Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, sesiunea iunie, 1999 Profilurile: chimie-biologie, chimie-fizica Varianta II

1. Sa se determine carei multimi de numere apartine valoarea expresiei numerice

\frac{3}{6 − 2\sqrt{6}} + \frac{3}{6 + 2\sqrt{6}}.

Solutie. Se rationalizeaza numitorii si se obtine

\frac{3}{6 − 2\sqrt{6}} + \frac{3}{6 + 2\sqrt{6}} = \frac{3(6 + 2\sqrt{6})}{36 − 24} + \frac{3(6 − 2\sqrt{6})}{36 − 24} = \frac{18 + 6\sqrt{6} + 18 − 6\sqrt{6}}{12} = \frac{36}{12} = 3.

Raspuns: Multimii numerelor naturale. Nota: Se tine seama ca N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C …

2. Dati exemplu de o ecuatie de gradul doi care admite radacini reale de semne diferite. Solutie. Fie x_{1} = 1, x_{2} = −2. Se utilizeaza teorema reciproca a lui Viette, si se obtine

x^{2} + x − 2 = 0.

3. Sa se rezolve ecuatia (x^{2} − 4) · \sqrt{x + 1} = 0. Solutie.

(x^{2} − 4)\sqrt{x + 1} = 0 ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}\sqrt{x + 1} = 0, \\ x^{2} − 4 = 0, \end{matrix} \\ x ≥ −1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = −1, \\ x = 2, x = −2, \end{matrix} \\ x ≥ −1, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = −1, \\ x = 2. \end{matrix}

4. Sa se determine p, q ∈ R astfel incat polinomul 3x^{4} − 4x^{3} + px^{2} + q sa se divida cu (x − 1)^{2}. Solutie. Cum x = 1 este radacina de multiplicitatea doi a polinomului p(x) = 3x^{4}−4x^{3}+px^{2}+q

rezulta ca p(x_{0}) = 0 si p′(x_{0}) = 0. De aici se obtine sistemul

\{ \begin{matrix}p(x_{0}) = 0, \\ p′(x_{0}) = 0, \end{matrix} sau \{ \begin{matrix}p + q − 1 = 0, \\ 2p = 0, \end{matrix} ⇒ \{ \begin{matrix}q = 1, \\ p = 0. \end{matrix}

5. Fie functiile f(x) = 0, 5\sqrt{x^{3} + 1}, g(x) = xe^{−x}. Demonstrati ca f′(2) este radacina a ecuatiei g′(x).

Solutie. Se determina f′(x), f′(2) si g′(x):

f′(x) = (\frac{1}{2}\sqrt{x^{3} + 1})′ = \frac{1}{2} ((x^{3} + 1)^{\frac{1}{2}} )′ = \frac{1}{2} · \frac{1}{2}(x^{3} + 1)^{− \frac{1}{2}} · 3x^{2};

f′(2) = \frac{1}{4} · \frac{1}{\sqrt{8 + 1}} · 3 · 4 = 1;

g′(x) = (xe^{−x})′ = x′ · e^{−x} + x · (e^{−x})′ = e^{−x} + xe^{−x} · (−1) = e^{−x}(1 − x).

Ecuatia g′(x) = 0 are unica solutie x = 1, care coincide cu f′(2).

6. Fie ABC un triunghi oarecare cu inaltimea AA′ si mediana AM. Daca AA′ = 12cm, AM = 13cm, BC = 30cm, sa se calculeze lungimile laturilor AB si AC a triunghiului.

Solutie.

[figure: B; A′; M; C; A]

Se considera triunghiul dreptunghic AA′M (AA′ ⊥ BC) si utilizand teorema lui Pitagora se determina A′M:

A′M = \sqrt{AM^{2} − (AA′)^{2}} = \sqrt{169 − 144} = 5(cm).

Cum AM mediana, rezulta BM = MC = \frac{1}{2}BC = 15(cm) si BA′ = BM − A′M = 10(cm); A′C = A′M + MC = 20(cm).

Din △AA′B (dreptunghic) se determina AB:

AB = \sqrt{(BA′)^{2} + (AA′)^{2}} = \sqrt{100 + 144} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}(cm).

Din △AA′C (dreptunghic) se determina AC:

AC = \sqrt{(A′C)^{2} + (AA′)^{2}} = \sqrt{400 + 144} = \sqrt{544} = 4\sqrt{34}(cm).

7. Pentru ce valori ale parametrului real a, dreapta y = −10x + a este tangenta la graficul functiei f(x) = 3x^{2} − 4x − 2.

Solutie. Dreapta y = −10x + a este tangenta la parabola f(x) = 3x^{2} − 4x − 2, daca si numai daca graficele acestor functii se intersecteaza o singura data, adica ecuatia 3x^{2} −4x−2 = −10x+a are o singura radacina. Prin urmare este necesar ca discriminantul ecuatiei patrate

3x^{2} + 6x − 2 − a = 0

sa fie egal cu zero. Deci, se obtine ecuatia

36 + 4 · 3(2 + a) = 0,

cu solutia a = −5.

8. Determinati aria multimii marginite de graficul functiei f(x) = 2x − 2 si graficul primitivei functiei F (x), daca F (0) = 1.

Solutie. Se determina primitiva functiei f(x) = 2x − 2:

F (x) = ∫ (2x − 2)dx = x^{2} − 2x + C.

Cum F (0) = 1, rezulta 1 = C si, prin urmare se cere aria figurii marginite de graficele functiilor f(x) = 2x − 2 si F (x) = x^{2} − 2x + 1 = (x − 1)^{2}.

Se determina limitele de integrare rezolvand ecuatia f(x) = F (x) sau

2(x − 1) = (x − 1)^{2},

de unde x_{1} = 1, x_{2} = 3. Asadar

S = ∫_{1}^{3}[2x − 2 − (x^{2} − 2x + 1)]dx = ∫_{1}^{3}(4x − x^{2} − 3)dx = (2x^{2} − \frac{x^{3}}{3} − 3x)_{1}^{3} = \frac{4}{3}(un.arie).

Nota: Problema data nu e formulata corect. Formularea corecta: Determinati aria multimii marginite de graficul functiei f(x) = 2x − 2 si graficul functiei F (x), unde F (x) este primitiva functiei f(x) si F (0) = 1.

9. Rezolvati inecuatia log_{|2−x|}(x^{2} − x − 2) ≥ log_{|2−x|}(x + 6). Solutie. Inecuatia este echivalenta cu totalitatea

log_{|2−x|}(x^{2} − x − 2) ≥ log_{|2−x|}(x + 6) ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}|2 − x| > 1, \\ x^{2} − x − 2 ≥ x + 6, \\ x + 6 > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < |2 − x| < 1, \\ x^{2} − x − 2 < x + 6, \\ x^{2} − x − 2 > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ x ∈ (−6; −2] ∪ (2; 3] ∪ [4; +∞).

Rezolvarea primului sistem:

\{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}2 − x > 1, \\ 2 − x < −1, \end{matrix} \\ x^{2} − 2x − 8 ≥ 0, \\ x > −6, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x < 1, \\ x > 3, \end{matrix} \\ [ & \begin{matrix}x ≥ 4, \\ x ≤ −2, \end{matrix} \\ x > −6, \end{matrix} ⇔ x ∈ (−6; −2] ∪ [4; +∞).

Rezolvarea ultimului sistem al totalitatii

\{ \begin{matrix}−1 < 2 − x < 1, \\ x ≠ 2, \\ x^{2} − 2x − 8 ≤ 0, \\ x^{2} − x − 2 > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}1 < x < 3, \\ x ≠ 2, \\ −2 ≤ x ≤ 4, \\ [ & \begin{matrix}x < −1, \\ x > 2, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x ∈ (2; 3).

10. Aria bazei unui con circular drept este 9π(cm^{2}), iar aria suprafetei totale este 24π(cm^{2}). Aflati volumul conului circular drept.

Solutie.

[figure: A; O; B; S]

Fie r = OB raza bazei conului, l = SB-generatoarea lui si h = SO-inaltimea. Din ipoteza:

\{ \begin{matrix}πr^{2} = 9π, \\ πr^{2} + πrl = 24π, \end{matrix}

de unde r = 3cm si l = 5cm. Atunci inaltimea SO se determina din △SOB (dreptunghic)

h = SO = \sqrt{SB^{2} − OB^{2}} = \sqrt{25 − 9} = 4(cm).

Asadar

V = \frac{1}{3}πr^{2}h = \frac{1}{3}π · 9 · 4 = 12π(cm^{3}).