Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2002 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Teste propuse la a 46-Olimpiada de Matematica a Republicii Moldova Chisinau, 10-13 martie 2002

Ziua a doua, 12 martie 2002 Clasa a VII-a

7.5 Volumul A reprezinta a patra parte din suma volumelor B si C, iar volumul B este a sasea parte din suma volumelor A si C. Ce parte din suma volumelor A si B reprezinta volumul C?

7.6 Sunt date cinci parcele de pamant. Numim divizare a unei parcele de pamant impartirea ei in 3 sau 4 parcele mai mici. Unele din cele 5 parcele se divid, apoi unele din toate parcelele obtinute iarasi se divid, s.a.m.d. In asa mod se continua pana cand numarul total de parcele obtinute este de 4 ori mai mare decat numarul total de divizari efectuate. Sa se afle numarul total de parcele obtinute.

7.7 In triunghiul ABC bisectoarea interioara BD, D ∈ (AC), taie cercul circumscris triunghiului ABC in punctul E. Cercul circumscris triunghiului DEA intersecteaza dreapta AB in punctul F. Sa se demonstreze ca triunghiurile DBC si DBF sunt congruente.

7.8 Sa se demonstreze ca exista o infinitate de triplete (a, b, c) de numere intregi care verifica sirul de rapoarte egale

\frac{2a − b + 6}{4a + c + 2} = \frac{b − 2c}{a − c} = \frac{2a + b + 2c − 2}{6a + 2c − 2}.

Clasa a VIII-a

8.5 In timpul recreatiei elevii au scris pe tabla rezolvarea unei probleme. Profesorul de matematica a intrat in clasa in momentul cand elevul de serviciu stergea tabla. El a observat doar ca aria unui dreptunghi cu lungime laturilor si diagonalelor exprimate in numere intregi era egala cu 2002. Profesorul le-a sugerat elevilor sa caute o greseala in calcule. De ce era asa de sigur profesorul?

8.6 Dintr-o totalitate finita de numere naturale consecutive s-a scos un numar astfel incat media aritmetica a numerelor ramase este egala cu 50,55. Sa se afle totalitatea initiala de numere si numarul inlaturat.

8.7 In triunghiul ABC punctele B_{1} si C_{1} sunt picioarele bisectoarelor interioare duse respectiv din varfurile B si C, iar punctul T este mijlocul segmentului [AB_{1}]. Dreptele BT si B_{1}C_{1} se taie in punctul E, iar dreptele AB si CE se taie in punctul L. Sa se demonstreze ca dreptele T L si B_{1}C_{1} sunt concurente.

8.8 Pentru orice x ∈ ℝ sa se afle valorile cea mai mare si cea mai mica ale expresiei

E = \frac{(1 + x)^{8} + 16x^{4}}{(1 + x^{2})^{4}} .

Clasa a IX-a

9.5 Numerele intregi a_{1}, a_{2}, ..., a_{9} satisfac relatia a_{k+1} = a_{k}^{3} +a_{k}^{2} +a_{k} +2, (∀)k = 1, 2, ..., 8. Sa se demonstreze ca printre aceste numere exista cel putin trei cu un divizor comun mai mare ca 1.

9.6 Coeficientii ecuatiei ax^{2} + bx + c = 0, a ≠ 0, satisfac inegalitatea (a + b + c)(4a − 2b + c) < 0. Sa se demonstreze ca ecuatia data are doua solutii reale distincte.

9.7 Sa se demonstreze ca pentru orice numerele reale strict pozitive a, b, c este adevarata

inegalitatea \frac{a}{2a + b} + \frac{b}{2b + c} + \frac{c}{2c + a} ≤ 1.

9.8 Fie cercurile C_{1}(O_{1}) si C_{2}(O_{2}) exterioare. Tangenta comuna exterioara care nu taie segmentul (O_{1}O_{2}) este tangenta la C_{1} in punctul A si la C_{2} in punctul B. Daca punctul C este simetricul punctului A in raport cu O_{1}O_{2}, dreptele O_{1}O_{2} si AC se taie in punctul P, iar dreapta BP taie cercul C_{2} in punctul L, sa se demonstreze ca dreapta CL este tangenta la cercul C_{2}.

Clasa a X-a

10.5 Sa se determine toate tripletele de numere prime de forma (p, 2p + 1, 4p + 1). 10.6 Numerele reale a, b, c satisfac relatiile a ≥ b ≥ c > 1. Sa se demonstreze ca este

adevarata inegalitatea log_{c} log_{c} b + log_{b} log_{b} a + log_{a} log_{a} c ≥ 0.

10.7 Intr-o companie sunt 16 oameni. Fiecare din ei simpatizeaza 8 oameni din companie. Sa se demonstreze ca exista cel putin doi oameni in aceasta companie care se simpatizeaza reciproc.

10.8 Triunghiul ADB_{1} nu este dreptunghic in A. Pe laturile acestui triunghi sunt construite in exterior patratele ABCD si AB_{1}C_{1}D_{1} cu centrele O_{1} si, respectiv, O_{2}. Sa se demonstreze ca cercurile cercumscrise triunghiurilor BAB_{1}, DAD_{1} si O_{1}AO_{2} mai au un punct comun, diferit de punctul A.

Clasa a XI-a

11.5 Sa se rezolve in ℝ ecuatia \sqrt{1 − x} = 2x^{2} − 1 + 2x\sqrt{1 − x^{2}}.

11.6 Exista oare o partitie a unui patrat cu lungimea laturii de 1024 m in 31 de patrate? Exista oare o partitie a unui patrat cu lungimea laturii de 1023 m in 30 de patrate astfel incat unul din patrate sa aiba lungimea laturii cel mult egala cu 1 m?

11.7 Fie a, b ∈ ℝ_{+}^{∗} si a ≠ b. Sa se demonstreze inegalitatile \sqrt{ab} < \frac{a − b}{ln a − ln b} < \frac{a + b}{2}. 11.8 In tetraedrul ABCD raza sferei circumscrise este egala cu R, iar m_{a}, m_{b}, m_{c} si m_{d}

sunt lungimile segmentelor ce unesc varfurile A, B, C si, respectiv, D cu centrele de greutate

ale fetelor opuse. Sa se demonstreze ca m_{a} + m_{b} + m_{c} + m_{d} ≤ \frac{16R}{3}. Cand are loc egalitatea?

Clasa a XII-a

12.5 Numerele reale a, b, c satisfac relatiile 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 3. Sa se demonstreze inegalitatea (a − b)(a^{2} − 9) + (a − c)(b^{2} − 9) + (b − c)(c^{2} − 9) ≤ 36.

12.6 Fie A, B si C puncte distincte coliniare si cercul C_{1}(A, r). Daca M si N sunt puncte diametral opuse arbitrare ale cercului C_{1}, sa se determine locul geometric al punctelor de intersectie a dreptelor BM si CN.

12.7 Fie elipsa E : x^{2} + 9y^{2} = 18. Pentru orice punct (x, y) al elipsei E sa se determine cea mai mare valoare numerica posibila a expresiei x^{2} + 3xy + 9y^{2} + x + 3y.

12.8 Fie sirul numeric (a_{n})_{n∈ℕ^{∗}}, a_{n} = sin^{3} \frac{π}{3} + 3 · sin^{3} \frac{π}{3^{2}} + ... + 3^{n−1} · sin^{3} \frac{π}{3^{n}}. Sa se demonstreze ca sirul (a_{n}) este convergent si sa se calculeze limita lui.