Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, sesiunea iunie, 1999 Profilurile: chimie-biologie, chimie-fizica Varianta I

1. Fie functia

f : R^{∗} → R, f(x) = \frac{2^{x}}{2^{2x} − 1}.

Calculati f(log_{2} 3).

Solutie.

f(log_{2} 3) = \frac{2^{log_{2} 3}}{2^{2 log_{2} 3} − 1}.

Utilizand proprietatile logaritmului se obtine: 2^{log_{2} 3} = 3 si 2^{2 log_{2} 3}−1 = (2^{log_{2} 3})^{2}−1 = 3^{2}−1 = 8.

Astfel f(log_{2} 3) = \frac{3}{8}.

2. Scrieti o ecuatie de gradul doi cu radacini reale, astfel incat produsul radacinilor sa fie egal cu 4.

Solutie. Fie x_{1} = 1, x_{2} = 4. Atunci x_{1} · x_{2} = 1 · 4 = 4, x_{1} + x_{2} = 5 si utilizand teorema reciproca a lui Viete, se obtine ecuatia patrata

x^{2} − 5x + 4 = 0.

3. Fie perechea de numere reale (x; y) ce verifica egalitatea x − i = yi. Sa se determine valorile reale ale lui a pentru care aceasta pereche de numere reale verifica si egalitatea x−i^{2} = 2a − y.

Solutie. Avem x − i = yi ⇔ x − i(y + 1) = 0. Se utilizeaza definitia egalitatii a doua numere complexe: Rez_{1} = Rez_{2} si Imz_{1} = Imz_{2} si se obtine sitemul:

\{ \begin{matrix}x = 0, \\ y + 1 = 0, \end{matrix}

de unde x = 0 si y = −1.

Cum i^{2} = −1,

x − i^{2} = 2a − y ⇔ x + 1 = 2a − y,

sau tinand seama ca x = 0 si y = −1, obtinem

1 = 2a + 1,

de unde a = 0.

4. Care termen din dezvoltarea binomului ( \frac{1}{\sqrt[3]{a^{2}}} + ^{4} \sqrt{a^{3}})^{17} nu-l contine pe a.

Solutie. Cum \frac{1}{\sqrt[3]{a^{2}}} = a^{− \frac{2}{3}} , ^{4} \sqrt{3} = a^{\frac{3}{4}} , binomul se scrie (a^{− \frac{2}{3}} + a^{\frac{3}{4}} )^{17}. Utilizand formula

coeficientului binomial

T_{k+1} = C_{17}^{k} (a^{− \frac{2}{3}} )^{17−k} (a^{\frac{3}{4}} )^{k} ,

se obtine ecuatia

\frac{−2(17 − k)}{3} + \frac{3k}{4} = 0,

sau −8(17 − k) + 9k = 0, de unde k = 8.

Asadar

T_{9} = C_{17}^{8} = \frac{17!}{8!9!} = 24310.

5. Pentru ce valori ale parametrului real p functia f(x) = cos x − px + 2 este monoton crescatoare pe R.

Solutie. f′(x) = (cos x − px + 2)′ = − sin x − p. Functia f este monoton crescatoare pe R, daca

− sin x − p ≥ 0 pentru ∀x ∈ R.

Cum −1 ≤ sin x ≤ 1 pentru x ∈ R inecuatia sin x ≤ −p va avea solutiile x ∈ R, daca si numai daca −p ≥ 1 sau p ≤ −1.

6. Un trapez isoscel are baza mica egala cu laturile neparalele egale cu 16cm, iar diagonala perpendiculara pe latura neparalela. Sa se afle lungimea diagonalei si aria trapezului.

[figure: A; B; C; E; D; α]

Solutie. Fie ^{}C̸DA = ^{}B̸CA = α (trapez isoscel). Din △ACD-dreptunghic (AC ⊥ CD) rezulta ^{}C̸AD = 90^{∘} − α si ^{}C̸AD = ^{}B̸CA (ca unghiuri alterne interne). Cum AB = BC = 16 (ipoteza) rezulta ca triunghiul ABC este isoscel si ^{}B̸AC = ^{}B̸CA = 90^{∘} − α.

Asadar AC - bisectoarea unghiului BAC si

α = 2(90^{∘} − α),

de unde α = 60^{∘}. Din △ACD (dreptunghic) se obtine: AD = 2 · CD = 2 · 16 = 32(cm) (CD = 16(cm) este cateta opusa unghiului de 30^{∘}) si AC = CD tg 60^{∘} = 16\sqrt{3}(cm).

Se determina inaltimea trapezului CE:

CE = \frac{AC · CD}{AD} sau CE = \frac{16\sqrt{3} · 16}{32} = 8\sqrt{3}(cm).

si aria trapezului:

S = \frac{BC + AD}{2} · CE = \frac{16 + 32}{2} · 8\sqrt{3} = 192\sqrt{3}(cm^{2}).

7. Pentru ce valori ale parametrului real a se verifica egalitatea

2f′′′(x) + 3f′′(x) − 8f′(x) + 3f(x) = 0, unde f(x) = e^{ax}.

Solutie. Se determina primele trei derivate ale functiei f:

f′(x) = ae^{ax}, f′′(x) = a^{2}e^{ax}, f′′′(x) = a^{3}e^{ax}

si se obtine ecuatia

2a^{3}e^{ax} + 3a^{2}e^{ax} − 8ae^{ax} + 3e^{ax} = 0,

sau, cum e^{ax} ≠ 0,

2a^{3} + 3a^{2} − 8a + 3 = 0.

Se grupeaza convenabil,

(2a^{3} + 6a^{2}) − (3a^{2} + 9a) + a + 3 = 0,
2a^{2}(a + 3) − 3a(a + 3) + (a + 3) = 0,

si se obtine

(a + 3)(2a^{2} − 3a + 1) = 0

sau (a + 3)(a − 1)(2a − 1) = 0, de unde a = −3, a = 1, a = \frac{1}{2}.

8. Determinati primitiva functiei f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} + \frac{2}{x − 1}, graficul careia trece prin punctul

A(0; 4).

Solutie. Utilizand proprietatile integralei nedefinite se obtine:

∫ (\frac{1}{2\sqrt{x + 1}} + \frac{2}{x − 1}) dx = \sqrt{x + 1} + 2 ln |x − 1| + C.

Se determina constanta C (se tine seama ca F (0) = 4)

\sqrt{0 + 1} + 2 ln |0 − 1| + C = 4,
\sqrt{1} + 2 · ln 1 + C = 4, 1 + 2 · 0 + C = 4,

de unde C = 3. Asadar F (x) = \sqrt{x + 1} + 2 ln |x − 1| + 3.

9. Rezolvati inecuatia \sqrt{2ax − x^{2}} ≥ a − x, unde a este un parametru real, a > 0.

Solutie.

\sqrt{2ax − x^{2}} ≥ a − x ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}a − x < 0, \\ 2ax − x^{2} ≥ 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}a − x ≥ 0, \\ 2ax − x^{2} ≥ (a − x)^{2}. \end{matrix} \end{matrix}

Rezolvand primul sistem al totalitatii, se obtine

\{ \begin{matrix}a − x < 0, \\ x(2a − x) ≥ 0 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > a, \\ 0 ≤ x ≤ 2a \end{matrix} ⇔ x ∈ (a; 2a]

(s-a tinut seama ca a > 0).

Rezolvand al doilea sistem al totalitatii, se obtine

\{ \begin{matrix}a − x ≥ 0, \\ 2ax − x^{2} ≥ a^{2} − 2ax + x^{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x ≤ a, \\ 2x^{2} − 4ax + a^{2} ≤ 0 \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x ≤ a, \\ a (a − \frac{\sqrt{2}}{2}) ≤ x ≤ a (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) \end{matrix} ⇔ x ∈ [a (1 − \frac{\sqrt{2}}{2}); a] .

Asadar, inecuatia data are solutiile

x ∈ [a (1 − \frac{\sqrt{2}}{2}); 2a] , a > 0.

10. Marimea unghiului dintre inaltimea piramidei triunghiulare regulate si apotema fetei laterale este 30^{∘}. Aflati volumul piramidei, daca se stie ca lungimea apotemei este egala cu 12cm.

[figure: A; B; C; D; O; S]

Solutie. Fie SO inaltimea piramidei, SD-apotema (SD ⊥ BC). Atunci AD ⊥ BC si SO ⊥ AD (teorema celor trei perpendiculare). Din △SOD (dreptunghic):

SO = SD cos^{}D̸SO = SD cos 30^{∘} = 12 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}(cm),

OD = SD sin 30^{∘} = 12 · \frac{1}{2} = 6(cm).

Cum inaltimea intr-o piramida triunghiulara regulata cade in punctul de intersectie al bisec-

toarelor (in acest caz si al medianelor) OD = \frac{1}{3}AD ⇒ AD = 18. Din △ABD (dreptunghic)

AB = \frac{AD}{sin 60^{∘}} = \frac{36}{\sqrt{3}}(cm).

Atunci aria bazei piramidei

S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB^{2} sin 60^{∘} = \frac{1}{2} \frac{36}{\sqrt{3}} \frac{36}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{36 · 9}{\sqrt{3}}(cm^{2})

si volumul piramidei

V = \frac{1}{3}S_{△ABC} · SO = \frac{1}{3} \frac{36 · 9}{\sqrt{3}} · 6\sqrt{3} = 648(cm^{3}).