Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2002 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Teste propuse la a 46-Olimpiada de Matematica a Republicii Moldova Chisinau, 10-13 martie 2002

Ziua a treia, 13 martie 2002 Barajul de selectie pentru Olimpiada Balcanica de Matematica

1. Fie sirul numerelor triunghiulare (T_{n})_{n∈ℕ^{∗}}, T_{n} = \frac{n(n + 1)}{2}.

a) Daca a_{n} este ultima cifra a numarului T_{n}, sa se arate ca sirul (a_{n})_{n∈ℕ^{∗}} este periodic si sa se calculaze perioada lui principala.

b) Daca s_{n} este suma primilor n termeni ai sirului (T_{n}), sa se demonstreze ca pentru orice numar natural n ≥ 3 intre nuimerele s_{n−1} si s_{n} exista cel putin un patrat perfect.

2. Fie multimea A = {1^{3}, 2^{3}, ..., 2000^{3}}. Sa se demonstreze ca exista o partitie a multimii A in 19 submultimi nevide astfel, incat suma elementelor fiecarei submultimi sa fie divizibila cu 2001^{2}.

3. Cercurile C_{1}(O_{1}), C_{2}(O_{2}) si C_{3}(O_{3}) sunt tangente exterior doua cate doua, astfel ca C_{1}∩C_{2} = {A}, C_{1}∩C_{3} = {B} si C_{2}∩C_{3} = {C}. Punctele A_{1} si B_{1} sunt puncte diametral opuse arbitrare ale cercului C_{1}, situate in exteriorul triunghiului ABC astfel, incat AB_{1} ∩C_{2} = {M}, BA_{1} ∩ C_{3} = {N} si AA_{1} ∩ BB_{1} = {P }. Sa se demonstreze ca punctele M, N si P sunt coliniare.

4. Fie sirul de polinoame (P_{n}(X))_{n∈ℕ} definit astfel: P_{0}(X) = X, P_{1}(X) = 4X^{3} + 3X, P_{n+1}(X) = (4X^{2} + 2)P_{n}(X) − P_{n−1}(X), (∀)n ≥ 1. Pentru orice m ∈ ℕ^{∗} consideram multimea A(m) = {P_{n}(m) | n ∈ ℕ}. Sa se demonstreze ca multimile A(m) si A(m + 4) nu au elemente comune.