC), BD − inaltimea (BD ⊥ AC) O ∈ BD − centrul cercului inscris in △ABC, OB = 5cm, OD = 3cm, si prin urmare BD = 8(cm). Fie E − punctul de tangenta a laturii AB cu cercul. Atunci OE ⊥ AB si prin urmare △BOE − dreptunghic. Cum OE = OD = 3, BO = 5, conform teoremei Pitagora

BE = \sqrt{BO^{2} − OE^{2}} = \sqrt{25 − 9} = 4(cm).

[figure: A; D; C; B; E; O]

Cum triunghiurile dreptunghice BOE si ABD sunt asemenea (∠B − comun), rezulta:

\frac{AB}{BO} = \frac{BD}{BE} = \frac{AD}{OE},

de unde

\begin{matrix}AB = \frac{BO · BD}{BE} = \frac{5 · 8}{4} = 10(cm), \\ AD = \frac{BD · OE}{BE} = \frac{8 · 3}{4} = 6(cm). \end{matrix}

Cum BD − inaltimea coborata pe baza tringhiului isoscel ABC, rezulta BD − mediana si AC = 2AD = 12(cm).

Asadar AB = BC = 10cm, AC = 12cm.

9. Functia f : X ⟶ R, X ⊂ R este monoton descrescatoare pe X daca f′(x) ≤ 0 pentru orice x ∈ X. Rezulta

f′(x) = e^{x}(m − 3x − x^{2}) + e^{x}(−3 − 2x) = −e^{x}(x^{2} + 5x − m + 3) ≤ 0.

Cum e^{x} > 0 pentru orice x ∈ R, inecuatia devine

x^{2} + 5x − m + 3 ≥ 0.

Ultima inecuatie va avea solutii x ∈ R daca si numai daca discriminantul inecuatiei este nepozitiv (a se vedea Formule, Dictionare, Trinomul patrat).

Asadar: 25 − 4(3 − m) ≤ 0, de unde m ≤ −\frac{13}{4}.

10. Se considera ecuatia bipatrata

x^{4} + 13x^{2} + 36 = 0,

solutiile careia (in multimea numerelor complexe) sunt x_{1} = −2i, x_{2} = 2i, x_{3} = −3i, x_{4} = 3i. Prin urmare

X^{4} + 13X^{2} + 6 = (X + 2i)(X − 2i)(X + 3i)(X − 3i).

11.

[figure: A; B; C; D; O; S]

Fie SABCD − piramida patrulaterala regulata (ABCD − patrat), aria △SAC = S, ∡SAC = β, O − centrul patratului ABCD. Fie AO = a. Atunci AC = 2a; SO = AO · tg β = = a tg β (din triunghiul dreptunghic SAO) si aria triunghiului SAC

S = \frac{1}{2}AC · SO = \frac{1}{2}2a · a tg β = a^{2} tg β

de unde a^{2} = S ctg β si a = \sqrt{S ctg β}. Prin urmare AB^{2} = a^{2} + a^{2} = 2a^{2} = 2S ctg β (aria bazei piramidei), SO = a tg β = \sqrt{S ctg β} · tg β (inaltimea piramidei) si

V = \frac{1}{3}S_{ABCD} · SO = \frac{2}{3}S ctg β · \sqrt{S ctg β} · tg β = \frac{2}{3}S\sqrt{S ctg β}(un.cub.)

12. Din prima ecuatie a sistemului rezulta y = x si x > 0 (expresia ln \frac{|y|}{y} este definita doar

pentru y > 0 − a se vedea Formule, Dictionare, Modul). Atunci a doua ecuatie devine

2(x + a)^{2} = 2a + 4 sau x^{2} + 2ax + a^{2} − a − 2 = 0.

Ultima ecuatie are solutie unica daca:

D = 4a^{2} − 4(a^{2} − a − 2) = 0 ⇒ a = −2 si x = 2 (x > 0)

si o singura solutie pozitiva, daca

[ \begin{matrix}a^{2} − a − 2 < 0, \\ \{ & \begin{matrix}a^{2} − a − 2 = 0, \\ −a > 0 \end{matrix} \end{matrix}

de unde a ∈ [−1; 2).

Asadar, a ∈ {−2} ∪ [−1, 2).