RO EN
PhD admission exam programme: Pure Mathematics
Program pentru examenul de admitere in doctorantura Institutului de Matematică şi Informatică al AŞM, specialitatea "Matematica teoretică".
- Analiza matematică
- Ecuaţii diferenţiale
- Ecuaţiile fizicii matematice
- Analiza functională şi ecuaţii integrale
- Teoria funcţiilor cu variabila complexă
- Algebra
- Geometrie şi topologie
- Teoria probabilităţilor
- Logica matematică
- Literatura de specialitate
Analiza matematică
- Funcţii de o variabilă. Funcţii continui şi proprietăţile lor. Funcţii diferenţiabile. Teoremele de bază ale calcului diferenţial şi aplicaţiile lor (teorema lui Roll, teorema lui Lagrange, teorema lui Cauchy, formula lui Teylor, regula lui Lopitali). Creştere şi descrestere a funcţiilor. Extreme. Extremum condiţionat. Teorema despre funcţia implicită.
- Integrarea. Integrala definită a lui Rieman şi condiţiile de existenţă a ei. Integrala nedefinită. Formula Newton-Leibnitz. Aplicaţiile geometrice şi fizice ale integralei. Schimbul de variabile în integrala multiplă. Măsura mulţimii şi proprietăţile principale. Funcţii măsurabile. Integrala lui Lebesgue (definiţia, proprietăţile, existenţa). Trecerea la limita sub semnul integralei.
- Serii numerice şi funcţionale. Criterii de convergenţă a seriilor. Convergenţa uniformă a seriilor funcţionale. Integrarea şi diferenţierea seriilor. Serii de puteri şi proprietăţile lor principale.
- Integrale ce depind de parametru. Convergenţa lor uniformă. Diferenţierea după parametru.
- Serii Fourier. Descompunerea funcţiei în serie. Criterii de convergenţă a seriilor Fourier.
Ecuaţii diferenţiale
- Ecuaţii diferenţiale ordinare. Sisteme de ecuaţii diferenţiale ordinare. Soluţie particulară şi soluţie generală. Integrala particulară şi integrala generală. Teorema de existenţă şi unicitate a soluţiei.
- Ecuaţii liniare cu coeficienţi constanţi şi cu partea dreaptă de forma specială. Sisteme de ecuaţii liniare cu coeficienţi constanţi. Clasificarea punctelor singulare.
- Stabilitate după Liapunov. Stabilitatea asimptotică. Criterii de stabilitate pentru sisteme de ecuaţii liniare cu coeficienţi constanţi. Teorema despre stabilitatea după prima aproximaţie.
- Sisteme autonome. Planul fazic al sistemului de două liniare cu coeficienţi constanţi.
- Ecuaţii liniare omogene şi neomogene cu derivate partiale de ordinul întâi. Legătura cu integralele prime. Metoda caracteristicilor. Problema Cauchy.
Ecuaţiile fizicii matematice
- Clasificarea ecuaţiilor cuasilineare de ordinul doi. Reductibilitatea lor la forme canonice.
- Formularea celor mai simple probleme la limită pentru ecuaţiile eliptice, parabolice şi hiperbolice.
- Rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaţia undelor în cazurile n = 1,2,3. Metoda coborârii.
- Principiul maximumului şi minimului în rezolvarea ecuaţiilor căldurii pentru dreptunghi şi fâşie şi consecinţele lui.
- Rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaţia căldurii. Integrala Poisson.
- Metoda Fourier în rezolvarea celor mai simple probleme la limită pentru ecuaţiile eliptice, parabolice şi hiperbolice de ordinul doi.
Analiza functională şi ecuaţii integrale
- Spaţii liniare infinit dimensionale. Spaţii Banach şi Hilbert. Funcţionale liniare şi operatori. Spaţiu conjugat. Descompunerea vectorului după o bază ortonormată.
- Spectrul şi rezolvenţa operatorului liniar mărginit. Vectori proprii.
- Operatori total continui şi spectrul lor.
- Ecuaţiile integrale liniare Volter şi soluţiile lor. Ecuaţiile lui Fredgolm şi teoremele lui Fredgolm. Ecuaţie cu nucleu simetric. Teorema lui Hilbert-Smidt.
Teoria funcţiilor cu variabila complexă
- Funcţii analitice. Teoremele şi formulele Cauchy. Descompunerea în serii Taylor şi Loran. Clasificarea punctelor singulare. Reziduuri şi aplicaţiile lor. Exemple şi teoremele de bază despre aplicaţii conforme (fără demonstraţii).
Algebra
- Sisteme de ecuaţii liniare. Matrice şi operaţii cu matrice. Determinanţi şi proprietăţile lor.
- Inelul polinoamelor într-o nedeterminată. Algoritmul lui Euclid. Descompunerea în factori primi. Rădăcinile polinomului. Formulele lui Viete. Numere complexe. Teorema de bază a algebrei (fără demonstraţie).
- Spaţii vectoriale. Criteriul de compatibilitate a unui sistem de ecuaţii liniare.
- Funcţii pătratice. Reducerea la forma canonică. Legea inerţiei Funcţii pătratice echivalente peste şi Funcţii pozitiv definite.
- Spaţii vectoriale euclidiene. Procesul de ortogonalizare. Baze optonormate şi matrice ortogonale.
- Operatori liniari în spaţii vectoriale. Imagine şi nucleu. Valori proprii şi vectori proprii. Forma normală Jordan.
- Grupuri, subgrupuri normale, grup-factor. Teorema lui Lagrange. Omomorfisme. Teoremele de izomorfisme pentru grupuri.
- Inele, ideale, factori-inele, câmpuri (cele mai simple proprietăţi). Câmpul numerelor complexe. Omomorfisme. Teoremele de izomorfism pentru inele.
- Structura grupurilor abeliene finite. Unicitatea descompunerii în sumă direcţi de grupuri primare ciclice.
- Numere algebrice (transcendente) peste un câmp. Polinom minimal. Extinderii algebrice (transcendente) simple. Descrierea lor.
- Extinderi algebrice compuse, de tip finit şi finite. Simplitatea extinderii algebrice compuse.
- Corpul numerelor algebrice peste Q. Existenţa numerelor reale transcendente peste Q.
- Extinderi normale. Grupul Galois al unei extinderi normale. Ordinul grupului Galois. Corespondenţa Galois. Corpuri intermediare normale.
- Axiomatica Peano. Consecinţe. Adunarea şi înmulţirea numerelor naturale. Proprietăţi. Compararea numerelor naturale. Principiul celui mai mic număr natural.
- Construcţia inelului numerelor întregi. Compararea numerelor întregi.
- Construcţia corpului numerelor raţionale. Compararea numerelor raţionale.
- Corpul numerelor complexe. Corpul cuaternionilor.
Geometrie şi topologie
- Mulţimi şi aplicaţii. Mulţimi ordonate. Numere transfinite şi cardinale.
- Spaţii topologice. Aplicaţii continui şi omomorfisme. Baza spaţiului topologic. Axiomele de separabilitate. Axiomele de numerabilitate. Conexiuni.
- Spaţii topologice compacte (bicompacte). Spaţii metrice, completitudine şi separabilitate. Produs de spaţii topologice.
- Cuadrice în spaţii afine şi euclidiene: reducerea ecuaţiei generale, metoda invarianţilor, ecuaţia centrului, plane diametrale şi tangente, direcţii principale şi ecuaţii canonice.
- Grupuri de transformări izometrice, afine şi proiective: definiţii, proprietăţi generale, exemple.
- Curba şi torsiunea curbei în spaţiu. Reperul Frene. Curbura liniei pe suprafaţă. Teorema Menie. Prima şi a doua formă pătratică a suprafeţei.
- Direcţiile şi curburile principale. Formula Oiler. Translarea paralelă a vectorilor pe suprafeţe. Curbura gausiana ca obiect al geometriei interne.
- Metoda axiomatică în geometrie, probleme de bază ale axiomaticii. Sistemul de axiome Hilbert. Axioma Lobacevskii şi consecinţele ei elementare. Curbe şi suprafeţe de curbură constantă în geometria Lobacevskii. Interpretarea Poincaree a planimetriei Lobacevskii. Incontradictibilitatea axiomelor geometriei euclidiene. Problema independenţei axiomelor, soluţionarea problemei postulatului cinci.
Teoria probabilităţilor
- Axiome teoriei probabilităţilor. Spaţiul probabilistic. Proprietăţile probabilităţii. Probabilitatea condiţionată. Formula lui Baies.
- Valori aleatorii. Funcţia repartiţiei. Tipurile repartiţiilor (Puasson, binomială, normală etc.)
- Caracteristicile numerice ale valorilor aleatorii (dispersia, etc.)
- Inegalităţile lui Cebisev. Legea numerelor mari. Legea amplificată a numerelor mari.
- Teorema limita centrală.
- Elementele statisticii matematicii.
Logica matematică
- Logica propoziţiilor. Operatori logici. Formule. Valori de adevăr şi tabele de adevăr pentru operatori logici. Formule realizabile şi formule identic adevărate. Formule echivalente. Forme normale disjunctivă şi conjunctivă.
- Calcul propoziţional. Axiome şi reguli de deducţie. Teorema deducţiei. Teorema completitudinii.
- Calcul al predicatelor. Axiomele şi regulile de deducţie. Teorema de deducţie. Formularea teoremei despre completitudine.
Literatura de specialitate
Analiza matematică.
- Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1,2
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа
- Люстерник Л.А., Соболев. В.И. Элементы функционального анализа.
Ecuaţii diferenţiale.
- Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- Петровский М.П. Лекции по уравнениям в частных производных.
- A.M. Caмойленко, С.А Кривошея, Н.А.Перестюк Дифференциальные уравнения Примеры и задачи. Москва, Высшая школа , 1989.
Ecuaţiile fizicii matematice.
- Петровский М.П. Лекции по уравнениям в частных производных.
- В.С. Владимиров, Уравнения математической физики, Москва, Наука, 1986.
Analiza functională şi ecuaţii integrale.
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа или Люстерник Л.А., Соболев. В.И. Элементы функционального анализа.
- Петровский И.Г. Лекции об интегральных уравнениях.
Teoria funcţiilor cu variabila complexă.
- Привалов И.И. Введение в теорию комплексного переменного.
- Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функции.
Algebra.
- Гельфонд И.М. Лекции по линейной алгебре
- Мальцев А.И. Основы линейной алгебры.
- Кострикин А.И. Введение в алгебру.
- А.Г. Курош, Курс высшей алгебры, М. Наука
- Бахтурин Ю.А. Основные структуры современной алгебры.
- Ефимов Н.В.. Розендорн Э.Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия. М. Наука, 1970.
- Винберг Э.Б., Курс алгебры, изд. Факториал пресс, Москва,2002, 544 с.
- I. D. Ion, N. Radu, Algebra, Editura didacticăa şi enciclopedică, Bucureşti. 1991.
- C. Nastasescu, C. Nita, C. Vraciu, Bazele algebrei, Vol. 1. Editura Academiei, Bucureşti, 1986.
- I. Creanga, I. Enescu, Algebra, Editura tehnică, Bucureşti, 1973.
- I. Goian, V. Marin, P. Sarbu, Extinderi de corpuri şi teoria Galois, Chişinău, 2001.
- I. Goian, V. Marin, Spaţii vectoriale.
- Л. А. Скорняков Элементы общей алгебры.
Geometrie şi topologie.
- Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии
- Рашевский П.К. курс дифференциальной геометрии.
- Александров П.С. Введение в общую топологию.
- Александров П.С., Пасынков В.А. Введение в теорию размерности.
- Mihalianu N.N., Neuman M., Fundamentele geometriei. Bucureşti. E.D.P. - 1973, 248p.
- Ефимов Н.В., Высшая геометрия, М. Наука, 1987, 576 с.
- Виро, О.Я., Иванов О.А., НецветаевН.Ю., Харламов В.М., Задачи по топологии, изд СПбГУ, 2000, Санкт-Петербург.
- Ефимов Н.В.. Розендорн Э.Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия. М. Наука, 1970.
Teoria probabilităţilor.
- А.В.Ширяев, Вероятность, М. Наука 1988.
- Б.В. Гнеденко, Курс теории вероятностей, М. Наука
- Боровиков А.А. Курс теории вероятностей.
Logica matematică.
- Мендельсон Э. Введение в математическую логику.
- П.С.Новиков, Математическая логика, Москва, Наука.
- Petre Bieltz, Logica (manual clasa X licee şi clasa XI şcoli normale).
